Вычислим f(λ1) = 5.7352, f(μ1) = 6.3348
Итерация №1.
Поскольку f(λ1) < f(μ1), то b2 = 1.736, a2 = a1, μ2 = 1.264, f(μ2)=6.3348
λ2 = a2 + (1-0.618)(b2 - a2) = 0.5 + (1-0.618)(1.736 - 0.5) = 1.264, f(1.264) = 5.7352
Итерация №2.
Поскольку f(λ2) > f(μ2), то a3 = 0.9722, b3 = b2, λ3 = 1.264, f(λ3)=10.8963
μ3 = a3 + 0.618(b3 - a3) = 0.9722 + 0.618(1.736 - 0.9722) = 1.4442, f(1.4442) = 5.7352
Итерация №3.
Поскольку f(λ3) > f(μ3), то a4 = 1.264, b4 = b3, λ4 = 1.4442, f(λ4)=5.7352
μ4 = a4 + 0.618(b4 - a4) = 1.264 + 0.618(1.736 - 1.264) = 1.5557, f(1.5557) = 5.241
Итерация №4.
Поскольку f(λ4) < f(μ4), то b5 = 1.5557, a5 = a4, μ5 = 1.4442, f(μ5)=5.4478
λ5 = a5 + (1-0.618)(b5 - a5) = 1.264 + (1-0.618)(1.5557 - 1.264) = 1.4442, f(1.4442) = 5.241

|5.2384-5.2384|≤0.001
Находим x как середину интервала [a,b]:
x=(1.4313+1.4304)/2=1.4308140069917
Ответ: x = 1.4308140069917; F(x) = 5.2384

Используем для этого Метод Фибоначчи.
Важнейшая особенность этого метода состоит в том, что он позволяет для заранее заданного числа вычислений функции построить оптимальную процедуру поиска минимума унимодальной функции.
Предположим, что заданный начальный интервал неопределенности [a₁,b₁], [a_i,b_i] является интервалом неопределенности, полученным на i-той итерации. Рассмотрим две точки λ_i и μ_i из интервала [a_i,b_i], заданные с помощью соотношений:


где n - заданное число вычислений функции; Fk - последовательность чисел Фибоначчи, заданная с помощью рекуррентной формулы:
F_k+1 = F_k + F_k-1, k = 1,2, … , где F₀ = F₁ = 1
Новый интервал неопределенности (a_i+1,b_i+1) равен (λ_i,b_i), если f(λ_i) > f(μ_i), и равен (a_i, μ_i), если f(λ_i) < f(μ_i). Тогда в первом случае, новый интервал неопределенности имеет длину:

Отсюда следует, что в любом случае на i-той итерации интервал неопределенности сжимается в F_n-i/F_n-i+1 раз. На (i+1)-ой итерации либо λ

---

_i+1 = μ_i, либо μ_i+1 = λ_i. Поэтому на каждом шаге вычисляется только одно новое значение функции. На (n-1)-ой итерации λ_n-1 = μ_n-1,и значение функции не вычисляется.
Если ε есть точность вычисления значения функции, n – максимально возможное число вычислений функции, то конечный интервал неопределенности будет равен:

Решение.
Последовательность чисел Фибоначчи имеет вид: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,
Итерация 1.
Вычислим точки


f(λ₁) = 5.7349; f(μ₁) = 6.3345
Так как f(λ₁) < f(μ₁), то сокращаем интервал неопределенности и принимаем на 2-й итерации:
a₂ = a₁ = 0.5; b₂ = μ₁ = 1.736
Итерация 2.
Вычислим точки


f(λ₂) = 10.9047; f(μ₂) = 5.7349
Так как f(λ₂) > f(μ₂), то сокращаем интервал неопределенности и принимаем на 3-й итерации:
a₃ = λ₂ = 0.97191011235955; b₃ = b₂ = 1.736

---

Итерация 3.
Вычислим точки


f(λ₃) = 5.7349; f(μ₃) = 5.2408
Так как f(λ₃) > f(μ₃), то сокращаем интервал неопределенности и принимаем на 4-й итерации:
a₄ = λ₃ = 1.2640449438202; b₄ = b₃ = 1.736
Итерация 4.
Вычислим точки


f(λ₄) = 5.2408; f(μ₄) = 5.4493
Так как f(λ₄) < f(μ₄), то сокращаем интервал неопределенности и принимаем на 5-й итерации:
a₅ = a₄ = 1.2640449438202; b₅ = μ₄ = 1.5562
Все вычисления сведены в таблицу. Вычисления продолжаются, пока не найдены 10 новых точек.


Вычисляем точку минимума функции

f(x_min) = 5.2398
Ответ: x = 1.4213; F(x) = 5.2398
Количество итераций, N = 10

11. 
    Дана функция Розенброка ƒ(х) = 100(х2 − (х1)2)2 + (1 − х1)2 и начальная точках(0) = (−1, 2; 0). Найдите точку локального минимума этой функции, пользуясь методом покоординатного спуска, с точностью до 0,2.
    

X0=(-1;2).
Вычислим значение функции в начальной точке f(X0) = 104.
В качестве направления поиска выберем вектор градиент в текущей точке:

▽ f(X) =

-400x1(-x12+x2)+2x1-2 -200x12+200x2

---

Значение градиента в точке X0:

▽ f(X0) =

396 200

Проверим критерий остановки:
|▽f(X0)| < ε
Имеем:

Сделаем шаг вдоль направления антиградиента.

X1 = X0 - λ1▽ f(X0) =

-1 2

- λ1

396 200

=

-396.0λ1-1.0 2.0-200.0λ1

Вычислим значение функции в новой точке.
f(X1) = 100*((2.0-200.0*λ1)-((-396.0*λ1-1.0))2)2+(1-(-396.0*λ1-1.0))2
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из необходимого условия существования экстремума функции (f'(X)=0):
3.1363*10^5*λ1+2.4591*10^12*(-4.0*λ1-0.012652)*(-0.0012754*λ1-(-λ1-0.0025253)^2+1.2754*10^(-5))+1584.0 = 0
Получим шаг: λ1 = 0.000879
Выполнение этого шага приведет в точку:

X1 =

-1 2

- 0.000879

396 200

=

-1.3479 1.8243

---

12. 
    В процессе поиска точки минимума функции Розенброка (см. предыдущее упражнение) получены две первые точки х(0) = (−1,2; 1), х(1) = (−1,3; 1,07). Определите направление поиска из точки х(1), пользуясь следующими градиентными методами: а) методом наискорейшего спуска, б) методом Ньютона.
    

В качестве направления поиска выберем ньютоновское направление, для этого вычислим градиент:

▽ f(X) =

-400.0x1(-x12+x2)+2.0x1-2.0 -200.0x12+200.0x2

Значение градиента в точке X0:

▽ f(X0) =

396 200

Проверим критерий остановки:
|▽f(X0)| < ε
Имеем:

Сделаем шаг вдоль ньютоновского направления:
X1 = X0 - G-1▽f(X0)
Найдем матрицу Гессе и обратный гессиан.



Матрица Гессе:

G =

402 400 400 200

Обратный гессиан:
detG = 402•400 - 200•200 = -79600

200 -400 -400 402

---

Смотрите также файлы

• Методические указания по оформлению курсовой работы по дисциплинам Гражданское право.pdf

• Технологии.pdf

• Общая характеристика криминалистической идентификации 5 Глава Идентификация огнестрельного оружия 16.rtf

• Анализ технических средств перехвата информации в оптическом диапазоне.docx

• азастан республикасы ылым жне жоары білім министрлігі.docx