ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 115
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Получим:
| X1 = |
|  |
|
| = |
| |
-
Сформулируйте общую задачу оптимизации.
В широком смысле общая задача оптимизации параметров систем автоматизации заключается в отыскании экстремума критерия (целевой функции) при заданных ограничениях в виде равенств и (или) неравенств, то есть в решении задачи математического программирования.
Целевая функция
есть однозначная численная характеристика системы, позволяющая количественно оценить ее качество. Аргументом целевой функции выступают параметры 
, подлежащие оптимизации и называемые управляемыми параметрами. Вектор параметров системы 
, удовлетворяющий заданным ограничениям и доставляющий экстремум целевой функции, называется оптимальной точкой, а пара
и 
составляет оптимальное решение.При непрерывном изменении значений элементов вектора
целевая функция может быть непрерывной или разрывной. Если график целевой функции имеет один экстремум, то такая функция называется унимодальной или одноэкстремальной).Если же график целевой функции имеет несколько экстремумов, то такая функция называется многоэкстремальной (см. рис.2б). Для нее различают точки глобального экстремума и локальных экстремумов.
Математическое определение глобального и локального экстремума имеет следующий вид. Функция
, определенная в допустимой области изменения независимой переменной 
, достигает своего глобального максимума в точке 
, если
для всех .Функция
, определенная в допустимой области изменения независимой переменной , достигает своего локального максимума в точке 
, если в 
- окрестности точки 
выполняется условие
для всех х, удовлетворяющих условию 
,где
- малая положительная величина, характеризующая точность попадания в экстремальную точку.- 1 2 3 4 5
Дайте определение следующих понятий: целевая функция, допустимое множество, допустимая точка, решение задачи оптимизации
Целевая функция — вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации в целях решения некоторой оптимизационной задачи.
В теории оптимизации допустимая область, допустимое множество, пространство поиска или пространство решений — это множество всех возможных точек (значений переменных) задачи оптимизации, которые удовлетворяют ограничениям задачи.
Для решения задачи оптимизации применяют в основном следующие методы: методы исследования функций классического анализа; линейное, нелинейное программирование; методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа; вариационное исчисление; динамическое программирование; принцип максимума.
-
Перечислите основные этапы реализации оптимизационной задачи.
-
Анализ проблемной ситуации. -
Построение математической модели. -
Анализ модели. -
Выбор метода и средства решения. -
Выполнение численных расчетов. -
Анализ результатов расчетов. -
Применение результатов расчетов. -
Коррекция и доработка модели
-
Охарактеризуйте основные направления применения методов оптимизации в инженерной деятельности.
Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку обычно функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.
Применение методов оптимизации в инженерной практике.Теория оптимизации находит широкое и эффективное применение во всех направлениях инженерной деятельности и, в первую очередь, в следующих четырех ее областях:
· Проектирование систем и их составных частей;
· Планирование и анализ функционирования существующих систем
;
· Инженерный анализ и обработка информации;
· Управление динамическими системами.
Три первых области применения методов оптимизации существенно отличаются от четвертой, прежде всего по используемым моделям, критериям оптимизации и методам решения задачи оптимизации. Эти три направления обычно относят к задачам математического программирования, а четвертое направление рассматривают отдельно, как решение задач оптимального управления.
Необходимые условия для применения оптимизационных методов.Формулировка задачи оптимизации включает три этапа: 1) словесное представление о параметрах задачи, множестве ее решений и поставленной цели; 2) запись критерия оптимальности (целевой функции) как функции параметров задачи; 3) запись условий, определяющих область допустимых значений параметров.
-
Приведите примеры оптимизационных задач из практики.
В качестве примера составления математической модели рассмотрим задачу распределения ресурсов. Под ресурсами понимают, например финансы, энергию, сырье, необходимые для выпуска продукции и получения в конечном итоге прибыли. Естественно стремятся к максимальной прибыли при ограниченном количестве ресурсов.
Пример. Определить максимальную прибыль предприятия, выпускающего продукцию в виде изделий трех видов (i = 1, 2,3). Для изготовления каждого i-го изделия требуются три вида ресурсов: энергетические, финансовые и сырьевые (j = 1, 2, 3).
Исходные данные:
- наличие на предприятии каждого j-го ресурса bj;
- норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида aji;
- прибыль zi от реализации одного i-го изделия;
- минимальное количество b4 всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить.
Решение. Обозначим искомые количества 1-го, 2-го и 3-го видов изделий через х1, х2 и х3.
Поскольку необходимо найти максимальную прибыль предприятия, этот экономический критерий и выразим целевой функцией. Прибыль от реализации изделий i-го вида есть произведение zixi. Подлежащая максимизации суммарная прибыль от реализации трех
видов изделий (целевая функция) будет иметь следующий вид:
Z = z1x1+ z2x2+ z3x3 → max. (1.4) Перейдем к составлению ограничений. Поскольку на одно изделие 1-го вида требуется а11 единиц энергии, на искомое количество х1
потребуется а11х1 единиц энергии. Для искомых количеств изделий 2-го и 3-го видов потребуется соответственно а12х2 и а13х3 единиц энергии. Суммарный расход энергии на выпуск трех видов изделий составит а11х1 + а12х2 + а13х3 единиц энергии. Эта величина ограничена наличием на предприятии энергетических ресурсов в количестве b1. Таким образом, ограничение по энергетическим ресурсам будет иметь вид а11х1+ а12х2 + а13х3 < b1.