Файл: Курсовая работа дисциплина Физика конденсированного состояния Тема.pdf

увеличиваться при повышении температуры. В рассеянии участвуют оба механизма, поэтому результирующая зависимость подвижности от температуры имеет вид кривой, представленной на рисунке 8.
Рисунок 8 – Температурная зависимость подвижности носителей заряда
Рассеяние на колебаниях решетки. Подвижность можно выразить через длину свободного пробега по формуле:
????
????
=
4????????
3(2????????
∗
????????)^(1/2)
(19)
В атомных полупроводниках подвижность носителей заряда при рассеянии их на колебаниях решетки уменьшается с ростом температуры. И подвижность обратно пропорциональна эффективной массе носителей заряда в степени 5/2.
Рассеяние на ионизированных примесях. Подвижность, обусловленная рассеянием на ионах примеси, уменьшается при уменьшении температуры согласно формуле:
???? =
8√2????
????
2
????
3 2
????
3 2
????
3 2
????
2
????
3
????
1
????
∗
1 2
????????(1+(3????
????
????????/????????
2
????
1 1
3
)^2)
= ????
01
????
3 2
(20)
Рассеяние на нейтральных примесях. Подвижность, при рассеянии на нейтральных атомах не зависит от температуры и находится по формуле:
????
А
= ????
2
????
∗
/20????
????
ħ
3
????
????
(21)
Рассеяние на дислокациях. При рассеянии носителей заряда на дислокациях подвижность находится по формуле:
13

????
????
=
????????
−1/2 2
3/2
????
1/2
????
1/2
????
∗1/2
????????
????
(22)
Сложный механизм рассеяния. При высоких температурах доминирующим становится рассеяние на фононах. Поэтому можно считать, что комбинированная подвижность определяется рассеянием на ионах примеси и фононах и будет определяться формулой:
1
????
= а????
−3/2
+ ????????
3/2
,
(23) где a,b – постоянные величины.
То есть в атомных полупроводниках с ростом температуры подвижность носителей заряда растет пропорционально ????
3/2
, если рассеяние происходит только на ионах примеси, затем она проходит через максимум и уменьшается пропорционально ????
−3/2
, если рассеивающими центрами являются только длинноволновые акустические фононы.
1.5 Теплопроводность полупроводников. Механизмы теплопереноса
Теплопроводность - явление переноса материальными телами энергии от более нагретых частей тела к менее нагретым частям.
Если в веществе создан градиент температуры ∇????, то в нем возникает поток энергии
W в направлении, противоположном
∇????: W = −????∇????. Отсюда получаем коэффициент теплопроводности ???? = |????|/|∇????|. Он равен численно количеству энергии, проходящей в единицу времени через поперечное сечение в образце, на концах которого создана разность температур в один градус.
Передача тепла осуществляется двумя различными механизмами: свободными носителями заряда и фононами.
Теплопроводность, обусловленную движением носителей заряда, называют дырочной или электронной. Она характеризуется коэффициентом теплопроводности χ
е
, который зависит от свойств проводника и температуры.
Теплопроводность, обусловленную колебаниями решетки, называют решеточной, или фононной. Она характеризуется коэффициентом χ
L
Полная электропроводность складывается из электронной (дырочной) и решеточной: χ
= χ
L +
χ
е
14

Теплопроводность диэлектриков в основном является фононной, у них χ
L
≫ χ
е
. в металлах вклад решеточной теплопроводности мал, поэтому χ
L
≪ χ
е
. В полупроводниках решеточная теплопроводность такого же порядка, что и электронная (дырочная).
Коэффициент фононной теплопроводности определяется на основе кинетической теории и имеет вид:
????
????
= ????????
зв
????
????
/3,
(24) где С – теплоемкость решетки, Дж/К;
????
зв
– скорость звука, м/с;
????
????
– длина свободного пробега, м.
Так в образце длиной L в единицу времени через единицу площади проходит теплота:
???? =
????
????
(????
1
−????
2
)
????
=
????(????
1
−????
2
)????
зв
????
????
3????
(25)
Определим теплопроводность χ
е для невырожденного донорного полупроводника, в котором рассеяние носителей заряда осуществляется на акустических фононах. Для этого необходимо вычислить плотность потока энергии, переносимого электрона с учетом B = 0,
J
n
= 0:
???? =– χ
????
∇???? = −
2????????????????
2
????????????
????
(26)
Отсюда получаем, что донорная теплопроводность при рассеянии на тепловых колебаниях решётки имеет вид:
????
????
= 2(????/????)
2
????????.
(27)
Тогда при рассеянии на ионах примеси имеет вид:
????
????
= 4(????/????)
2
????????.
(28)
15

Получаем, что теплопроводность, обусловленная свободными носителями заряда, определяется температурой и его удельной проводимостью. Теплопроводность твердых тел сначала растет с ростом температуры, а затем убывает при высоких температурах.
Если невырожденный проводник имеет несколько типов носителей заряда, то теплопроводность будет находиться по формуле:
????
????
=
2????
2
????
????
????????
????
+
2????
2
????
????
????????
????
+
????????
????
????????
????
(????????+4????????)
2
????????(????????
????
+????????
????
)
(29)
1.6 Эффект Холла
Эффект Холла – явление возникновения в полупроводнике с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля. Экспериментальная схема эффекта Холла представлена на рисунке 9.
Рисунок 9 – Экспериментальная схема эффекта Холла
Носители различных знаков смещаются к одной и той же боковой грани полупроводника, поэтому с изменением типа электропроводности материала меняется и знак возникающей ЭДС, как представлено на рисунке 10.
16

Рисунок 10 – Смещение основных носителей заряда в дырочном (а) и электронном (б) полупроводниках
Как показано на рисунке 10, сила Лоренца направлена вверх в обоих случаях. В результате этого дырки в акцепторном проводнике и электроны в донорном смещаются вверх образца, и на нижней гране оказывается их дефицит, что обуславливает противоположный по знаку заряд по отношению к заряду на верхней поверхности. В результате возникает поле Холла напряженностью ????
Н
, перпендикулярное направлению магнитного поля и зависящее от знака носителей заряда. Напряженность поля будет расти до тех пор, пока сила, обусловленная этим полем, не скомпенсирует сила Лоренца (−????????
????
=
????????????). Так как носители заряда движутся вдоль электрического поля, то плотность тока совпадает с направлением напряженности ℇ. Угол, заключенный между плотностью тока и суммарным электрическим полем ????
′
= ???? + ????
????
, носит называние угол Холла. Отсюда, между точками А и Б (см. рисунок 9) возникает разность потенциалов, ЭДС Холла, приведенная в формуле:
????
????
= ????
????
???? = −???????????? = −
1
????????
???????????? = ????????????????,
(30) где b – ширина образца, см;
B – магнитная индукция, Тл;
R – коэффициент Холла, см
3
/Кл.
Коэффициент Холла в случае если носителями заряда являются электроны, находится по формуле:
???? = −
1
????????
,
(31)
17

а в случае если носители заряда – дырки:
???? =
1
????????
(32)
Таким образом, коэффициент Холла обратно пропорционален концентрации носителей заряда, а знак его совпадает со знаком носителей заряда.
В действительности, произведенный элементарный вывод коэффициента Холла неточен: в нем не учтена разница между мгновенной скоростью электронов, входящей в выражение магнитной составляющей силы Лоренца, и дрейфовой скоростью, которую электрон приобретает под действием электрического поля. Также не учитывается распределение электронов по скоростям и механизмы рассеяния носителей. Поэтому формулы (31, 32) справедливы для металлов и вырожденных полупроводников. Для невырожденных полупроводников значение R отличается множителем А – холл-фактором, определяемым механизмом рассеяния носителей заряда в полупроводнике.
Угол Холла θ (см. рисунок 10) можно определить из формулы:
???????????? = ????
????
/????.
(33)
Знак тангенса определяется направлением поля Холла ℇ
H
: положителен для дырочного полупроводника и отрицателен для электронного. Если магнитное поле слабое, то можно считать, что R = θ / σB. Тогда для электронного и дырочного проводников угол
Холла находится соответственно по формулам:
????
????????
= ????
????
????
????
???? = ????
????????
????,
(34)
????
????????
= ????
????
????
????
???? = ????
????????
????,
(35) где ????
????????
– холловская подвижность дырок, см
2
/(В·с);
????
????????
– холловская подвижность электронов, см
2
/(В·с).
В общем виде коэффициент Холла для электронного и дырочного проводника примет вид:
???? = −
????
????????
,
(36)
18

???? =
????
????????
(37)
В то же время удельная проводимость электронного проводника, определяемая дрейфовой подвижностью μ
d
, равна ???? = ????????????
????
. Следовательно,
1
А
???????? = ????
????
. Тогда, используя формулу (35), получаем значение для холловской подвижности:
????
????
= ????????
????
(38)
Холловская подвижность, определяющая угол Холла, пропорциональна дрейфовой подвижности. В случае, когда время релаксации постоянно, ????
????
= ????
????
Коэффициент Холла для полупроводника с двумя типами носителей заряда находится по формуле:
???? =
????
????
????????
????
2
−????????
????
2
(????????
????
+????????
????)
2
(39)
Для собственного проводника коэффициент Холла находится по формуле:
????
????
=
????
????????
????
1−????
1+????
,
(40) где ???? = ????
????
/????
????
У собственных полупроводников постоянная Холла обычно отрицательна, т.к. подвижность электронов чаще всего больше подвижности дырок (в силу большей эффективной массы последних).
1.7 Магниторезистивный эффект
Магниторезистивный эффектом или магнетосопротивлением называют изменение электрического сопротивления в твердом проводнике в результате воздействия внешнего магнитного поля. Существуют поперечное магнетосопротивление (электрический ток течет перпендикулярно магнитному полю) и продольное магнетосопротивление (ток параллелен магнитному полю). Причиной данного эффекта является искривление траекторий носителей тока в магнитном поле. Относительное изменение сопротивления полупроводников ∆ρ/ρ в 10 2
-10 4
раз больше, чем у металлов, и может достигать сотен
19

процентов. При увеличении намагниченности металла продольное магнетосопротивление также растет, а поперечное (перпендикулярное) падает по сложным зависимостям. По мере изменения направления магнитного поля на противоположное магнетосопротивление не меняется.
Магнетосопротивление вещества также зависит от ориентации образца относительно магнитного поля. Причиной тому послужило то, что магнитное поле не меняет проекцию скорости частиц на направление МП, но сила Лоренца закручивает траектории в плоскости перпендикулярной магнитному полю. Это объясняет, почему поперечное поле действует сильнее продольного.
20

2 Расчетная часть
Исходные данные:
≔
ΔEd 0.03 эВ
≔
μn0 8000
――
см
2
⋅
В с
≔
q
⋅
1.6 10
-19
Кл
≔
k
⋅
8.62 10
-5
―
эВ
К
≔
μp0 400
――
см
2
⋅
В с
≔
m0
⋅
9.1 10
-31
кг
≔
k0
⋅
1.38 10
-23
――
Дж
К
≔
mdn 0.067
≔
ε 13.1
≔
Nd
⋅
6.0 10 16
см
-3
≔
mdp 0.45
≔
χ 1.55
――
Вт
⋅
см К
≔
mnc 0.067
≔
Eg ((T))
-
1.521
⋅
⋅
8.871 10
-4
―――
T
2
+
T 572
≔
Ec ((T)) ―――
Eg ((T))
2
≔
Nc ((T))
⋅
⋅
⋅
4.831 10 15
((mdn))
1.5
T
1.5
≔
Ev ((T)) ―――
-Eg ((T))
2
≔
Nv ((T))
⋅
⋅
⋅
4.831 10 15
((mdp))
1.5
T
1.5
≔
Ed ((T))
-
Ec ((T)) ΔEd
≔
Ei ((T)) ―――――
+
Ec ((T)) Ev ((T))
2
≔
Fi ((T))
⋅
⋅
k T ln
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
――
mdp mdn
⎞
⎟
⎠
0.75
⎞
⎟
⎠
≔
ni ((T))
⋅
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
⋅
Nc ((T)) Nv ((T)) e
――――
((-Eg ((T))))
⋅
⋅
2 k T
Проверка полупроводника на вырождение
≔
Ndкр
=
⋅
⋅
10 22.5
mdn
1.5
ΔEd
1.5
⋅
2.85 10 18
см
-3
>
Ndкр Nd
, следовательно данный полупроводник невырожден
Расчитаем нижнюю и верхнюю температуры истощения примеси
≔
T1 70 K
≔
f1 ((T1))
+
-3
⋅
e
⎛
⎜
⎝
―――
ΔEd
⋅
k T1
⎞
⎟
⎠
―――
Nd
Nc ((T1))
≔
Tист
=
root ((
,
f1 ((T1)) T1)) 161.7
K
≔
T2 1300 K
≔
f2 ((T2))
-
1 ―――
ni ((T2))
⋅
‾‾
2 2 Nd
≔
Tсобст
=
root ((
,
f2 ((T2)) T2)) 1062.3 K
Температурная зависимость концентрации основных носителей заряда
Зависимость концентрации электронов от температуры в области низких температур:
≔
n1 ((T))
⋅
⋅
―――
Nc ((T))
4
e
⎛
⎜
⎝
―――
-ΔEd
⋅
k T
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜⎝
-
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
2
+
1
⋅
⋅
8 ―――
Nd
Nc ((T))
e
⎛
⎜
⎝
――
ΔEd
⋅
k T
⎞
⎟
⎠
1
⎞
⎟
⎟⎠
Зависимость концентрации электронов от температуры в области высоких температур:
21

Зависимость концентрации электронов от температуры в области высоких температур:
≔
n2 ((T)) ――
Nd
2
⎛
⎜
⎜⎝
+
1
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
2
+
1
⋅
――
4
Nd
2
ni ((T))
2
⎞
⎟
⎟⎠
Зависимость концентрации электронов во всём температурном диапазоне:
≔
n ((T)) if
⎛
⎜
⎝
,
,
>
T ――――――
((
+
Tист Tсобст))
2
n2 ((T)) n1 ((T))
⎞
⎟
⎠
≔
T
,
‥
150 160 1200 K
38 38.3 38.6 38.9 39.2 39.5 39.8 40.1 40.4 37.4 37.7 40.7 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.006 0.006 8⋅10⁻⁴
0.001 0.007
―
1
T
ln ((n ((T))))
Температурная зависимость положения уровня Ферми
Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике описывается двумя выражениями во всём возможном интервале температур:
в области низких температур
≔
F1 ((T))
+
Ed ((T))
⋅
⋅
k T ln
⎛
⎜
⎜⎝
―
1 4
⎛
⎜
⎜⎝
-
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
2
+
1
⋅
8 ―――
Nd
Nc ((T))
e
――
ΔEd
⋅
k T
1
⎞
⎟
⎟⎠
⎞
⎟
⎟⎠
в области высоких температур
≔
F2 ((T))
+
Ec ((T))
⋅
⋅
k T ln
⎛
⎜
⎜⎝
⋅
―――
Nd
⋅
2 Nc ((T))
⎛
⎜
⎜⎝
+
1
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
2
+
1
⋅
4 ―――
ni ((T))
2
Nd
2
⎞
⎟
⎟⎠
⎞
⎟
⎟⎠
≔
F ((T)) if ((
,
,
<
T Tист F1 ((T)) F2 ((T))))
≔
T
,
‥
10 20 1200 K
22

-0.6
-0.45
-0.3
-0.15 0
0.15 0.3 0.45 0.6 0.75
-0.9
-0.75 0.9 200 300 400 500 600 700 800 900 1⋅10³
1.1⋅10³
0 100 1.2⋅10³
T
F ((T))
Ec ((T))
Ev ((T))
Ed ((T))
Fi ((T))
Определим точку максимума на температурной зависимости F(T). Для расчёта воспользуемся следующими формулами:
≔
Tmax
=
⋅
⋅
8.15
⎛
⎜
⎝
――
1
mdn
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
Nd
10 18
⎞
⎟
⎠
―
2 3
18.643 K
≔
Fmax
=
+
――
ΔEd
2
⋅
⋅
⋅
5.3 10
-4
⎛
⎜
⎝
――
1
mdn
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
Nd
10 18
⎞
⎟
⎠
―
2 3
0.016
эВ
Температурная зависимость подвижности основных носителей заряда
≔
μnткр ((T))
⋅
μn0
⎛
⎜
⎝
――
T
300
⎞
⎟
⎠
-1.5
≔
β ((T))
⋅
⋅
―
ε
10
――
T
100
⎛
⎜
⎝
⋅
――
2.35
Nd
10 19
⎞
⎟
⎠
―
1 3
≔
μnип ((T))
⋅
⋅
⋅
⎛
⎜
⎝
⋅
――
3.68
Nd
10 20
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
―
ε
16
⎞
⎟
⎠
2
⎛
⎜
⎝
――
T
100
⎞
⎟
⎠
1.5
⎛
⎝
⋅
‾‾‾‾
2
mnc log
⎛
⎝ +
1 β ((T))
2
⎞
⎠
⎞
⎠
-1
≔
μn ((T))
⎛
⎜
⎝
+
――――
1
μnткр ((T))
―――
1
μnип ((T))
⎞
⎟
⎠
-1 23

≔
μn ((T))
⎛
⎜
⎝
+
――――
1
μnткр ((T))
―――
1
μnип ((T))
⎞
⎟
⎠
-1
≔
T
,
‥
10 20 1200
K
2.35⋅10³
3.05⋅10³
3.75⋅10³
4.45⋅10³
5.15⋅10³
5.85⋅10³
6.55⋅10³
7.25⋅10³
7.95⋅10³
950 1.65⋅10³
8.65⋅10³
200 300 400 500 600 700 800 900 1⋅10³1.1⋅10³
0 100 1.2⋅10³
T
μn ((T))
Температурная зависимость удельной электропроводности
Температурная зависимость удельной электропроводности определяется температурными зависимостями концентрации и подвижности основных носителей заряда.
≔
σ ((T))
⋅
⋅
q n ((T)) μn ((T))
≔
T
,
‥
90 100 1250 K
2.35 2.6 2.85 3.1 3.35 3.6 3.85 4.1 1.85 2.1 4.35 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 0.5 1.5 11.5
――
1000
T
ln ((σ ((T))))
Расчёт численных значений параметров заданного полупроводника при
T=300К
24

2.35 2.6 2.85 3.1 3.35 3.6 3.85 4.1 1.85 2.1 4.35 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 0.5 1.5 11.5
――
1000
T
ln ((σ ((T))))
Расчёт численных значений параметров заданного полупроводника при
T=300К
≔
T 300 K
Расчёт подвижности основных носителей заряда с учётом вклада рассеяния на тепловых колебаниях решётки и ионах примеси:
≔
μn
=
⎛
⎜
⎝
+
――――
1
μnткр ((T))
―――
1
μnип ((T))
⎞
⎟
⎠
-1 6236
――
см
2
⋅
В с
Расчёт удельной электропроводности:
≔
σ
=
⋅
⋅
q n ((T)) μn 38.31 ―――
1
⋅
Ом см
Расчёт коэффициента Холла:
Определим доминирующий механизм рассеяния носителей заряда.Для этого воспользуемся следующими формулами.
Время релаксации:
≔
τ
=
―――――――
⎛⎝
⋅
⋅
⋅
μn 10
-4
mnc m0⎞⎠
q
⋅
2.376 10
-13
c
Тепловая скорость:
≔
Vt
=
‾‾‾‾‾‾‾‾
2
――――
((
⋅
⋅
3 k0 T))
⋅
mnc m0
⋅
4.513 10 5
―
м с
Длина свободного пробега:
≔
l
=
⋅
Vt τ
⋅
1.073 10
-7
м
Критическая концентрация:
≔
Nкр
=
⎛
⎜
⎝
――
⋅
π l
4
⎞
⎟
⎠
-3
⋅
1.7 10 21
м
-3
<
Nкр Nd следовательно механизм рассеяния на ионах примеси
Холл-фактор
≔
rип 1.93
≔
R
=
-――
rип
⋅
Nd q
-201.042 ――
см
3
Кл
Расчёт удельной теплопроводности электронная теплопроводность:
общая теплопроводность:
25