Файл: Данное пособие посвящено первому разделу Механика кодификатора егэ по физике. Оно охватывает следующие темы.pdf

18.4
Математический маятник
Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис.
60
). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.
O
X
l m
g

T
x
ϕ
Рис. 60. Математический маятник
Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна l. Сопро- тивлением воздуха пренебрегаем.
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
ma = m
g +
T ,
и спроектируем его на ось X:
ma x
= T
x
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x > 0), то:
T
x
= −T sin ϕ = −T
x l
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x < 0), то:
T
x
= T sin ϕ = −T
x l
Итак, при любом положении маятника имеем:
ma x
= −T
x l
(92)
Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T = mg. При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство T ≈ mg. Воспользуемся им в формуле (
92
):
ma x
= −mg x
l
,
или a
x
= −
g l
x.
Это — уравнение гармонических колебаний вида (
87
), в котором
ω
2
=
g l
86

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
ω =
r g l
(93)
Отсюда период колебаний математического маятника:
T = 2π
s l
g
(94)
Обратите внимание, что в формулу (
94
) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
18.5
Свободные и вынужденные колебания
Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из поло- жения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, под- держивающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются при- мерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (
90
) и (
93
) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются неза- тухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис.
61
).
0
t x
Рис. 61. Затухающие колебания
Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внеш- ней силы F (t), периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
Предположим, что собственная частота колебаний системы равна ω
0
, а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
F (t) = F
0
cos ωt .
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колеба- ний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает
87

вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установив- шихся вынужденных колебаний совпадает с частотой ω вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис.
62
ω
A
ω
r
Рис. 62. Резонанс
Мы видим, что вблизи частоты ω = ω
r наступает резонанс — явление возрастания ампли- туды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: ω
r
≈ ω
0
, и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой коле- баний, ω
r
= ω
0
, а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при ω → ω
0 88

19
Механические волны
Механические волны — это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды (твёрдой, жидкой или газообразной).
Наличие у среды упругих свойств является необходимым условием распространения волн:
деформация, возникающая в каком-либо месте, благодаря взаимодействию соседних частиц последовательно передаётся от одной точки среды к другой. Различным типам деформаций будут соответствовать разные типы волн.
19.1
Продольные и поперечные волны
Волна называется продольной, если частицы среды колеблются параллельно направлению рас- пространения волны. Продольная волна состоит из чередующихся деформаций растяжения и сжатия. На рис.
63
показана продольная волна, представляющая собой колебания плоских слоёв среды; направление, вдоль которого колеблются слои, совпадает с направлением распростра- нения волны (т. е. перпендикулярно слоям).
λ
λ

v
Рис. 63. Продольная волна
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направле- нию распространения волны. Поперечная волна вызывается деформациями сдвига одного слоя среды относительно другого. На рис.
64
каждый слой колеблется вдоль самого себя, а волна идёт перпендикулярно слоям.
λ
λ

v
Рис. 64. Поперечная волна
Продольные волны могут распространяться в твёрдых телах, жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжатие, в результате которой появятся бегущие друг за другом сжатия и разрежения среды.
Однако жидкости и газы, в отличие от твёрдых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоёв. Поэтому поперечные волны могут распространяться в твёрдых телах, но не внутри жидкостей и газов
7 7
На поверхности жидкости могут существовать волны особого типа, похожие на поперечные — так называе- мые поверхностные волны. Они возникают под действием силы тяжести и силы поверхностного натяжения.
89

Важно отметить, что частицы среды при прохождении волны совершают колебания вблизи неизменных положений равновесия, т. е. в среднем остаются на своих местах. Волна, таким образом, осуществляет перенос энергии, не сопровождающийся переносом вещества.
Наиболее просты для изучения гармонические волны. Они вызываются внешним воздей- ствием на среду, меняющимся по гармоническому закону. При распространении гармонической волны частицы среды совершают гармонические колебания с частотой, равной частоте внеш- него воздействия. Гармоническими волнами мы в дальнейшем и ограничимся.
Рассмотрим процесс распространения волны более подробно.
Допустим, что некоторая частица среды (частица 1) начала совершать колебания с перио- дом T . Действуя на соседнюю частицу 2, она потянет её за собой. Частица 2, в свою очередь,
потянет за собой частицу 3 и т. д. Так возникнет волна, в которой все частицы будут совершать колебания с периодом T .
Однако частицы имеют массу, т. е. обладают инертностью. На изменение их скорости требу- ется некоторое время. Следовательно, частица 2 в своём движении будет несколько отставать от частицы 1, частица 3 будет отставать от частицы 2 и т. д. Когда частица 1 спустя вре- мя T завершит первое колебание и начнёт второе, своё первое колебание начнёт частица N + 1,
находящаяся от частицы 1 на некотором расстоянии λ.
Итак, за время, равное периоду колебаний частиц, возмущение среды распространяется на расстояние λ. Это расстояние называется длиной волны. Колебания частицы N + 1 будут иден- тичны колебаниям частицы 1, колебания следующей частицы N + 2 будут идентичны коле- баниям частицы 2 и т. д. Колебания как бы воспроизводят себя на расстоянии λ. Поэтому длину волны λ можно назвать пространственным периодом колебаний; наряду с временн ´
ым периодом T она является важнейшей характеристикой волнового процесса.
В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними сжатиями или раз- режениями (рис.
63
). В поперечной — расстоянию между соседними горбами или впадинами
(рис.
64
). Вообще, длина волны равна расстоянию (вдоль направления распространения волны)
между двумя ближайшими частицами среды, колеблющимися одинаково (т. е. с разностью фаз,
равной 2π).
Скоростью распространения волны называется отношение длины волны к периоду колеба- ний частиц среды:
v =
λ
T
Частотой волны называется частота колебаний частиц:
ν =
1
T
Отсюда получаем связь скорости волны, длины волны и частоты:
v = λν.
(95)
19.2
Звук
Звуковыми волнами в широком смысле называются всякие волны, распространяющиеся в упру- гой среде. В узком смысле звуком называют звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до
20 кГц, воспринимаемые человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука,
выше — область ультразвука.
К основным характеристикам звука относятся громкость и высота.
Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой волне и измеря- ется в специальных единицах — децибелах (дБ). Так, громкость 0 дБ является порогом слы- шимости, 10 дБ — тиканье часов, 50 дБ — обычный разговор, 80 дБ — крик, 130 дБ — верхняя граница слышимости (так называемый болевой порог).
90

Тон — это звук, который издаёт тело, совершающее гармонические колебания (например,
камертон или струна). Высота тона определяется частотой этих колебаний: чем выше частота,
тем выше нам кажется звук. Так, натягивая струну, мы увеличиваем частоту её колебаний и,
соответственно, высоту звука.
Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука больше, чем в газах, а в твёрдых телах — больше, чем в жидкостях.
Например, скорость звука в воздухе при 0
◦
С равна примерно 340 м/с (её удобно запомнить как «треть километра в секунду»)
8
. В воде звук распространяется со скоростью около 1500 м/с,
а в стали — около 5000 м/с.
Заметим, что частота звука от данного источника во всех средах одна и та же: частицы среды совершают вынужденные колебания с частотой источника звука. Согласно формуле (
95
)
заключаем тогда, что при переходе из одной среды в другую наряду со скоростью звука изме- няется длина звуковой волны.
8
Если хочешь найти расстояние до грозовых туч в километрах, посчитай, через сколько секунд после молнии придёт гром, и раздели полученное число на три.
91