Файл: Данное пособие посвящено первому разделу Механика кодификатора егэ по физике. Оно охватывает следующие темы.pdf

= 10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.
Берём формулу y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
Имеем: y = 0, y
0
= h, v
0y
= v
0
, a y
= −g, так что 0 = h + v
0
t −
gt
2 2
= 15 + 10t − 5t
2
, или t
2
− 2t − 3 = 0. Решая квадратное уравнение, получим t = 3 c.
30

4.5
Горизонтальный бросок
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v
0
с высоты h. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат OXY так, как показано на рис.
15
O
X
Y

v
0
h

g
Рис. 15. Горизонтальный бросок
Используем формулы:
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
В нашем случае x
0
= 0, v
0x
= v
0
, a x
= 0, y
0
= h, v
0y
= 0, a y
= −g. Получаем:
x = v
0
t,
y = h −
gt
2 2
(45)
Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y обращается в нуль:
y(T ) = 0 ⇒ h −
gT
2 2
= 0 ⇒ T =
s
2h g
Дальность полёта L — это значение координаты x в момент времени T :
L = x(T ) = v
0
T = v
0
s
2h g
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (
45
). Выражаем t из первого уравнения и подставляем во второе:
t =
x v
0
⇒
y = h −
g
2
x v
0

2
= h −
gx
2 2v
2 0
Получили зависимость y от x, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
31

4.6
Бросок под углом к горизонту
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошен- ного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью v
0
, направленной под углом α к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат OXY так, как показано на рис.
16
O
X
Y
α

v
0

g
Рис. 16. Бросок под углом к горизонту
Начинаем с уравнений:
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
В нашем случае x
0
= y
0
= 0, v
0x
= v
0
cos α, v
0y
= v
0
sin α, a x
= 0, a y
= −g. Получаем:
x = (v
0
cos α)t,
y = (v
0
sin α)t −
gt
2 2
Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:
T =
2v
0
sin α
g
,
L =
v
2 0
sin 2α
g
,
y = x tg α −
gx
2 2v
2 0
cos
2
α
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость y от x снова является уравнением параболы.
Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:
H =
v
2 0
sin
2
α
2g
32

5
Равномерное движение по окружности
Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.
Пусть точка вращается по окружности радиуса r. Скорость точки постоянна по модулю и равна v. Скорость v называется линейной скоростью точки.
Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода T имеем очевидную формулу:
T =
2πr v
(46)
Частота обращения — это величина, обратная периоду:
ν =
1
T
Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется ча- стота в об/с (обороты в секунду).
Пусть, например, T = 0,1 с. Это означает, что за время 0,1 с точка совершает один полный оборот. Частота при этом равна: ν = 1/0,1 = 10 об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.
5.1
Угловая скорость
Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат O в центре окружности (рис.
17
).
O
X
Y
M

v x
y
a r
ϕ
M
0
Рис. 17. Равномерное движение по окружности
Пусть M
0
— начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты
(r, 0). Пусть за время t точка повернулась на угол ϕ и заняла положение M .
Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:
ω =
ϕ
t
(47)
Угол ϕ, как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с.
33

За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2π. Поэтому
ω =
2π
T
(48)
Сопоставляя формулы (
46
) и (
48
), получаем связь линейной и угловой скоростей:
v = ωr.
(49)
5.2
Закон движения
Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис.
17
, что x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
Но из формулы (
47
) имеем: ϕ = ωt. Следовательно,
x = r cos ωt,
y = r sin ωt.
(50)
Формулы (
50
) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.
5.3
Центростремительное ускорение
Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продиффе- ренцировав соотношения (
50
):
v x
= ˙x = −ωr sin ωt,
v y
= ˙
y = ωr cos ωt,
a x
= ˙v x
= −ω
2
r cos ωt,
a y
= ˙v y
= −ω
2
r sin ωt.
С учётом формул (
50
) имеем:
a x
= −ω
2
x,
a y
= −ω
2
y.
(51)
Полученные формулы (
51
) можно записать в виде одного векторного равенства:
a = −ω
2

r,
(52)
где
r — радиус-вектор вращающейся точки.
Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис.
17
). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности,
называется центростремительным.
Кроме того, из формулы (
52
) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:
a = ω
2
r.
(53)
Выразим угловую скорость из (
49
):
ω =
v r
и подставим в (
53
). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:
a =
v
2
r
34

6
Путь при неравномерном движении
Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение — то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая гео- метрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.
Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна v. Возьмём два момента времени: начальный момент t
1
и конечный момент t
2
. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна ∆t = t
2
− t
1
Очевидно, что за промежуток времени [t
1
, t
2
] тело проходит путь:
s = v(t
2
− t
1
) = v∆t.
(54)
Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис.
18
).
t v
v t
1
t
2
∆t
Путь = v∆t
Рис. 18. Путь при равномерном движении
Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель v в формуле (
54
) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель ∆t — его горизонтальная сторона.
Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномер- ного движения.
Пусть скорость тела v зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке [t
1
, t
2
] график скорости выглядит, например, так (рис.
19
):
t v
t
1
t
2
Рис. 19. Неравномерное движение
Дальше мы рассуждаем следующим образом.
1. Разобьём наш промежуток времени [t
1
, t
2
] на небольшие отрезки величиной ∆t.
35

2. Предположим, что на каждом таком отрезке тело движется с постоянной скоростью.
То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией
3
: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и скачком меняется.
На рис.
20
показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек ∆t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.
t v
t
1
t
2
t v
t
1
t
2
Рис. 20. Ступенчатая аппроксимация
Путь, пройденный за время ∆t равномерного движения — это площадь прямоугольника,
расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого «ступен- чатого» движения — это сумма площадей всех прямоугольников на графике.
3. Теперь устремляем ∆t к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис.
19
. Сумма площадей прямоугольников пе- рейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, прой- денный телом за время от t
1
до t
2
(рис.
21
).
t
1
t
2
t v
Путь
Рис. 21. Путь при неравномерном движении
В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, по- лученной выше для случая равномерного движения.
Геометрическая интерпретация пути. Путь, пройденный телом при любом движении, ра- вен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.
Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае рав- ноускоренного движения.
3
Аппроксимация — это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.
36

Задача. Тело, имеющее скорость v
0
в начальный момент t = 0, разгоняется с постоянным ускорением a. Найти путь, пройденный телом к моменту времени t.
Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:
v = v
0
+ at.
(55)
График скорости — прямая, изображённая на рис.
22
. Искомый путь есть площадь трапеции,
расположенной под графиком скорости.
t v
t v
0
v
0
Рис. 22. Путь при равноускоренном движении
Меньшее основание трапеции равно v
0
. Большее основание равно v = v
0
+ at. Высота трапе- ции равна t. Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту,
имеем:
s =
v
0
+ v
2
· t =
v
0
+ (v
0
+ at)
2
· t =
2v
0
+ at
2
· t =
2v
0
t + at
2 2
Эту формулу можно переписать в более привычном виде:
s = v
0
t +
at
2 2
Она, разумеется, вам хорошо известна из темы «Равноускоренное движение».
Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра τ (рис.
23
). Максималь- ная скорость тела равна v. Найти путь, пройденный телом за время τ .
t v
v
τ
0
Рис. 23. К задаче
Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса R
равна πR
2
. Но в данной задаче необходимо учесть,
что радиусы полуокружности имеют разные размер- ности: горизонтальный радиус есть время τ /2, а вер- тикальный радиус есть скорость v.
Поэтому пройденный путь, вычисляемый как пло- щадь полукруга, равен половине произведения π на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:
s =
1 2
· π ·
τ
2
· v =
πvτ
4 37

7
Первый закон Ньютона
Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Однако в некоторых ситуациях воздействия на данное тело со стороны других тел можно не принимать во внимание.
Так, космический корабль в далёком межзвёздном пространстве практически не испытывает гравитационного притяжения объектов Вселенной из-за их колоссальной удалённости
4
. Лежа- щий на столе карандаш притягивается к Земле, но действие Земли компенсируется упругой реакцией стола, и поэтому карандаш находится в покое, словно никакие силы на него вообще не действуют.
Во всех подобных случаях будем называть тело свободным.
Тело называется свободным, если действия на него со стороны других тел или пренебре- жимо малы, или компенсируют друг друга.
7.1
Инерциальные системы отсчёта
Повседневный опыт говорит о том, что свободные тела покоятся — как упомянутый карандаш на столе. Поэтому долгое время считалось, что для поддержания какого бы то ни было дви- жения необходимо осуществлять нескомпенсированное внешнее воздействие со стороны других тел.
Но это оказалось неверным. Как установил Галилей, свободное тело может не только нахо- диться в покое, но и двигаться равномерно и прямолинейно! Именно состояние равномерного прямолинейного движения является «естественным» для свободного тела; покой же — частный случай такого движения со скоростью, равной нулю.
Следует учесть, однако, что движение относительно: оно рассматривается не само по себе,
а в определённой системе отсчёта. В различных же системах отсчёта движение данного тела будет выглядеть по-разному.
Так, дом с точки зрения неподвижно стоящего наблюдателя будет находиться в покое: сила притяжения дома к Земле компенсируется силой упругости почвы. Если наблюдатель движется относительно земли равномерно и прямолинейно, то и дом относительно наблюдателя будет совершать равномерное прямолинейное движение в полном соответствии с выводами Галилея —
ведь дом является свободным телом!
Но если у наблюдателя заплетаются ноги и он бредёт, шатаясь, то ему будет казаться, что дом раскачивается в разные стороны. В этой системе отсчёта дом, будучи свободным телом,
совершает отнюдь не равномерное и прямолинейное движение.
Таким образом, утверждение Галилея верно не во всей общности: не во всякой системе отсчёта свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Но всё же такие системы отсчёта существуют (существуют «хорошие» наблюдатели!), и в этом состоит первый закон Ньютона.
Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчёта, относительно которых свобод- ное тело движется равномерно и прямолинейно.
Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют ещё законом инерции. Равномерное прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции.
Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямоли- нейно, называется инерциальной. Первый закон Ньютона — это постулат
5
о существовании
4
Согласно закону всемирного тяготения гравитационные силы обратно пропорциональны квадрату расстоя- ния между телами.
5
Постулат — первичное утверждение физики, не выводимое из каких-либо иных утверждений. Постулат есть констатация факта: таким вот образом ведёт себя природа. Сформулировать тот или иной постулат можно лишь на основании наблюдений и физических экспериментов.
38

инерциальных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта механические явления опи- сываются наиболее просто.
В действительности инерциальных систем отсчёта существует бесконечно много: всякая си- стема отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямоли- нейно, сама является инерциальной.
Система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы отсчёта с ускорени- ем, является неинерциальной. В такой «плохой» системе отсчёта свободное тело будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.
С достаточно высокой точностью можно считать инерциальной гелиоцентрическую систе- му (систему Коперника). Это система отсчёта, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси направлены на три какие-либо удалённые звезды, которые можно принять за неподвижные.
Инерциальной часто можно считать систему отсчёта, связанную с земной поверхностью.
Это, однако, более грубое приближение — ведь мы тем самым отвлекаемся от вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Так, звезда, неподвижная в системе Коперника, в зем- ной системе будет совершать сложное движение в виде наложения двух вращений (суточного и годового). Однако в большинстве явлений, происходящих на поверхности Земли, неинерци- альность земной системы отсчёта практически никак не сказывается, и ею можно пренебречь.
7.2
Принцип относительности
Галилей заметил, что, находясь в трюме корабля, никакими механическими опытами невозмож- но установить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Это означает,
что инерциальные системы отсчёта совершенно неотличимы друг от друга с точки зрения за- конов механики. Иными словами, верен принцип относительности Галилея.
Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же на- чальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.
Впоследствии Эйнштейн распространил этот принцип с механических явлений на вообще все физические явления. Общий принцип относительности Эйнштейна лёг в основу теории относительности.
Принцип относительности Галилея и Эйнштейна мы обсудим подробнее при изучении основ специальной теории относительности.
39

8
Масса и плотность
Масса — фундаментальная физическая величина. Масса характеризует сразу несколько свойств тела и сама по себе обладает рядом важных свойств.
1. Масса служит мерой содержащегося в теле вещества.
2. Масса является мерой инертности тела. Инертностью называется свойство тела сохра- нять свою скорость неизменной (в инерциальной системе отсчёта), когда внешние воздей- ствия отсутствуют или компенсируют друг друга.
При наличии внешних воздействий инертность тела проявляется в том, что его скорость меняется не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее, чем больше инертность (т. е. масса)
тела. Например, если бильярдный шар и автобус движутся с одинаковой скоростью и тор- мозятся одинаковым усилием, то для остановки шара требуется гораздо меньше времени,
чем для остановки автобуса.
3. Массы тел являются причиной их гравитационного притяжения друг к другу (см. раздел
«Сила тяготения»).
4. Масса тела равна сумме масс его частей. Это так называемая аддитивность массы. Ад- дитивность позволяет использовать для измерения массы эталон — 1 кг.
5. Масса изолированной системы тел не меняется со временем (закон сохранения массы).
6. Масса тела не зависит от скорости его движения. Масса не меняется при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Плотностью однородного тела называется отношение массы тела к его объёму:
ρ =
m
V
Плотность не зависит от геометрических свойств тела (формы, объёма) и является характе- ристикой вещества тела. Плотности различных веществ представлены в справочных таблицах.
Желательно помнить плотность воды: 1000 кг/м
3 40

9
Второй и третий законы Ньютона
Взаимодействие тел можно описывать с помощью понятия силы. Сила — это векторная вели- чина, являющаяся мерой воздействия одного тела на другое.
Будучи вектором, сила характеризуется модулем (абсолютной величиной) и направлением в пространстве. Кроме того, важна точка приложения силы: одна и та же по модулю и направ- лению сила, приложенная в разных точках тела, может оказывать различное воздействие. Так,
если взяться за обод велосипедного колеса и потянуть по касательной к ободу, то колесо начнёт вращаться. Если же тянуть вдоль радиуса, никакого вращения не будет.
9.1
Принцип суперпозиции
Опыт показывает, что если на данное тело действуют несколько других тел, то соответствующие силы складываются как векторы. Более точно, справедлив принцип суперпозиции.
Принцип суперпозиции сил. Пусть на тело действуют силы
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n
. Если заменить их одной силой
F =
F
1
+
F
2
+ . . . +
F
n
, то результат воздействия не изменится.
Сила
F называется равнодействующей сил
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n или результирующей силой.
9.2
Второй закон Ньютона
Если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю (то есть воздействия других тел компенсируют друг друга), то в силу первого закона Ньютона найдутся такие системы отсчёта
(называемые инерциальными), в которых движение тела будет равномерным и прямолинейным.
Но если равнодействующая не обращается в нуль, то в инерциальной системе отсчёта у тела появится ускорение.
Количественную связь между ускорением и силой даёт второй закон Ньютона.
Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на вектор ускорения есть равнодейству- ющая всех сил, приложенных к телу: ma =
F .
Подчеркнём, что второй закон Ньютона связывает векторы ускорения и силы. Это означает,
что справедливы следующие утверждения.
1. ma = F , где a — модуль ускорения, F — модуль равнодействующей силы.
2. Вектор ускорения сонаправлен с вектором равнодействующей силы, так как масса тела положительна.
Например, если тело равномерно движется по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности. Стало быть, к центру окружности направлена и равнодействующая всех сил, приложенных к телу.
Второй закон Ньютона справедлив не в любой системе отсчёта. Вспомним шатающегося на- блюдателя (раздел «Первый закон Ньютона»): относительно него дом движется с ускорением,
хотя равнодействующая всех сил, приложенных к дому, равна нулю. Второй закон Ньютона выполняется лишь в инерциальных системах отсчёта, факт существования которых устанавли- вается первым законом Ньютона.
9.3
Третий закон Ньютона
Опыт показывает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует на тело А. Коли- чественную связь между действиями тел друг на друга даёт третий закон Ньютона («действие равно противодействию»).
41

Третий закон Ньютона. Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки приложения.
Например, если карандаш действует на стол с силой
P , направленной вниз, то стол действует на карандаш с силой
N , направленной вверх (рис.
24
). Эти силы равны по абсолютной величине.

P

N
Рис. 24.
P = −
N
Силы
P и
N , как видим, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга (нет смысла говорить об их равнодействующей).
Третий закон Ньютона, как и второй, справедлив только в инерциальных системах отсчёта.
9.4

1   2   3   4   5

. Чему равна при этом работа силы упругости пружины?
В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегри- рование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат.
Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин x
1
, x
2
и определяется формулой:
A =
kx
2 1
2
−
kx
2 2
2
Величина
W =
kx
2 2
называется потенциальной энергией деформированной пружины (x — величина деформации).
Следовательно,
A = W
1
− W
2
= −∆W,
что полностью аналогично формулам (
77
) и (
78
).
74

16.7
Закон сохранения механической энергии
Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкну- той системы тел.
Механическая энергия E тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:
E = K + W.
Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.
Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упру- гости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны K
1
и W
1
, в конечном положении — K
2
и W
2
. Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим A.
По теореме о кинетической энергии:
K
2
− K
1
= A.
Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:
A = W
1
− W
2
Отсюда получаем:
K
2
− K
1
= W
1
− W
2
,
или
K
1
+ W
1
= K
2
+ W
2
Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении:
E
1
= E
2
Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механиче- ская энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения.
Справедливо и более общее утверждение.
Закон сохранения механической энергии. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.
При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в по- тенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.
16.8
Закон изменения механической энергии
Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое тре- ние), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсер- вативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю.
Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрица- тельную работу A
тр
. Работу консервативных сил (тяжести и упругости) по-прежнему обозна- чаем A.
75

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех внешних сил:
K
2
− K
1
= A + A
тр
Но A = W
1
− W
2
, следовательно
K
2
− K
1
= W
1
− W
2
+ A
тр
Отсюда
K
2
+ W
2
− (K
1
+ W
1
) = A
тр
,
или
E
2
− E
1
= A
тр
В левой части стоит величина ∆E = E
2
− E
1
— изменение механической энергии тела:
∆E = A
тр
Итак, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине изменение механи- ческой энергии тела равно работе силы трения. Так как работа силы трения отрицательна,
изменение механической энергии также отрицательно: механическая энергия убывает.
Справедливо и более общее утверждение.
Закон изменения механической энергии. Изменение механической энергии замкнутой си- стемы равно работе сил трения, действующих внутри системы.
Ясно, что закон сохранения механической энергии является частным случаем данного утвер- ждения.
Конечно, убыль механической энергии не противоречит общефизическому закону сохране- ния энергии. В данном случае механическая энергия превращается в энергию теплового движе- ния частиц вещества и их потенциальную энергию взаимодействия друг с другом, т. е. переходит во внутреннюю энергию тел системы.
76

17
Простые механизмы
Механизмом в физике называется приспособление для преобразования силы (её увеличения или уменьшения). Например, прикладывая небольшое усилие в одном месте механизма, можно получить значительно большее усилие в другом его месте.
Один вид механизма нам уже встретился: это гидравлический пресс. Здесь мы рассмотрим так называемые простые механизмы — рычаг и наклонную плоскость.
17.1
Рычаг
Рычаг — это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. На рис.
50
изображён рычаг с осью вращения O. К концам рычага (точкам A и B) приложены силы
F
1
и
F
2
. Плечи этих сил равны соответственно l
1
и l
2
A
B
O

F
1

F
2
l
1
l
2
Рис. 50. Рычаг
Условие равновесия рычага даётся правилом момен- тов: F
1
l
1
= F
2
l
2
, откуда
F
1
F
2
=
l
2
l
1
Из этого соотношения следует, что рычаг даёт выиг- рыш в силе или в расстоянии (смотря по тому, с какой целью он используется) во столько раз, во сколько боль- шее плечо длиннее меньшего.
Например, чтобы усилием 100 Н поднять груз весом
700 Н, нужно взять рычаг с отношением плеч 7 : 1 и положить груз на короткое плечо. Мы выиграем в силе в 7 раз, но во столько же раз проиграем в расстоянии: конец длинного плеча опишет в 7 раз б´
ольшую дугу, чем конец короткого плеча
(то есть груз).
Примерами рычага, дающего выигрыш в силе, являются лопата, ножницы, плоскогубцы.
Весло гребца — это рычаг, дающий выигрыш в расстоянии. А обычные рычажные весы явля- ются равноплечим рычагом, не дающим выигрыша ни в расстоянии, ни в силе (в противном случае их можно использовать для обвешивания покупателей).
17.2
Неподвижный блок
O
A
B
C

F
D

P
Рис. 51. Неподвижный блок
Важной разновидностью рычага является блок — укреплён- ное в обойме колесо с жёлобом, по которому пропущена верёв- ка. В большинстве задач верёвка считается невесомой нерас- тяжимой нитью.
На рис.
51
изображён неподвижный блок, т. е. блок с непо- движной осью вращения (проходящей перпендикулярно плос- кости рисунка через точку O).
На правом конце нити в точке D закреплён груз весом
P .
Напомним, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В данном случае вес
P прило- жен к точке D, в которой груз крепится к нити.
К левому концу нити в точке C приложена сила
F .
Плечо силы
F равно OA = r, где r — радиус блока. Плечо веса
P равно OB = r. Значит, неподвижный блок является равноплечим рычагом и потому не даёт выигрыша ни в силе, ни в расстоянии: во-первых,
77

имеем равенство F = P , а во-вторых, в процессе движении груза и нити перемещение точки C
равно перемещению груза.
Зачем же тогда вообще нужен неподвижный блок? Он полезен тем, что позволяет изме- нить направление усилия. Обычно неподвижный блок используется как часть более сложных механизмов.
17.3
Подвижный блок
O
A
B
C

F
D

P
Рис. 52. Подвижный блок
На рис.
52
изображён подвижный блок, ось которого переме- щается вместе с грузом. Мы тянем за нить с силой
F , которая приложена в точке C и направлена вверх. Блок вращается и при этом также движется вверх, поднимая груз, подвешенный на нити OD.
В данный момент времени неподвижной точкой является точка A, и именно вокруг неё поворачивается блок (он бы «пе- рекатывается» через точку A). Говорят ещё, что через точку A
проходит мгновенная ось вращения блока (эта ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка).
Вес груза
P приложен в точке D крепления груза к нити.
Плечо силы
P равно AO = r.
А вот плечо силы
F , с которой мы тянем за нить, оказыва- ется в два раза больше: оно равно AB = 2r. Соответственно,
условием равновесия груза является равенство F = P/2 (что мы и видим на рис.
52
: длина вектора
F в два раза меньше длины вектора
P ).
Следовательно, подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. При этом, однако, мы в те же два раза проигры- ваем в расстоянии. Действительно, нетрудно сообразить, что для поднятия груза на один метр точку C придётся переместить вверх на два метра (то есть вытянуть два метра нити).

F
Рис. 53. Комбинация блоков
У блока на рис.
52
есть один недостаток: тянуть нить вверх
(за точку C) — не самая лучшая идея. Согласитесь, что го- раздо удобнее тянуть за нить вниз! Вот тут-то нас и выручает неподвижный блок.
На рис.
53
изображён подъёмный механизм, который пред- ставляет собой комбинацию подвижного блока с неподвиж- ным. К подвижному блоку подвешен груз, а трос дополни- тельно перекинут через неподвижный блок, что даёт возмож- ность тянуть за трос вниз для подъёма груза вверх. Внешнее усилие на тросе снова обозначено вектором
F .
Принципиально данное устройство ничем не отличается от подвижного блока: с его помощью мы также получаем дву- кратный выигрыш в силе.
17.4
Наклонная плоскость
Как мы знаем, тяжёлую бочку проще вкатить по наклонным мосткам, чем поднимать верти- кально. Мостки, таким образом, являются механизмом, который даёт выигрыш в силе.
В механике подобный механизм называется наклонной плоскостью. Наклонная плоскость —
это ровная плоская поверхность, расположенная под некоторым углом α к горизонту. В таком
78

случае коротко говорят: «наклонная плоскость с углом α».
Найдём силу, которую надо приложить к грузу массы m, чтобы равномерно поднять его по гладкой наклонной плоскости с углом α. Эта сила
F , разумеется, направлена вдоль наклонной плоскости (рис.
54
).
α
X
m
g

N

F
α
Рис. 54. Гладкая наклонная плоскость
Выберем ось X так, как показано на рисунке. Поскольку груз движется без ускорения,
действующие на него силы уравновешены:
m
g +
N +
F = 0.
Проектируем на ось X:
−mg sin α + F = 0,
откуда
F = mg sin α.
Именно такую силу нужно приложить, что двигать груз вверх по наклонной плоскости.
Чтобы равномерно поднимать тот же груз по вертикали, к нему нужно приложить силу,
равную mg. Видно, что F < mg, поскольку sin α < 1. Наклонная плоскость действительно даёт выигрыш в силе, и тем больший, чем меньше угол α.
Широко применяемыми разновидностями наклонной плоскости являются клин и винт.
17.5
Золотое правило механики
Простой механизм может дать выигрыш в силе или в расстоянии, но не может дать выигрыша в работе.
Например, рычаг с отношением плеч 2 : 1 даёт выигрыш в силе в два раза. Чтобы на меньшем плече поднять груз весом P , нужно к большему плечу приложить силу P/2. Но для поднятия груза на высоту h большее плечо придётся опустить на 2h, и совершённая работа будет равна
A =
P
2
· 2h = P h,
т. е. той же величине, что и без использования рычага.
В случае наклонной плоскости мы выигрываем в силе, так как прикладываем к грузу силу
F = mg sin α, меньшую силы тяжести. Однако, чтобы поднять груз на высоту h над начальным положением, нам нужно пройти путь l = h/ sin α вдоль наклонной плоскости. При этом мы совершаем работу
A = mg sin α
h sin α
= mgh,
79

т. е. ту же самую, что и при вертикальном поднятии груза.
Данные факты служат проявлениями так называемого золотого правила механики.
Золотое правило механики. Ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе.
Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот.
Золотое правило механики есть не что иное, как простой вариант закона сохранения энергии.
17.6
КПД механизма
На практике приходится различать полезную работу A
полезн
, которую нужно совершить при по- мощи механизма в идеальных условиях отсутствия каких-либо потерь, и полную работу A
полн
,
которая совершается для тех же целей в реальной ситуации.
Полная работа равна сумме:
• полезной работы;
• работы, совершённой против сил трения в различных частях механизма;
• работы, совершённой по перемещению составных элементов механизма.
Так, при подъёме груза рычагом приходится вдобавок совершать работу по преодолению силы трения в оси рычага и по перемещению самого рычага, имеющего некоторый вес.
Полная работа всегда больше полезной. Отношение полезной работы к полной называется коэффициентом полезного действия (КПД) механизма:
η =
A
полезн
A
полн
КПД принято выражать в процентах. КПД реальных механизмов всегда меньше 100%.
Вычислим КПД наклонной плоскости с углом α при наличии трения. Коэффициент трения между поверхностью наклонной плоскости и грузом равен µ.
Пусть груз массы m равномерно поднимается вдоль наклонной плоскости под действием силы
F из точки P в точку Q на высоту h (рис.
55
). В направлении, противоположном пере- мещению, на груз действует сила трения скольжения
f .
h
P
Q
α
m
g

F

N

f
Y
X
α
Рис. 55. Наклонная плоскость с трением
Ускорения нет, поэтому силы, действующие на груз, уравновешены:
m
g +
N +
F +
f = 0.
80

Проектируем на ось X:
− mg sin α + F − f = 0.
(79)
Проектируем на ось Y :
− mg cos α + N = 0.
(80)
Кроме того,
f = µN.
(81)
Из (
80
) имеем:
N = mg cos α.
Тогда из (
81
):
f = µmg cos α.
Подставляя это в (
79
), получаем:
F = mg sin α + f = mg sin α + µmg cos α = mg(sin α + µ cos α).
Полная работа равна произведению силы F на путь, пройденный телом вдоль поверхности наклонной плоскости:
A
полн
= F · P Q = mg(sin α + µ cos α)
h sin α
= mgh(1 + µ ctg α).
Полезная работа, очевидно, равна:
A
полезн
= mgh.
Для искомого КПД получаем:
η =
A
полезн
A
полн
=
mgh mgh(1 + µ ctg α)
=
1 1 + µ ctg α
81

18
Механические колебания
Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.
Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестно- сти положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.
Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение рав- новесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник,
если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.
Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл поло- жение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад.
Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.
Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения рав- новесия.
Период колебаний T — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.
Частота колебаний ν — это величина, обратная периоду: ν = 1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.
18.1
Гармонические колебания
Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной коорди- натой x. Положению равновесия отвечает значение x = 0. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t), дающей координату тела в любой момент времени.
Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функ- ции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У
них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.
Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на π/2,
можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.
Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
x = A cos(ωt + α).
(82)
Выясним смысл входящих в эту формулу величин.
Положительная величина A является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому A — амплитуда колебаний.
Аргумент косинуса ωt + α называется фазой колебаний. Величина α, равная значению фазы при t = 0, называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела:
x
0
= A cos α.
Величина ω называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний T
и частотой ν. Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2π радиан:
ωT = 2π, откуда
ω =
2π
T
,
(83)
ω = 2πν.
(84)
82

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
В соответствии с выражениями (
83
) и (
84
) получаем ещё две формы записи гармонического закона (
82
):
x = A cos
2πt
T
+ α

,
x = A cos(2πνt + α).
График функции (
82
), выражающей зависимость координаты от времени при гармониче- ских колебаниях, приведён на рис.
56 0
t x
x
0
−A
A
T
Рис. 56. График гармонических колебаний
Гармонический закон вида (
82
) носит самый общий характер. Он отвечает, например, си- туации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину x

1   2   3   4   5