Файл: Все грани математики и механики апреля 2017 г. Сборник статей Под редакцией дра физмат наук, профессора А. В.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 17
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-математический факультет
Всероссийская молодежная научная конференция
«Все грани математики и механики апреля 2017 г.)
Сборник статей
Под редакцией д-ра физмат. наук, профессора А.В. Старченко
Томск
Издательский Дом Томского государственного университета
???? ≤ ???? }
, удовлетворяющие системе уравнений ????
????
????
2
????
????????
2
+ ???? − ???????? − ????
1
????
2
,
????????
????????
= ????
????
????
2
????
????????
2
− ???????? + ???????? − с соответствующими начальными, 0) = ????
1
(????),
????(????, 0) = и граничными условиями Начальные функции хи х) задаются аналогично [3] (см.
рисунки 1 и Рис. 1. Плотность популяции жертв в начальный момнет времени
Рис. 2. Плотность популяции хищников в начальный момнет времени
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-математический факультет
Всероссийская молодежная научная конференция
«Все грани математики и механики апреля 2017 г.)
Сборник статей
Под редакцией д-ра физмат. наук, профессора А.В. Старченко
Томск
Издательский Дом Томского государственного университета
Исследование математической модели
«хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания
Чу АР, Михайлов М. Д.
Томский государственный университет, Томск e-mail: chu.antoniy@gmail.com
Аннотация
Существует многоразличных математических моделей,
описывающих динамику численности популяций, взаимодействующих по принципу «хищник-жертва», в основе которых лежит классическая модель Лотки-Вольтерра. В [1] модель приводится к более простому виду, с меньшим количеством коэффициентов. В данной работе в изменённой модели учитываются условия внутривидовой конкуренции среди хищников и жертв и ареал обитания в одномерном приближении.
Построенная пространственная модель реализуется с помощью неявного метода и сравнение результатов численного счёта с результатами из [2] показывает, что процессы, описываемые модифицированной моделью также являются устой- чивыми.
Ключевые слова математическая модель, аппроксимация, устойчивость, узел, фокус, хищник-жертва, ареал обитания, внутривидовая конкуренция.
Модель Базыкина [1], представляющая модификацию классической модели Лотки-Вольтерра, имеет следующий вид ???? − ????????,
????????
????????
= −???????? + с соответствующими начальными условиями) = ????
0
,
????(0) = ????
0 138
«хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания
Чу АР, Михайлов М. Д.
Томский государственный университет, Томск e-mail: chu.antoniy@gmail.com
Аннотация
Существует многоразличных математических моделей,
описывающих динамику численности популяций, взаимодействующих по принципу «хищник-жертва», в основе которых лежит классическая модель Лотки-Вольтерра. В [1] модель приводится к более простому виду, с меньшим количеством коэффициентов. В данной работе в изменённой модели учитываются условия внутривидовой конкуренции среди хищников и жертв и ареал обитания в одномерном приближении.
Построенная пространственная модель реализуется с помощью неявного метода и сравнение результатов численного счёта с результатами из [2] показывает, что процессы, описываемые модифицированной моделью также являются устой- чивыми.
Ключевые слова математическая модель, аппроксимация, устойчивость, узел, фокус, хищник-жертва, ареал обитания, внутривидовая конкуренция.
Модель Базыкина [1], представляющая модификацию классической модели Лотки-Вольтерра, имеет следующий вид ???? − ????????,
????????
????????
= −???????? + с соответствующими начальными условиями) = ????
0
,
????(0) = ????
0 138
С учётом внутривидовой конкуренции среди хищников и жертв система (1) приводится к следующему виду ???? − ???????? − ????
1
????
2
,
????????
????????
= −???????? + ???????? − ????
2
????
2
,
????(0) = ????
0
,
????(0) = где ????
1
, удельная скорость смертности жертв и хищников соответственно за счёт внутривидовой конкуренции, а ???? - некоторый коэффициент, полученный в Исследование устойчивости системы (2), а также условия, обеспечивающие устойчивость процессов, описываемых системой (приведены в [2] (системы неравенств (10) и (11)) . Для определения параметров ????
1
, ????
2
, ???? фиксируется два параметра ????
1
, ???? и находится промежуток изменений для ????
2
. Часть полученных результатов приведена в таблицах 1 и Таблица 1 — Случай устойчивого фокуса 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01 0<????
2
<1.58 0<????
2
<1.49 0<????
2
<1.40 0<????
2
<1.33 0,91 0.18<????
2
<1.91 0<????
2
<1.57 0<????
2
<1.21 0<????
2
<0.74 1,81 0.54<????
2
< 2.16 0.038<????
2
<1.45
False
False
2,71 0.88<????
2
< 2.38 Таблица 2 — Случай устойчивого узла 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01
????
2
>1.58
????
2
>1.49
????
2
>1.40 ????
2
>1.33 0,91 0<????
2
<0.18||????
2
>1.91,
????
2
>1.57
????
2
>1.21 ????
2
>0.74 1,81 0<????
2
<0.54||????
2
>2.16, 0 < ????
2
< 0.038||
False
False
||????
2
> 1.45
,
2,71 0<????
2
<0.88||????
2
>2.38 Рассматривается модификация модели Базыкина-Свирежева с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания. Ищутся функции ????(????, ????), ????(????, ????) ∈ ????
2 1
(????) ∩ ????( ˜
????), ˜
???? = {(????, ????)|0 ≤ ???? ≤ ????; 0 ≤
139
1
????
2
,
????????
????????
= −???????? + ???????? − ????
2
????
2
,
????(0) = ????
0
,
????(0) = где ????
1
, удельная скорость смертности жертв и хищников соответственно за счёт внутривидовой конкуренции, а ???? - некоторый коэффициент, полученный в Исследование устойчивости системы (2), а также условия, обеспечивающие устойчивость процессов, описываемых системой (приведены в [2] (системы неравенств (10) и (11)) . Для определения параметров ????
1
, ????
2
, ???? фиксируется два параметра ????
1
, ???? и находится промежуток изменений для ????
2
. Часть полученных результатов приведена в таблицах 1 и Таблица 1 — Случай устойчивого фокуса 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01 0<????
2
<1.58 0<????
2
<1.49 0<????
2
<1.40 0<????
2
<1.33 0,91 0.18<????
2
<1.91 0<????
2
<1.57 0<????
2
<1.21 0<????
2
<0.74 1,81 0.54<????
2
< 2.16 0.038<????
2
<1.45
False
False
2,71 0.88<????
2
< 2.38 Таблица 2 — Случай устойчивого узла 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01
????
2
>1.58
????
2
>1.49
????
2
>1.40 ????
2
>1.33 0,91 0<????
2
<0.18||????
2
>1.91,
????
2
>1.57
????
2
>1.21 ????
2
>0.74 1,81 0<????
2
<0.54||????
2
>2.16, 0 < ????
2
< 0.038||
False
False
||????
2
> 1.45
,
2,71 0<????
2
<0.88||????
2
>2.38 Рассматривается модификация модели Базыкина-Свирежева с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания. Ищутся функции ????(????, ????), ????(????, ????) ∈ ????
2 1
(????) ∩ ????( ˜
????), ˜
???? = {(????, ????)|0 ≤ ???? ≤ ????; 0 ≤
139
???? ≤ ???? }
, удовлетворяющие системе уравнений ????
????
????
2
????
????????
2
+ ???? − ???????? − ????
1
????
2
,
????????
????????
= ????
????
????
2
????
????????
2
− ???????? + ???????? − с соответствующими начальными, 0) = ????
1
(????),
????(????, 0) = и граничными условиями Начальные функции хи х) задаются аналогично [3] (см.
рисунки 1 и Рис. 1. Плотность популяции жертв в начальный момнет времени
Рис. 2. Плотность популяции хищников в начальный момнет времени
Чтобы решить поставленную задачу (3)-(5), будем использовать соответствующий разностный метод. Для этого покроем область
˜
????
некоторой равномерной сеткой ˜????
ℎ????
= ˜
????
ℎ
× ????
????
; ˜
????
ℎ
= {????
????
|????
????
=
????ℎ, ???? = 0, ..., ???? }; ????
????
= {????
????
|????
????
= ????????, ???? = 0, ..., ???? }
, и аппроксимируем дифференциальную задачу (3)-(5) соответствующей разностной. В
результате получим ????
????
????
????
= ????
????
????
????+1
????+1
− 2????
????+1
????
+ ????
????+1
????−1
ℎ
2
+ ????
????+1
????
(1 − ????
????
????
− ????
1
????
????
????
),
????
????+1
????
− ????
????
????
????
= ????
????
????
????+1
????+1
− 2????
????+1
????
+ ????
????+1
????−1
ℎ
2
+ ????
????+1
????
(−???? + ????
????
????
− со следующими начальными ????
1
(????
????
), ???? = 0, ..., ????,
????
0
????
= ????
2
(????
????
), ???? = 0, ..., и граничными условиями 0
= ????
????+1 1
, ????
????+1
????
= ????
????+1
???? −1
, ???? = 0, ..., ???? − 1,
????
????+1 0
= ????
????+1 1
, ????
????+1
????
= ????
????+1
???? −1
, ???? = 0, ..., ???? − Исследовались вопросы аппроксимации, устойчивости исходи- мости соответствующего численного метода (6)-(8). Показано, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную (3)-(5) с первым порядком пои и абсолютно устойчива. Следовательно, по теореме Лакса [4] решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи.
Для реализации численного метода использовались следующие значения параметров переменных, взятые из таблиц 1 и для устойчивого фокуса = 0.01, ????
1
= 0.01, ????
2
= 0.3, ????(????, 0) = ????
1
(????), ????(????, 0) = для устойчивого узла = 0.21, ????
1
= 1.21, ????
2
= 0.05, ????(????, 0) = ????
1
(????), ????(????, 0) = Результаты численных расчётов представляются в виде графиков (рис. 3 и 4), описывающих динамику изменения плотности популяции жертв (????) и хищников (????) в ом узле пространственной сетки стечением времени
˜
????
некоторой равномерной сеткой ˜????
ℎ????
= ˜
????
ℎ
× ????
????
; ˜
????
ℎ
= {????
????
|????
????
=
????ℎ, ???? = 0, ..., ???? }; ????
????
= {????
????
|????
????
= ????????, ???? = 0, ..., ???? }
, и аппроксимируем дифференциальную задачу (3)-(5) соответствующей разностной. В
результате получим ????
????
????
????
= ????
????
????
????+1
????+1
− 2????
????+1
????
+ ????
????+1
????−1
ℎ
2
+ ????
????+1
????
(1 − ????
????
????
− ????
1
????
????
????
),
????
????+1
????
− ????
????
????
????
= ????
????
????
????+1
????+1
− 2????
????+1
????
+ ????
????+1
????−1
ℎ
2
+ ????
????+1
????
(−???? + ????
????
????
− со следующими начальными ????
1
(????
????
), ???? = 0, ..., ????,
????
0
????
= ????
2
(????
????
), ???? = 0, ..., и граничными условиями 0
= ????
????+1 1
, ????
????+1
????
= ????
????+1
???? −1
, ???? = 0, ..., ???? − 1,
????
????+1 0
= ????
????+1 1
, ????
????+1
????
= ????
????+1
???? −1
, ???? = 0, ..., ???? − Исследовались вопросы аппроксимации, устойчивости исходи- мости соответствующего численного метода (6)-(8). Показано, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную (3)-(5) с первым порядком пои и абсолютно устойчива. Следовательно, по теореме Лакса [4] решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи.
Для реализации численного метода использовались следующие значения параметров переменных, взятые из таблиц 1 и для устойчивого фокуса = 0.01, ????
1
= 0.01, ????
2
= 0.3, ????(????, 0) = ????
1
(????), ????(????, 0) = для устойчивого узла = 0.21, ????
1
= 1.21, ????
2
= 0.05, ????(????, 0) = ????
1
(????), ????(????, 0) = Результаты численных расчётов представляются в виде графиков (рис. 3 и 4), описывающих динамику изменения плотности популяции жертв (????) и хищников (????) в ом узле пространственной сетки стечением времени
Рис. 3. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников стечением времени, полученные при значении параметров приведённых в (Рис. 4. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников стечением времени, полученные при значении параметров приведённых в (На рисунках 5 и 6 приведены графики динамики плотности популяции жертв и хищников стечением времени в фазовой плоскости, Рис. 5. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников повременив фазовой плоскости, полученные при значении параметров при- ведённых в (Рис. 6. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников повременив фазовой плоскости, полученные при значении параметров при- ведённых в (10)
142
142
Сравнение результатов, представленных на рисунках 3 - 6 с результатами из [2], показывает их совпадение. Это говорит о том, что модификация системы «хищник-жертва» с учётом ареала обитания описывает устойчивые процессы.
В заключении следует отметить, что методика определения оптимальных значений параметров системы «хищник-жертва» может использоваться в задачах такого рода с учётом дополнительных факторов таких, как изменение формы ареала обитания, учёт половой структуры, учёт возрастных данных итак далее.
Литература
1. Базыкин АД. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. C. 225-238.
2. Чу АР, Михайлов М. Д. Исследование математической модели "хищник-жертва"с учётом внутривидовой конкуренции Всероссийская молодежная научная конференция Все грани математики и механики : сборник статей / под редакцией А.В. Стар- ченко. Томск : Издательский Дом Томского государственного университета. С. 118-124.
3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование Идеи. Методы. Примеры //ФИЗМАТЛИТ, е издание. 2005.
C. 73-75.
4. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближённых вычислений под редакцией А.В. Старченко. Томск : Издательский
Дом Томского государственного университета, 2014. 762 с
В заключении следует отметить, что методика определения оптимальных значений параметров системы «хищник-жертва» может использоваться в задачах такого рода с учётом дополнительных факторов таких, как изменение формы ареала обитания, учёт половой структуры, учёт возрастных данных итак далее.
Литература
1. Базыкин АД. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. C. 225-238.
2. Чу АР, Михайлов М. Д. Исследование математической модели "хищник-жертва"с учётом внутривидовой конкуренции Всероссийская молодежная научная конференция Все грани математики и механики : сборник статей / под редакцией А.В. Стар- ченко. Томск : Издательский Дом Томского государственного университета. С. 118-124.
3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование Идеи. Методы. Примеры //ФИЗМАТЛИТ, е издание. 2005.
C. 73-75.
4. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближённых вычислений под редакцией А.В. Старченко. Томск : Издательский
Дом Томского государственного университета, 2014. 762 с