Задание

1. 
   Используя программу MKV смоделировать марковский процесс согласно данным индивидуального задания.
   
2. 
   Определить период устойчивого режима функционирования системы и предельные вероятности состояний.
   
3. 
   Построить графики зависимости вероятностей состояний от времени (числа шагов).
   
4. 
   Объяснить особенности протекания процесса в системе.
   

Постановка задачи

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t> t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.

Каждое состояние S1, S2, S3, ... можно изобразить схематично прямоугольником, а возможные переходы за один шаг — стрелкой. Такие графические схемы называются графами состояний.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из одного состояния в другое возможен в любой момент времени.

Для любого дискретного момента времени t1, t2, ... существует вероятность перехода системы из одного состояния в другое (переходные вероятности).

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, в противном случае — неоднородной.

Однородная марковская цепь, имеющая n состояний будет содержать вероятность перехода Pij из Si в Sj (Pij не зависит от k), Pii — вероятность задержки в состоянии Si.

Существуют ij, для которых Pij = 0. Используя события , можно Pij записать в виде

.

Вероятности состояний Pi (k) после k - го шага определяются рекуррентной формулой через вероятности состояний после (k –1) шага



Для неоднородной цепи Маркова

---

где — вероятность перехода системы из состояния Si в состояние Sj на k - м шаге


Исходные данные

Динамический процесс в каждый момент времени может находиться в одном состоянии: S1, S2, S3 или S4. В начальный момент он находится в состоянии S1. Матрица перехода из состояния в состояние определяется графом состояний, который показан на рисунке 1.

Вероятности перехода Р, не показаны и определяются из условия полноты вероятностей.



Граф состояний процесса варианта 9

Моделирование процесса

Согласно представленному графу состояний, система может находиться в четырех состояниях: S1, S2, S3, S4.

В состоянии S1, вектор начального состояния системы в программе принимает значение 1 0 0 0.

Поскольку, переходы в то же самое состояние не отображены (согласно условию задания), вероятности переходов можно рассчитать, а затем составить матрицу вероятностей перехода.

Матрица вероятностей перехода

От S1	S1	0.7	S2	–	S3	0.3	S4	–
От S2	S1	0.3	S2	0.4	S3	–	S4	0.3
От S3	S1	03	S2	–	S3	–	S4	0.7
От S4	S1	–	S2	0.6	S3	–	S4	0.4

В программе MKV матрица вероятностей перехода будет выглядеть следующим образом:

---

Исходные данные для марковского процесса
Вероятность того, что процесс будет находиться в состоянии Si через 2 единицы времени показана на рисунке:

---

Вероятность состояния Si при итерациях 1-18
Для нахождения устойчивого режима системы применим опцию G. Программа остановится. Результаты решения задачи по поиску значений вероятностей того, что процесс в течение длительного промежутка времени окажется в состоянии S1, S2, S3 и S4 представлены на рисунке. Предельные вероятности для заданного графа определяются за 18 итераций.


Таблица значений P_i(k)

Итерации	S1	S2	S3	S4
	0.7	0	0.3	0
	0.58	0	0.21	0.21
	0.469	0.126	0.174	0.231
	0.4183	0.189	0.1407	0.252
	0.3917	0.2268	0.1255	0.256
	0.3799	0.2443	0.1175	0.2583
	0.3745	0.2527	0.114	0.2589
	0.3721	0.2564	0.1123	0.2591
	0.3711	0.2580	0.1116	0.2592
	0.3707	0.2587	0.1113	0.2592
	0.3705	0.2590	0.1112	0.2593
	0.3704	0.2592	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2592	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2592	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2593	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2593	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2593	0.1111	0.2593
	0.3704	0.2593	0.1111	0.2593

---

В результате можно построить графики зависимости вероятностей состояний от числа итераций, представленные на рисунке:


Вывод

Представленный процесс является процессом с дискретным временем, поскольку переход из одного состояния в другое возможен только в момент времени k.

При помощи программы MKV был смоделирован марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем и определен период наступления устойчивого режима – 18 итераций. Получены предельные вероятности состояний.

Таким образом, в рабочем режиме система будет находиться 37% времени в состоянии S1, 26% времени в состоянии S2, 11% времени в состоянии S3 и 26% времени в состоянии S4.

---

Смотрите также файлы

• Экологический паспорт кабинета.docx

• Исследования 6.docx

• Программа среднего профессионального образования 38. 02. 03 Операционная деятельность в логистике Дисциплина Информационные технологии в профессиональной деятельности Практическое задание 3.doc

• Отче т о прохождении практики пм. 07 Выполнение работ по одной или нескольким профессиям.pdf

• Прибыль и ее роль в рыночной экономике.doc