Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 3
составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Существует два вида спектральных диаграмм:
- спектральная диаграмма амплитуд
- спектральная диаграмма фаз.
В спектральной диаграмме амплитуд - отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами. В спектральной диаграмме фаз - отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Представим простейший синусоидальный сигнал и его графики амплитудно и фазо-частоной характеристик:
совокупность ФЧХ и АЧХ это и есть спектр сигнала.
Спектральное представление сигналов.
Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.
Спектр сигнала - это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.
Различают два вида спектральных диаграмм:
- спектральная диаграмма амплитуд;
- спектральная диаграмма фаз.
В спектральной диаграмме амплитуд - отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз - отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.
Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий - составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз - начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.
По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными.Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.Спектральное представление периодических, гармонических сигналовМатематическая модель гармонического колебания имеет вид:x(t)=5*sin(wt+1)Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте . Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания 5, а в спектре фаз - начальной фазе колебания 1. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.график сигнала диаграмма АЧХ диаграмма ФЧХ Спектральное представление периодических, негармонических сигналов.Математическая модель негармонического колебания имеет вид:Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье.Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье: (1)компоненты анализируемого сигнала:- постоянная составляющая (2)- амплитуды косинусоидальных составляющих: (3)- амплитуды синусоидальных составляющих: (4)
(2) (3) (4)Спектральную составляющую с частотой ω1 в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами k1 (k> 1) - высшими гармониками периодического сигнала.Если сигнал представляет собой четную функцию времени U(t) = U(-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (1) отсутствуют синусоидальные коэффициенты bk так как в соответствии с формулой (4) они обращаются в нуль. Для сигнала U(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (3), нулю равны косинусоидальные коэффициенты аk и ряд содержит составляющие bn (кстати, постоянная составляющая а0 также отсутствует). Заметим, что пределы интегрирования (от -T/2 до T/2) не обязательно должны быть такими, как в приведенных формулах (2 - 4). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной T- результат от этого не изменится. Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования (т. е. для каждой гармоники с частотой k1) в формуле (1) фигурируют два слагаемых: косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме: (5)где : Аk - амплитуда; k- начальная фаза k-й гармоники сигнала.Также широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Представление вытекает из формулы Эйлера: еjх = cosx +jsinx:
Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (5), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: (6)А теперь будем трактовать в (6) экспоненты при частоте ω1 со знаком минус в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А0 станет членом ряда с нулевым номером. После преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье: (7)где (8)- комплексная амплитуда k-й гармоники.Cвязь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье. (9)Можно также показать, что коэффициенты: (10)Если U(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Сk будут вещественными, а если U(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда станут мнимыми. Из формулы (7) нетрудно выяснить, что спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Однако отрицательные частоты в природе не существуют, и это не физическое понятие, а математическая абстракция (физический смысл отрицательной частоты - вращение в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное). Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой. график сигналадиаграмма АЧХамплитудный спектр комплексного ряда ФурьеСпектральное представление непериодических сигналов.