Файл: Решение слау в Scilab.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М. А. Бонч-Бруевича»

Кафедра информационных управляющих систем
Факультет информационных систем и технологий
Лабораторная работа №1

по дисциплине

«Теория информации, данные, знания»

на тему:

«Решение СЛАУ в Scilab»
Выполнили студенты

группы ИСТ-111

Архипов С.А., Васильев И.С., Заказчик М.Н.

Принял и проверил:

Эль Сабаяр Шевченко Н.
Санкт-Петербург

2023 г

Оглавление

Формулировка задания.

В ходе выполнения лабораторной работы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя систему компьютерной математики, которая предназначена для выполнения инженерных и научных вычислений Scilab, а также вычислить матрицу, обратную к заданной матрице.

Теоретический материал.

Для работы с множеством данных удобно использовать массивы. Например, можно создать массив для хранения числовых или символьных данных. В этом случае вместо создания переменной для хранения каждого данного достаточно создать один массив, где каждому элементу будет присвоен порядковый номер. Таким образом, массив — множественный тип данных, состоящий из фиксированного числа элементов.

Как и любой другой переменной, массиву должно быть присвоено имя. Переменную, представляющую собой просто список данных, называют одномерным массивом, или вектором. Для доступа к данным, хранящимся в определенном элементе массива, необходимо указать имя массива и порядковый номер этого элемента, называемый индексом. Если возникает необходимость хранения данных в виде таблиц, в формате строк и столбцов, то необходимо использовать двумерные массивы (матрицы). Для доступа к данным,

---

хранящимся в таком массиве, необходимо указать имя массива и два индекса: первый должен соответствовать номеру строки, а второй — номеру столбца, в которых хранится необходимый элемент. Значение нижней границы индексации в Scilab равно единице. Индексы могут быть только целыми положительными числами.

Система m уравнений с n неизвестными вида:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + · · · + a_1n x_n = b₁ ,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + · · · + a_2n x_n = b₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + · · · + a_mn x_n = b_m

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем x_j —

неизвестные, a_ij — коэффициенты при неизвестных, b_i — свободные коэффициенты (i = 1 . . . m, j = 1 . . . n). Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A · x = b, где x — вектор неизвестных, A — матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b — вектор свободных членов системы или вектор правых частей. Совокупность всех решений системы (x1, x2, . . . , xn) называется множеством решений или просто решением системы.

Существует несколько методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), и выбор конкретного метода зависит от размера системы, ее характеристик, численных свойств матрицы системы, а также требуемой точности и скорости вычислений.

Некоторые из наиболее распространенных методов решения СЛАУ включают в себя:

• 
  Метод Крамера.
  
• 
  Метод Гаусса.
  
• 
  Метод обратной матрицы.
  
• 
  Метод Якоби.
  

Также в задании необходимо высчитать обратную исходной матрице. Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица того же типа, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, в результате даст единичную матрицу.

Задание 1.1.

Для решения СЛАУ в системе компьютерной математики Scilab существует специальная матричная функция linsolve(A,b), которая решает систему линейных алгебраических уравнений вида

Необходимо решить уравнение вида:

---

Приводим данное уравнение к виду и используем матричную функцию для его решения. (Рисунок 1)

Шаги:

1. 
   Создаем матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов b.
   
2. 
   Используем встроенную функцию linsolve для решения СЛАУ.
   
3. 
   Производим проверку A*x+b, если в результате получился вектор, достаточно близкий к 0, то решение верно.
   

Рисунок 1. Решение СЛАУ с помощью встроенной функции.

Так же можно пойти другим способом и реализовать один из классических методов решения СЛАУ в Scilab, например, метод Крамера. (Рисунок 2)

Шаги:

1. 
   Создаем матрицу коэффициентов A и массив свободных членов b.
   
2. 
   Создаем четыре вспомогательные матрицы. (Матрицы, в которых соответствующий столбец заменен на вектор b)
   
3. 
   Высчитываем главный определитель D.
   
4. 
   Высчитываем определители вспомогательных матриц d(1, 2, 3, 4)
   
5. 
   Получаем вектор решений x=d/D
   

Рисунок 2. Решение СЛАУ методом Крамера в Scilab.

Также для проверки можно подставить значения x в исходное уравнение. (Рисунок 3)



Рисунок 3.

Результат выполнения задания 1.1.

В результате получилось решение системы: x = -3.0196078

-1.2941176

3.9215686

-1.8431373

Задание 1.2.

Если возможно, вычислить матрицу, обратную к матрице D. Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица того же типа, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, в результате даст единичную матрицу.



Шаги:

1. 
   Создаем матрицы A и B.
   
2. 
   По формуле высчитываем матрицу D.
   
3. 
   Используем функцию inv для получения обратной матрицы.
   
4. 
   Производим проверку, при умножении обратной матрицы на исходную должна получиться матрица, близкая к единичной.
   

Ё

Рисунок 4. Нахождение обратной матрицы.

Результат выполнения задания 1.2.

В результате получилась обратная матрица:



Рисунок 5. Обратная матрица.

Вывод.

---

В ходе выполнения лабораторной работы было проведено ознакомление с системой компьютерной математики Scilab и ее инструментами для работы с матрицами. Так же было проведено решение СЛАУ в Scilab методом Крамера и с использованием встроенной функции. Так же было выполнено решение задания по нахождению обратной матрицы.

---