Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

222
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
28. Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек плоскости, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе



x
2
+ y
2
+ 8x − 12y + 38
x
2
+ y
2
+ 10x − 14y + 72
¶ 0,
(x + a)( y − a) = 0,
является отрезком.
29. Найдите все значения a, при каждом из которых система



a
2
x
+ 2a
ax
− 2 + a
2
¾ 0,
ax
+ a >
5 4
не имеет решений.
30. Решите уравнение
3 cos x + 2 sin x
cos x
=
cos 2x
cos
2
x
+
cos x + sin x
cos x
·
Æ
3 + 2x − 2 y + 2xy − x
2
− y
2
31. При каких значениях a уравнение
(sin x − log
4
a) · (sin x − 2 + 2a) = 0
имеет ровно два различных корня на отрезке [π/2; 5π/2]?
32. Найдите все значения a, при которых уравнение
(a + 1) sin
2
x
− (a
2
+ 5a + 4) sin x + 2a
2
+ 4a + 2 = 0
имеет более одного решения на отрезке [−π/2; 5π/6].
33. При каких значениях a уравнение
(1 + sin(3ax))
p
5πx − x
2
= 0
имеет ровно пять различных корней?
34. При каких значениях a, принадлежащих интервалу (−π/2; π/2),
уравнение q
2 sin(x − a) +
p
3 = cos 6x − 1
имеет решения?
35. Найдите все значения a, при которых уравнение
(|a| − 1) cos 2x + (1 − |a − 2|) sin 2x + (1 − |2 − a|) cos x + (1 − |a|) sin x = 0
имеет нечётное число различных решений на интервале (−π; π).

Задачи для самостоятельного решения
223
36. Найдите все значения a, при которых для любого корня уравне- ния cos α cos 3x − sin 3α cos x + 2 sin 2α cos 2x = 3 sin α − cos 3x
найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/3 от него.
37. Найдите все значения a, при которых система
¨ |x| + 2|y| + |2y − 3x| = 12,
x
2
+ y
2
= a
имеет ровно два различных решения.
38. Найдите все значения a, при которых система
¨ |x + 1| + |x − 1| − 2y = 0,
x
2
+ y
2
− 2ay + 2a
2
= 1
имеет единственное решение.
39. Найдите все значения a, при которых система
¨
(5 − 2
p
6)
????
+ (5 + 2
p
6)
????
− 5a = y − | y| − 8,
x
2
− (a − 4) y = 0
имеет единственное решение.
40. Найдите все значения a, при которых уравнение sin
€
πx
1 + x
2
Š +
6a
2 + tg
2
€
x
2
− 1
x
Š
+ a
2
+ 3 = 0
имеет единственное решение.
41. Найдите все значения a и b, при которых система
¨
(x − y)
2
+ 4|x| + 4(y − x) = −b
2
− 2a − 5,
| y − x + 2| − | − y − 2| = a
2
− 2b + 1
имеет единственное решение.
42. При каждом значении a решите систему



4
p
x
− a +
p y
+ a ¶ 38 −
64
p
x
− a
−
9
p
y
+ a
,
3 13−????
log
3
( y − 9) = 1.

224
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
43. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x
3
− ax
2
− (a
3
− 6a
2
+ 5a + 8)x − (a − 3)
3
= 0
имеет ровно три различных корня, образующих геометрическую про- грессию (укажите эти корни).
44. Для каждого значения a решите систему
(
4 log
2 25
x
+ 9 log
2 125
y ¶ 9(a
2
− 2a),
log
2 5
x
y
¾ 18(a
2
− 2a).
45. Найдите все значения b, при каждом из которых неравенство
(b
4
+ 12 − 6b
2
) · (2 +
p
3)
????
+ (2 −
p
3)
????
+ 9
????
+ 3b
2
+ b
p
12 · 3
????
−
p
12 ¶ 0
имеет хотя бы одно решение ( y; z).
46. Найдите наименьшее значение z, при котором имеет решение система
(
z
− 8 cos
2 3 y
8
− 2 tg
2 3 y
8
= 2 cos
2 2x,
2π(1 + |x|) cos 3 y + |x|(π sin
2 3 y − 16 − 2π) = 0.
47. Найдите все пары чисел x и y, удовлетворяющие системе нера- венств
¨
3
????
+2????−1
+ 2 · 3 3????−1
¶ 2,
x
+ 5y ¾ 2 − log
3 2.
48. Найдите наибольшее значение b, при котором неравенство p
b
5
(8x − x
2
− 16) +
p
b
8x − x
2
− 16
¾ −
2b
3
· |cos(πx)|.
имеет хотя бы одно решение.
49. Найдите все значения a, при которых система
¨ ya
2
+ x = 2a,
(| y| + |1 + y| − 1)(xy − 1) = 0
имеет ровно два различных решения.
50. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств
(
Æ
(11 + x + 3a)
2
+ (y − 4a + 4)
2
¶
|a − 1|
5
,
4x + 3 y ¾ −12
не имеет решений.

Задачи для самостоятельного решения
225
Ответы
1
.
α ∈ [5π/4 + 2πn; 7π/4 + 2πn], n ∈ Z.
2
. a
= (15 −
p
57)/16; a = 15/8.
3
. a
= 1, решение (0; 1).
4
. Если a = arccos(−2/
p
7) + 2πl, l ∈ Z, то x = −π/6 + 2πk, k ∈ Z;
если a = − arccos(−2/
p
7) + 2πm, m ∈ Z, то x = −5π/6 + 2πn, n ∈ Z;
при других значениях a решений нет.
5
. a
= −3; a = 1.
6
. a
∈ {−1/3; −5/3; ±1; ±
p
3}.
7
. a
= 0; a = −3/4.
8
. a
∈ (−5; −
p
24) ∪ (−
p
24; −3).
9
. Если a = 2, то x = 3/2; при других значениях a решений нет.
10
.
3641 3136
±
p
505 28
11
. a
= 1/3; a = −2.
12
. a
∈ [−5; 5].
13
. a
∈ [−1; 3) ∪ (3; 7].
14
. Если a = (70 − 6
p
87)/13, то x = 9 · (
p
87 − 3)/13; при других значениях a
решений нет.
15
. b
= arcsin((
p
5 − 1)/2); b = arcsin(
p
2 − 1).
16
. a
∈ (92 − 8
p
13; 92 + 8
p
13).
17
. a
∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞).
18
. a
∈ [−1; 2).
19
. a
∈ {±1/6; ±
p
2/6}.
20
. a
∈ (−∞; −3) ∪ (1; 6).
21
. a
∈ [−12/5; 0].
22
. a
= 0.
23
. a
= b = −2.
24
. b
= −1/2, x = 8.
25
. a
∈ [−1; 1/3].
26
. a
= −4/3; a = 2.
27
. a
∈(−2π/3;−π/2)∪(−π/2;− arccos(3/4))∪(arccos(3/4);π/2)∪(π/2; 2π/3).
28
. a
∈ (4 −
p
14; 6 −
p
14) ∪ (7 +
p
2; 6 +
p
14).
29
. a
∈ (−∞; −1/2) ∪ {0}.
30
. (πn; πn − 1), n ∈ Z. Указание. Перейдите к переменной t = tg x и иссле- дуйте подкоренное выражение.
31
. a
∈ (1/4; 1/2) ∪ {1} ∪ (3/2; 4].
32
. a
∈ {−1} ∪ [−1/6; 1).
33
. a
∈ [−13/30; −3/10) ∪ (11/30; 1/2].
34
. a
∈ {−π/3; 0; π/3}.
35
. a
∈ [0; 1) ∪ (1; 2] ∪ {3}. Указание. Представьте уравнение в виде A cos 2x +
+ B sin 2x = −B cos x + A sin x и решите при помощи введения вспомогатель- ного аргумента (одного угла ϕ для выражений в разных частях уравнения).
36
.
α=πk, k∈Z. Указание. Уравнение по cos x является кубическим, поэтому расположение корней задаётся однозначно.
37
. a
= 9/2; a = 117/4.
38
. a
= 0; a = 1.
39
. a
= 2; a = 4.
40
. a
= −2; a = −1.
41
. a
= −1, b = 1.
42
. Если a = −3, то решение (13; 12); при a 6= −3 решений нет.
43
. Если a = 2, то x = (3 −
p
5)/2, x = −1, x = (3 +
p
5)/2; если a = 4, то
x
= (3 −
p
5)/2, x = 1, x = (3 +
p
5)/2.
44
. Если a ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞), то решения
(5 3
p
????
2
−2????/2
; 5
−3
p
????
2
−2????/2
); (5
−3
p
????
2
−2????/2
; 5 3
p
????
2
−2????/2
); если a = 0 или a = 2, то решение (1; 1); если a ∈ (0; 2), то решений нет.
45
. b
= −
p
3.
46
. z
= 7.
47
. (1/3 + (2/3) log
3 2; 1/3 − (1/3) log
3 2).
48
. b
= 1/9.
49
. a
∈ (−∞; −2].
50
. a
∈ (−43; 45).

226
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
Ответы к диагностическим работам
Диагностическая работа 1
1. Если a < 0, то x ∈ (−a; +∞); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−∞; −a).
2. a
∈ (−∞; −1/2) ∪ [2/3; +∞].
3. Если a = 2/3, то x = 2; при других a решений нет.
4. (−3; 9); (2; 4). 5. a = 2. 6. p ∈ (−∞; −11) ∪ (5; +∞).
7. a
∈ [−6; 1 −
p
13] ∪ [
p
13 − 1; 6]. 8. a ∈ (−∞; 13
p
5 − 5).
Диагностическая работа 2
1. Если a < 0, то x ∈ (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅.
2. a
= 8. 3. a = 7. 4. a = 0; a = 2 sin 1. 5. p ∈ [17; +∞). 6. a ∈ [−6; 4].
7. Если m = 0, то x = 3; если m = ±1, то x = ±(3 ± 2
p
2)/2; если m = ±2, то
x
= (3 ±
p
5)/2; если m = ±3, то x = ±3/2; при других целых m решений нет.
8. a
= 2; a = 4.
Диагностическая работа 3
1. Если a < 0, то x ∈ (0; −a); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−a; 0).
2. a
∈ [2/5; 11/2]. 3. a ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). 4. a = −5; a = −5/13. 5. a = ±
p
2.
6. Если q = −4, то решение (1; 0); если q = 4, то решение (−3; 0); при других значениях q решений нет.
7. Если |b| ∈ [0; 1/4), то x ∈ (0; 1 − 4|b|); если |b| = 1/4, то решений нет; если
|b| ∈ (1/4; 1/2], то x ∈ (1 − 4|b|; 0); если |b| > 1/2, то x ∈ [−4b
2
; 0).
8. a
∈ [−1; 3) ∪ (3; 7].
Диагностическая работа 4
1. Если a < 0, то x = (−1 +
p
1 − 4a)/2; если a = 0, то x = 0, x = −1; если
a
∈ (0; 1/4), то x = (−1 −
p
1 + 4a)/2, x = (−1 ±
p
1 − 4a)/2; если a = 1/4, то
x
= (−1 −
p
2)/2, x = −1/2; если a > 1/4, то x = (−1 −
p
1 + 4a)/2.
2. b
∈ [3/4; +∞).
3. Если 1 < a < 2, то x ∈ (−∞; log
????
−1 2a] ∪ [0; +∞); если a = 2, то x ∈ [0; +∞);
если a > 2, то x ∈ [0; log
????
−1 2a]. При a = 2 +
p
3 множество решений — про- межуток длины 2.
4. a
= ±1. 5. a = 1/16. 6. a ∈ (−7; 5). 7. a ∈ (−13/3; −19/5]. 8. a ∈ [−5; 5].
Диагностическая работа 5
1. Если a < 1, то x ∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞); если a = 1, то x ∈ (1; +∞); если
a
> 1, то x ∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞).

2. a
∈ [−6; 2]. 3. −1; −1 + π/2 + πn, n ∈ Z. 4. x = ±
p
3.
5.
α = 5π/6 + 2πl; α = π/18 + 2πm; α = 13π/18 + 2πn, l, m, n ∈ Z.
6. При a ∈ (0; 4 − 2
p
2] наименьшее значение равно −a
2
, а при a ∈ (4 − 2
p
2; 2)
наименьшее значение равно 8(1 − a).

Ответы к диагностическим работам
227
7. Если a = −1, то x ∈ (2; +∞); если −1 < a < −1/2, то x ∈ (1; a + 2] ∪ (1 − a; +∞);
если a = −1/2, то x ∈ (1; 3/2) ∪ (3/2; +∞); если −1/2 < a < 0, то x ∈ (1; 1 − a) ∪
∪ [a + 2; +∞); если a = 0, то x ∈ [2; +∞).
8. Если a = 2, то x = 3/2; при других значениях a решений нет.
Диагностическая работа 6
1. Уравнение: 1) не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении a, 2) при a ∈ (−∞; −8) ∪ (0; +∞) не имеет решений.
2. a
∈ (−∞; 1] ∪ {5/4} ∪ [4/3; +∞).
3. Если a ¶ −3, то x ∈ (a + 1; 0) ∪ (−(a + 3); +∞); если a ∈ (−3; −2), то x ∈
∈ (a + 1; −(a + 3)) ∪ (0; +∞); если a = −2, то x ∈ (0; +∞); если a ∈ (−2; −1), то
x
∈ (−(a + 3); a + 1) ∪ (0; +∞); если a ¾ −1, то x ∈ (−(a + 3); 0) ∪ (a + 1; +∞).
4. b
=
p
2. 5. b = −
p
3. 6. a ∈ [1; 3]. 7. (0; 0). 8.
3641 3136
±
p
505 28

Литература
Для прохождения школьного курса математики необходимо ис- пользовать школьные учебники, желательно из федерального ком- плекта, утверждённого Министерством образования РФ. При этом для подготовки к ЕГЭ кроме учебников по математике, предназна- ченных для 10–11 классов, нужны также учебники по планиметрии для 7–9 классов и по алгебре для 8–9 классов.
Кроме учебников, особенно для изучения приёмов решения за- дач с параметрами, рекомендуем использовать проверенные време- нем методические пособия, задачники по элементарной математике,
сборники конкурсных задач по математике. Вот некоторые из них.
1. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред.
М. И. Сканави. М.: Высшая школа, 1998.
2. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. Математика для посту- пающих в вузы. М.: Дрофа, 1976.
3. Шабунин М. И. Математика для поступающих в вузы. М.: Лабора- тория базовых знаний, 1999.
4. Шарыгин И. Ф. Решение задач. М.: Просвещение, 1994.
5. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математи- ке. Решение задач. М.: Просвещение, 1991.
6. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по мате- матике. М.: ИЛЕКСА, 2007.
7. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступи- тельных экзаменов по математике. М.: Факториал, 1995.
8. Панфёров В. С., Сергеев И. Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Реше- ние сложных задач. М.: ФИПИ; Интеллект-Центр, 2010.
9. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.: МЦНМО, 2008.
10. Козко А. И., Макаров Ю. Н., Чирский В. Г. Математика. Письмен- ный экзамен. Решение задач. Методы и идеи: Учебное пособие.
М.: Экзамен, 2007.
11. Козко А. И., Панфёров В. С., Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2013.
Математика. Задача C5. М.: МЦНМО, 2013.
12. Сергеев И. Н. ЕГЭ. Математика: Задания типа С. Методы решения экзаменационных задач типа С. Обучающие комментарии к ре-

Литература
229
шениям. Разбор требований к оформлению решений. Критерии оценки выполнения заданий. М.: Экзамен, 2009.
13. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.:
Научный мир, 2011.
14. Мельников И. И., Сергеев И. Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
15. Сергеев И. Н. Математика: Задачи с ответами и решениями: Учеб- ное пособие для поступающих в вузы. М.: Высшая школа; КД «Уни- верситет», 2003.
16. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск: Асар,
1996.
17. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметра- ми. Киев: Евроиндекс, 1995.
Мы не считаем, что все перечисленные пособия должны нахо- диться в личной библиотеке абитуриента, да это и невозможно. Од- нако каждая из них по-своему полезна и найдёт своего благодарного читателя.