Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

12
Введение
49. Найдите все целые значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 12)x
2
+ 2(a − 12)x + 2 = 0 не имеет действительных корней.
50. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x
2
−
− 2ax + 2a − 1 = 0 имеет ровно два различных корня.
51. Для каждого значения a решите уравнение ax
2
+2(a+1)x +2a=0.
52. Найдите все значения a, при каждом из которых отношение кор- ней уравнения ax
2
− (a + 3)x + 3 = 0 равно 1,5.
53. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнения x
2
− ax + a − 2 = 0 минимальна.
54. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2 − x)(x + 1) = a
имеет два различных неотрицательных решения.
55. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 3)x
2
− 2ax + 5a = 0
имеет решения и все решения этого уравнения положительные.
56. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 2)x
2
− 2(a + 3)x + 4a = 0
имеет два корня, один из которых больше 3, а другой меньше 2.
57. Для каждого значения a решите систему
¨ ax
+ y = a
2
,
x
+ ay = 1.
58. Для каждого значения a решите систему
¨ ax
+ y = a
3
,
x
+ ay = 1.
59. Для каждого значения a решите систему
¨ |x| + |y| = a,
x
2
+ y
2
= 1.
60. Найдите все значения a, при каждом из которых система
(
y
− x
2
=
x
2
−
3 2
x
− 1
,
y
+ 4x = a
имеет единственное решение. Укажите это решение.

Подготовительные задачи
13
Ответы
1
. a) a ∈ (−2; 1), б) a = −2; a = 1, в) a ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞).
2
. a) a ∈ (0; 2], б) a ∈ (2; 3), в) ∅, г) a ¶ 0; a ¾ 3.
3
. a) a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞), б) a ∈ (−1; 1), в) a = −1; a = 1, г) a ∈ ∅.
4
. Если a = 0, то x ∈ ∅; если a 6= 0, то x = 1/a.
5
. Если a = 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ (−∞; 1/a); если a < 0, то x ∈ (1/a; +∞).
6
. Если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ [1/a; +∞); если a < 0, то x ∈ (−∞; 1/a].
7
. Если a = −3, то x ∈ R; если a = 3, то x ∈ ∅; если a 6= ±3, то x = 1/(a − 3).
8
. Если a = 5, то x ∈ ∅; если a 6= 5, то x = a.
9
. Если a = −2, то x ∈ ∅; если a 6= −2, то x = a.
10
. Если a = ±1, то x ∈ ∅; если a 6= ±1, то x = −1.
11
. Если a = 0, то x 6= 4; если a = 4, то x ∈ ∅; если a 6= 0; 4, то x = a.
12
. Если a < 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x = ±
p
a; если a = 0, то x = 0.
13
. Если a > 0, то x ∈ ∅; если a < 0, то x = ±
p
−a; если a = 0, то x = 0.
14
. Если a < 0, то x ∈ R; если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −
p
a) ∪ (
p
a; +∞).
15
. Если a > 0, то x ∈ ∅; если a = 0, то x = 0; если a < 0, то x ∈ [−
p
−a;
p
−a].
16
. x
=
3
p
a при любом a.
17
. x
∈ (
3
p
a; +∞) при любом a.
18
. x
∈ (−∞; −
3
p
a] при любом a.
19
. Если a < 0, то x ∈ ∅; если a ¾ 0, то x = ±a.
20
. x
= |a| при любом a.
21
. Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (3 − a; 3 + a).
22
. Если a < 0, то x ∈ R; если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; 3 − a) ∪ (3 + a; +∞).
23
. Если a > 0, то x ∈ ∅; если a ¶ 0, то x = a
2
24
. Если a = 0, то x ∈ [0; +∞); если a 6= 0, то x = 0.
25
. Если a < 0, то x ∈ [0; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (a
2
; +∞).
26
. Если a > 0, то x ∈ ∅; если a = 0, то x = 0; если a < 0, то x ∈ [0; a
2
].
27
. Если a ¶ 0, то x ∈ (0, +∞); если a > 0, то x ∈ [−
p
a; 0) ∪ [
p
a; +∞).
28
. Если a ¶ 0, то x ∈ (−∞; 0); если a > 0, то x ∈ (−∞; −
p
a) ∪ (0;
p
a).
29
. Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−∞; log
2
a).
30
. Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (− log
2
a; +∞).
31
. Если a ¶ 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ (−∞; − log
2
a].
32
. Если a ¶ 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ [log
2
a; +∞).
33
. При a ¶ 0 выражение не определено; если a ∈ (0; 1), то x ∈ (a; +∞); если
a
> 1, то x ∈ (0; a).
34
. При a ¶ 0 выражение не определено; если a ∈ (0; 1), то x ∈ (0; a) ∪ (1; +∞);
если a ¾ 1, то x ∈ (0; 1) ∪ (a; +∞).
35
. Если |a| ¶ 1, то x = (−1)
????
arcsin a + πn, n ∈ Z; если |a| > 1, то x ∈ ∅.
36
. Если a ∈ (−∞; 0), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; 1], то x = ±(1/2) arccos(2a − 1) + πn,
n
∈ Z; если a > 1, то x ∈ ∅.
37
. x
= arctg a + πn, n ∈ Z, при любом a.
38
. Если a ∈ (−∞; 0), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; 1], то x = ± arcsin a + πn, n ∈ Z;
если a > 1, то x ∈ ∅.

14
Введение
39
. Если |a| > 1, то x ∈ ∅; если a ∈ [−1; 1], то x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.
40
. Если a ∈ (−∞; 0) ∪ (π; +∞), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; π], то x = cos a.
41
. Если a ∈ (−∞; −π/2) ∪ (π/2; +∞), то x ∈ ∅; если a ∈ [−π/2; π/2], то
x
= sin a.
42
. Если a ∈ (−∞; −1], то x ∈ ∅; если a ∈ (−1; 1], то x ∈ (π − arcsin a + 2πn;
arcsin a + 2π + 2πn), n ∈ Z; если a > 1, то x ∈ R.
43
. Если a ∈ (−∞; −1], то x ∈ R; если a ∈ (−1; 1), то x ∈ [arcsin a + 2πn;
π − arcsin a + 2πn], n ∈ Z; если a = 1, то x = π/2 + 2πn, n ∈ Z; если a > 1,
то x ∈ ∅.
44
. Если a ∈ (−∞; −1), то x ∈ ∅; если a = −1, то x = π + 2πn, n ∈ Z; если
a
∈ (−1; 1), то x ∈ [arccos a + 2πn; − arccos a + 2π + 2πn], n ∈ Z; если a ¾ 1, то
x
∈ R.
45
. Если a ∈ (−∞; −1), то x ∈ R; если a ∈ [−1; 1), то x ∈ (− arccos a + 2πn;
arccos a + 2πn), n ∈ Z; если a ¾ 1, то x ∈ ∅.
46
. При a = 0 выражение не определено; если a ∈ R\{±1; 0}, то x ∈ ∅; если
a
= −1, то x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z; если a = 1, то x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
47
. a
∈ (1/4; +∞).
48
. a
∈ [2; 4).
49
. a
= 12; a = 13.
50
. a
∈ R\{1}.
51
. Если a ∈ (−∞; 1 −
p
2), то x ∈ ∅;
если a ∈ [1 −
p
2; 0), то x =
−a − 1 ±
p
−a
2
+ 2a + 1
a
; если a = 0, то x = 0; если
a
∈ (0; 1 +
p
2], то x =
−a − 1 ±
p
−a
2
+ 2a + 1
a
; если a ∈ (1 +
p
2; +∞), то x ∈ ∅.
52
. a
= 2; a = 9/2.
53
. a
= 1.
54
. a
∈ [2; 9/4).
55
. a
∈ [3; 15/4].
56
. a
∈ (2; 5).
57
. Если a ∈ R\{±1}, то единственное решение ((a
2
+a+1)/(a+1); −a/(a+1));
если a = −1, то решений нет; если a = 1, то решения (1 − y; y), y ∈ R.
58
. Если a ∈ R\{±1}, то единственное решение (a
2
+ 1; −a); если a = ±1, то решения (1 − ay; y), y ∈ R.
59
. Если a ∈ (−∞; 1), то x ∈ ∅; если a = 1, то решения (0; 1), (0; −1), (1; 0),
(−1; 0); если a ∈ (1;
p
2), то решения

±
a
+
p
2 − a
2 2
; ±
a
−
p
2 − a
2 2
‹
,

±
a
−
p
2 − a
2 2
; ±
a
+
p
2 − a
2 2
‹
;
если a =
p
2, то решения
€
1
p
2
;
1
p
2
Š
,
€
1
p
2
; −
1
p
2
Š
,
€
−
1
p
2
;
1
p
2
Š
,
€
−
1
p
2
; −
1
p
2
Š
(8 пар); если a ∈ (
p
2; +∞), то решений нет.
60
. Если a = −57/32, то решение (−5/8; 23/32).

Часть 1
Решение задач

16
Часть 1.
Решение задач
Решение. При любом фиксированном значении a это обычное рациональное неравенство, поэтому к нему можно применить метод интервалов. Напомним, что для этого следует расположить на число- вой оси числа a и a + 1, в которых обращаются в нуль числитель и зна- менатель соответственно. Ясно, что при любом a число a + 1 больше,
чем a. Поэтому получаем такое расположение, как на рис.
1.1
+
−
+
a
a
+ 1
x
Рис. 1.1
Ответ: x
∈ [a; a + 1) при любом a.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 1.3. При каждом значении a решите неравенство
x
− 1
x
− a
> 0.
Решение. Как и выше, будем применять метод интервалов. Од- нако здесь возникает небольшая трудность — мы не знаем, как распо- ложены числа 1 и a. Ведь a может быть как меньше 1, так и больше или равно 1. Но это означает, что нам следует рассмотреть эти три случая.
1. Пусть a < 1. Тогда получаем расположение точек, показанное на рис.
1.2
+
−
+
a
1
x
Рис. 1.2
Метод интервалов даёт часть ответа: если a < 1, то x ∈ (−∞; a) ∪
∪ (1; +∞).
2. Пусть a = 1. Тогда получаем неравенство
x
− 1
x
− 1
> 0, при x 6= 1
равносильное верному неравенству 1 > 0. Его решения — вся область определения неравенства, т. е. (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
3. Пусть a > 1. Тогда точки расположены на числовой оси так, как показано на рис.
1.3

§ 1.
Простейшие уравнения и неравенства с параметром
17
+
−
+
1
a
x
Рис. 1.3
Метод интервалов приводит к частичному ответу: если a > 1, то x ∈
∈ (−∞; 1) ∪ (a; +∞).
Объединим части ответов.
Ответ: если a < 1, то x ∈ (−∞; a) ∪ (1; +∞); если a = 1, то x ∈
∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞); если a > 1, то x ∈ (−∞; 1) ∪ (a; +∞).
Пример 1.4. При каждом значении a решите неравенство
x
x
+ a
> 1.
Решение. Преобразуем неравенство:
x
x
+ a
− 1 > 0 ⇔
x
− x − a
x
+ a
> 0 ⇔
−a
x
+ a
> 0 ⇔
a
x
+ a
< 0.
При a > 0 это неравенство равносильно неравенству x + a < 0,
x
< −a, и его решение x ∈ (−∞; −a).
При a = 0 получаем неверное неравенство 0/x < 0, 0 < 0, у кото- рого, разумеется, нет решений.
При a < 0 это неравенство равносильно неравенству x + a > 0,
или x > −a, имеющему решение x ∈ (−a; +∞).
Ответ: если a < 0, то x ∈ (−a; +∞); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0,
то x ∈ (−∞; −a).
Пример 1.5. При каждом значении a решите неравенство
a
x
+ a
> 1.
Решение. Преобразуем это неравенство:
a
x
+ a
− 1 > 0 ⇔
a
− x − a
x
+ a
> 0 ⇔
−x
x
+ a
− 1 > 0 ⇔
x
x
+ a
< 0.
Решение вполне аналогично решению примера
1.3
. А именно,
расположим на числовой оси точки −a и 0. Возможны три случая:
a
> 0, a = 0 и a < 0. Если a > 0, то −a < 0 и точки располагаются так,
как показано на рис.
1.4
. Получаем решение x ∈ (−a; 0).
+
−
+
−a
0
x
Рис. 1.4

18
Часть 1.
Решение задач
При a = 0 мы получаем x/x < 0, или 1 < 0 при x 6= 0. Это неравен- ство не имеет решений.
Наконец, если a < 0, то −a > 0 и точки располагаются, как пока- зано на рис.
1.5
, т. е. x ∈ (0; −a).
+
−
+
0
−a
x
Рис. 1.5
Объединяя части ответа, получаем окончательный результат.
Ответ: если a < 0, то x ∈ (0; −a); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0,
то x ∈ (−a; 0).
Пример 1.6. При каждом значении a решите неравенство
(x − 1)(x − a)
x
−
a
+ 1 2
> 0.
Решение. Заметим, что при любом фиксированном значении a
это обычное рациональное неравенство, для решения которого мож- но применить метод интервалов. Однако нам неизвестно, как распо- лагаются точки 1, a, (a + 1)/2 на числовой оси. Рассмотрим различ- ные возможные случаи. Для этого попарно сравним числа 1 и a, 1
и (a + 1)/2, a и (a + 1)/2. Находим
a
∨ 1,
(a + 1)/2 ∨ 1,
a
∨ (a + 1)/2,
a
∨ 1,
2a ∨ a + 1,
a
∨ 1.
Таким образом, при a < 1 выполнено неравенство a < (a + 1)/2 < 1;
при a = 1 получаем, что числа a и (a + 1)/2 равны 1; при a > 1
выполнено неравенство 1 < (a + 1)/2 < a. Рассмотрим эти три случая.
I. Пусть a < 1. Тогда 1 > (a + 1)/2 > a. Применим метод интер- валов (см. рис.
1.6
). Получаем частичный ответ: если a < 1, то x ∈
∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞).
II. Пусть a=1. Тогда a=(a+1)/2=1. Применим метод интервалов
(см. рис.
1.7
). Получаем частичный ответ: если a = 1, то x ∈ (1; +∞).
III. Пусть a > 1. Тогда a > (a + 1)/2 > 1. Применим метод ин- тервалов (см. рис.
1.8
). Получаем частичный ответ: если a > 1, то
x
∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞).