Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

Задачи с параметрами,
сложные и нестандартные задачи
ISBN 978-5-4439-1000-0 9 785443 910000 >
А. И. Козко, В. С. Панфёров,
И. Н. Сергеев, В. Г. Чирский
Готовимся к ЕГЭ
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи
Готовимся к ЕГЭ
12+

Готовимся к ЕГЭ
А. И. Козко
В. С. Панфёров
И. Н. Сергеев
В. Г. Чирский
Задачи с параметрами,
сложные и нестандартные задачи
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 501
ББК 22.1я72
К59
Козко А. И., Панфёров В. С., Сергеев И. Н., Чирский В. Г.
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2016.
229 с.
ISBN 978-5-4439-3000-8
В небольшой по объёму книге представлены различные по- становки и методы решений задач с параметрами. Все задачи снабжены ответами. Даны подробные решения большого числа традиционных задач с параметрами и других оригинальных или нестандартных задач.
Книга поможет читателю не только подготовиться к решению любого типа алгебраических задач ЕГЭ по математике, но и успеш- но справиться с дополнительными вузовскими вступительными испытаниями или математическими олимпиадами.
Кроме того, в книге собраны необходимые справочные сведе- ния, даны диагностические работы разного уровня, предложены задачи для самостоятельного решения, приведён список допол- нительной литературы. Всё это поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения и осуществить самоконтроль знаний по алгебре и началам анализа.
Пособие будет полезно старшеклассникам, их учителям и на- ставникам.
Издание соответствует Федеральному государственному обра- зовательному стандарту.
Подготовлено на основе книги: Козко А. И., Панфёров В. С., Серге-
ев И. Н., Чирский В. Г. Задачи с параметрами, сложные и нестандарт- ные задачи. — М.: МЦНМО, 2016. — 232 с. ISBN 978-5-4439-1000-0.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-3000-8
ffi Козко А. И., Панфёров В. С.,
Сергеев И. Н., Чирский В. Г., 2016
ffi МЦНМО, 2016

Оглавление
Предисловие
5
Введение
7
Диагностическая работа
8
Подготовительные задачи
10
Часть 1. Решение задач
15
§ 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром
15
Тренировочные задачи к § 1 20
§ 2. Задачи с модулем
24
Тренировочные задачи к § 2 28
§ 3. Решение обратных задач и задач, в которых параметр рассматривается как переменная
30
Тренировочные задачи к § 3 34
§ 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
36
Тренировочные задачи к § 4 44
§ 5. Выделение полных квадратов
48
Тренировочные задачи к § 5 51
§ 6. Разложение на множители
54
Тренировочные задачи к § 6 59
§ 7. Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степени
63
Тренировочные задачи к § 7 67
§ 8. Задачи на единственность решения или определение количества решений
68
Тренировочные задачи к § 8 72
§ 9. Задачи с использованием симметрий
75
Тренировочные задачи к § 9 82
§ 10. Задачи с применением некоторых неравенств
84
Тренировочные задачи к § 10 92
§ 11. Решения, основанные на нахождении наибольших и наименьших значений функций
95
Тренировочные задачи к § 11 99
§ 12. Решение задач при помощи графика, часть I
102
Тренировочные задачи к § 12 111
§ 13. Решение задач при помощи графика, часть II
(более сложные задачи)
115
Тренировочные задачи к § 13 130

4
Оглавление
§ 14. Метод областей
133
Тренировочные задачи к § 14 139
§ 15. Задачи на целые числа
143
Тренировочные задачи к § 15 148
§ 16. Задачи с целой и дробной частью числа
150
Тренировочные задачи к § 16 154
§ 17. Введение новой переменной для решения задач
154
Тренировочные задачи к § 17 157
§ 18. Системы уравнений и неравенств
159
Тренировочные задачи к § 18 163
§ 19. Использование особенностей функций (монотонность, чётность,
нечётность, непрерывность)
167
Тренировочные задачи к § 19 173
§ 20. Функциональные уравнения и задачи с итерациями
175
Тренировочные задачи к § 20 181
§ 21. Задачи с условием для всех значений параметра или переменной
183
Тренировочные задачи к § 21 185
§ 22. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
187
Тренировочные задачи к § 22 197
§ 23. Геометрические задачи с элементами алгебры
201
Тренировочные задачи к § 23 202
§ 24. Задачи алгебры с использованием геометрии
203
Тренировочные задачи к § 24 210
Часть 2. Диагностические работы и задачи
для самостоятельного решения
212
Диагностическая работа 1 212
Диагностическая работа 2 213
Диагностическая работа 3 214
Диагностическая работа 4 215
Диагностическая работа 5 216
Диагностическая работа 6 217
Задачи для самостоятельного решения
218
Ответы к диагностическим работам
226
Литература
228

Предисловие
В практике конкурсных задач по элементарной математике обыч- но выделяют особый раздел так называемых задач с параметрами.
Задачи этого раздела традиционно считаются трудными для боль- шинства школьников (впрочем, и для многих школьных учителей).
Это объясняется, во-первых, годами выработанной у учащихся при- вычкой к заданиям с более простыми формулировками, такими как
«решить уравнение», «решить неравенство» или «решить систему». Ос- новная же масса задач с параметром почти никогда не предполагает от школьника выполнения именно такого, привычного задания (порой просто невыполнимого) и формулируется логически более сложно.
Во-вторых, задачи с параметрами довольно слабо представлены в школьных учебниках по алгебре и началам анализа. Там разбира- ются лишь простейшие их варианты, в которых наличие параметра,
как правило, не усложняет задачу — она сводится к элементарному разбору случаев, сопровождающемуся решением семейств однотип- ных уравнений, неравенств или систем.
В-третьих, среди задач с параметрами нередко встречаются дей- ствительно трудные, требующие от школьника не только уверенного владения школьным математическим аппаратом, но и глубокого по- нимания логической сути задач, применения новых, творческих или даже нестандартных подходов к их решению. Это последнее качество роднит их с трудными задачами самой разной тематики (не обяза- тельно содержащими параметры), что, кстати, и отражено в назва- нии настоящей книги.
Наконец, в-четвёртых, дело усложняется ещё и тем, что в учебной литературе по задачам с параметрами наблюдается некоторый дефи- цит. Такая литература, конечно, существует и даже весьма многочис- ленна. Но выпускаемые книги, задачники и методические пособия на эту тему нередко имеют очень узкую направленность или ориен- тированы на уже подготовленного школьника, а значит, недоступны учащимся обычных школ или классов, пытающимся готовиться к эк- заменам самостоятельно.
В предлагаемой книге рассмотрены основные и наиболее попу- лярные типы задач с параметрами, а также различные приёмы и ме-

6
Предисловие тоды их решений. Нам кажется, что она поможет качественно сдви- нуть в положительном направлении решение проблемы подготовки школьников к решению задач с параметрами и других сложных или нестандартных задач.
Надеемся, что навыки решения задач, которые читатель приобре- тёт в процессе работы над книгой, позволят ему в будущем успешно сдавать самые разные экзамены по математике.
В подготовке настоящего издания большую помощь авторам ока- зала О. А. Васильева, которая вычитала рукопись, прорешала задачи и выверила ответы к ним.
А. И. Козко, В. С. Панфёров,
И. Н. Сергеев, В. Г. Чирский.

Введение
Начало настоящей книги представлено вводной диагностической работой и несколькими десятками подготовительных задач. Выпол- нив диагностическую работу, содержащую 15 различных задач, чита- тель сможет для себя понять, какие из них вызывают у него наиболь- шие трудности. Подготовительные же задачи предназначены менее опытным ученикам для предварительной самопроверки.
Первый раздел книги представлен 24 параграфами, характери- зующимися определёнными типами задач или методами их реше- ний. В начале каждого параграфа подробно разбираются типичные задачи, при решении которых демонстрируются конкретные мето- ды. Ознакомившись с этими решениями, читатель может приступить к решению тренировочных задач того же параграфа и проверить степень овладения тем или иным методом.
Во втором разделе книги читателю предлагаются несколько на- боров диагностических задач, каждый из которых включает в себя различные их типы, а также и дополнительные задачи для закрепле- ния всей тематики в целом путём самостоятельного их решения.
Наши рекомендации по диагностическим работам таковы:
— выполните начальную диагностическую работу и сверьте ответы,
полученные вами, с ответами в книге;
— каждая нерешённая задача и каждый неверный ответ являются для вас сигналом к действию;
— внимательно прочитайте предложенные в первом разделе книги методические рекомендации и примеры решений всех задач диа- гностической работы, сравнив их с текстами ваших решений и об- ратив особое внимание на имеющиеся различия между ними;
— последовательно решайте диагностические работы 1–6, перемежая их с тренировочными и подготовительными задачами, прежде все- го по тем темам, которые вызывают наибольшие затруднения.
В конце книги приведён список рекомендованной литературы для возможного дальнейшего изучения материала (однако для овладения предлагаемыми в книге приёмами и методами читателю не требуется изучать что-то выходящее за её пределы). Эти книги читатель может

8
Введение использовать, например, для дополнительной проверки и совершен- ствования своих навыков.
В заключение отметим, что читателю, готовящемуся к какому- либо экзамену по математике (будь то ЕГЭ, дополнительное вступи- тельное испытание или вузовская олимпиада), целесообразно создать в своих знаниях, умениях и навыках определённый запас прочно- сти. Ему нужно знать и уметь несколько больше того минимума,
который вытекает из опыта предыдущих экзаменов. Ведь не секрет,
что варианты экзаменационных заданий постепенно развиваются и усложняются: то, что раньше казалось новым и трудным для вос- приятия, со временем становится привычным и элементарным. В об- щем, нельзя ориентироваться только на вчерашний день.
Подготовка к экзамену по математике состоит не в натаскивании выпускника на какие-то определённые типы задач, а в системати- ческом и обстоятельном изучении самого предмета как на уроках в школе, так и в процессе самостоятельной работы ученика. Таким образом, для подготовки к экзаменам рекомендуем читателю при- обретать и прорабатывать современные пособия, содержащие гра- мотные подборки задач и возможных методов их решения, — одним из таких пособий и является настоящая книга!
Диагностическая работа
1. При каком наибольшем отрицательном значении a функция
y
= sin
€
24x +
a
π
100
Š
имеет максимум в точке x
0
= π?
2. При каждом значении a решите неравенство |x + a| > a.
3. Найдите все такие значения x, при которых неравенство
(4 − 2a)x
2
+ (13a − 27)x + (33 − 13a) > 0
выполняется для всех a, удовлетворяющих условию 1 < a < 3.
4. При каждом значении a решите неравенство ax
2
+ x + 3a
3
> 0.
5. Найдите все значения a, при которых уравнение
(x
2
− 6|x| + a)
2
+ 10(x
2
− 6|x| + a) + 26 = cos
€
16π
a
Š
имеет ровно два корня.

Диагностическая работа
9
6. При каждом значении a решите неравенство
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
> 0.
7. Определите все значения a, при каждом из которых три различных корня уравнения
x
3
+ (a
2
− 9a)x
2
+ 8ax − 64 = 0
образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.
8. Найдите все значения a, при которых неравенство cos x − 2
p
x
2
+ 9 ¶ −
x
2
+ 9
a
+ cos x
− a
имеет единственное решение.
9. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств
¨ y ¾ x
2
+ 2a,
x ¾ y
2
+ 2a
имеет единственное решение.
10. Решите уравнение
25
p
x
− 1
+
4
p y − 2
= 14 −
p
x
− 1 −
p y − 2.
11. При каких значениях a уравнение
3
????
2
+2????????+4????−3
− 2 =
a
− 2
x
+ a
имеет ровно два корня, лежащих на отрезке [−4; 0]?
12. Найдите все значения a, при которых уравнение
4x − |3x − |x + a|| = 9|x − 1|
имеет хотя бы один корень.
13. При каждом значении a решите неравенство p
x
+ 2a > x +
p
2a.
14. При каждом значении a найдите все натуральные числа x, y,
удовлетворяющие неравенству xy ¶ 3 − a
2
15. При каких значениях a системы уравнений
¨
sin(x + y) = 0,
x
2
+ y
2
= a
и
¨ x
+ y = 0,
x
2
+ y
2
= a
равносильны?

10
Введение
Ответы
1
. a
= −150.
2
. Если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ (0; +∞).
3
. x
∈ [3 −
p
6; 2] ∪ [5; 3 +
p
6].
4
. При a ¶ −
1 4
p
12
решений нет;
если −
1 4
p
12
< a < 0, то x ∈

−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
‹
;
если a = 0, то x ∈ (0; +∞);
если 0 < a ¶
1 4
p
12
, то x ∈

−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
‹
∪

−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
‹
;
если a >
1 4
p
12
, то x ∈ (−∞; +∞).
5
. a
= 4; a = −8.
6
. При a ¶ −
1 4
p
12
решений нет;
если −
1 4
p
12
< a < 0, то x ∈

−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
‹
;
если a = 0, то x ∈ (0; +∞);
если 0 < a ¶
1 4
p
12
, то x ∈

− ∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
‹
∪

−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
‹
;
если a >
1 4
p
12
, то x ∈ (−∞; +∞).
7
. a
= 7, корни уравнения 2, 4, 8.
8
. a
= 2.
9
. a
= 1/8.
10
. x
= 26, y = 6.
11
. a
∈ [1; 2) ∪ (2; 3].
12
. a
∈ [−8; 6].
13
. При a < 0 решений нет; если a ∈ [0; 1/8), то x ∈ (0; 1 − 2
p
2a); при a = 1/8
нет решений; если a ∈ (1/8; 1/2], то x ∈ (1 − 2
p
2a; 0); если a > 1/2, то x ∈
∈ [−2a; 0).
14
. Если 1 < |a| ¶
p
2, то решение (1; 1); если 0 < |a| ¶ 1, то решения (1; 1),
(2; 1), (1; 2); если a = 0, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2), (3; 1), (1; 3); при
|a| >
p
2 решений нет.
15
. a
∈ (−∞; π
2
/2).
Подготовительные задачи
1. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть двух отрезков [−1; 1] и [a; a + 1]: а) является отрезком, б) состоит из одной точки, в) пустая.
2. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть по- луинтервала (0; 2] и интервала (a − 1, a): а) является интервалом,
б) является полуинтервалом, в) является отрезком, г) пустая.

Подготовительные задачи
11
3. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть двух множеств {x : |x| ¾ 1} и [a − 2; a + 2]: а) является отрезком, б) состо- ит из точек двух отрезков, в) состоит из отрезка и отдельной точки,
г) пустая.
Для каждого значения a решите относительно x уравнение или неравенство.
4. ax
= 1.
5. ax
< 1.
6. ax ¾ 1.
7. (a
2
− 9)x = a + 3.
8.
x
− a
x
− 5
= 0.
9.
x
− a
a
+ 2
= 0.
10.
x
+ 1
x
2
− a
2
= 0.
11.
a(x − a)
x
− 4
= 0.
12. x
2
= a.
13. x
2
= −a.
14. x
2
> a.
15. x
2
¶ −a.
16. x
3
= a.
17. x
3
> a.
18. x
3
¶ −a.
19.
|x| = a.
20.
|a| = x.
21.
|x − 3| < a.
22.
|x − 3| > a.
23.
p
x
= −a.
24. a
p
x
= 0.
25.
p
x
> a.
26.
p
x ¶ −a.
27. x ¾
a
x
28. x
<
a
x
29. 2
????
< a.
30.
€
1 2
Š
????
< a.
31.
€
1 2
Š
????
¾ a.
32. 2
????
¾ a.
33. log
????
x
< 1.
34. log
????
a
< 1.
35. sin x = a.
36. cos
2
x
= a.
37. tg x = a.
38.
|sin x| = a.
39. cos |x| = a.
40. arccos x = a.
41. arcsin x = a.
42. sin x < a.
43. sin x ¾ a.
44. cos x ¶ a.
45. cos x > a.
46. sin x =
1 2
€
a
+
1
a
Š
47. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x
2
− x + a = 0
не имеет действительных корней.
48. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 2)x
2
+ 2(a − 2)x + 2 = 0
не имеет действительных корней.