ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 422
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
214
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
(5 − 2
p
6)
????
+ (5 + 2
p
6)
????
− 5a = y − | y| − 8,
x
2
− (a − 4) y = 0
имеет единственное решение.
Диагностическая работа 3
1. При всех значениях a решите неравенство
a
x
+ a
> 1.
2. При каких положительных значениях a неравенство
a
+ 2x
ax
− 4
¾
5
x
справедливо для всех x > 10?
3. Найдите все значения a, при которых уравнение
2 cos 2x − 4a cos x + a
2
+ 2 = 0
не имеет решений.
4. При каких значениях a четыре корня уравнения
x
4
+ (a − 5)x
2
+ (a + 2)
2
= 0
являются последовательными членами арифметической прогрессии?
5. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравне- ний
¨ x
2
+ y
2
= 1,
x
+ y = a
имеет единственное решение.
6. При каких значениях q система
( x
2
+ qx + 3 = 0,
sin
2
q
π + cos
2
π
2
x
+ 2
????
2
= sin
π
2
x
имеет решения? Найдите эти решения.
7. При каждом значении b решите неравенство p
x
+ 4b
2
> x + 2|b|.
Диагностическая работа 4 215
8. При каких значениях a система
(
x
2
− (2a − 2)x + a
2
− 2a − 3 = 0,
Æ
( y − a)
2
+ x
2
+
Æ
( y − a)
2
+ (x − 4)
2
= 4
имеет единственное решение?
Диагностическая работа 4
1. Для каждого значения a решите уравнение
x
|x + 1| + a = 0.
2. Найдите все значения b, при которых уравнение
x
− 2 =
p
2(b − 1)x + 1
имеет единственное решение.
3. Для каждого допустимого значения a решите неравенство
a
????
(a − 1)
????
− 2a
????
+1
− (a − 1)
????
+ 2a ¶ 0
и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2.
4. Найдите все значения a, при которых уравнение
x(2
????
− 1)
2
????
+ 1
+ 2a
= a
2
+ 1
имеет нечётное число различных решений.
5. Найдите наибольшее значение a, при котором неравенство
a
p
a(x
2
− 2x + 1) +
p
a
x
2
− 2x + 1
¶
4
p
a
3
·
sin
πx
2
имеет хотя бы одно решение.
6. Найдите все значения a, при которых уравнение
||x − a| + 2x| + 4x = 8|x + 1|
не имеет ни одного корня.
7. Найдите все значения a, при каждом из которых существует един- ственная пара целых чисел (x; y), удовлетворяющая уравнению
−15x
2
+ 11xy − 2y
2
= 7
и неравенствам x < y, 2a
2
x
+ 3ay < 0.
216
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
8. При каких значениях a система
(x +
p
2z)
2
+ (y +
p
2t)
2
= 25 + 2a
p
25 − a
2
,
x
2
+ y
2
= a
2
,
z
2
+ t
2
=
25 − a
2 2
имеет хотя бы одно решение?
Диагностическая работа 5
1. При всех значениях a решите неравенство
(x − 1)(x − a)
x
−
a
− 1 2
> 0.
2. Найдите все значения a, при которых неравенство
|x
2
+ 4x − a| > 6
не имеет решений на отрезке [−3; 0].
3. Решите уравнение
(x − 1)
6
(sin 4x + sin 4)
1/6
+ (x + 1)
6
(sin 2 − sin 2x)
1/6
= 0.
4. Уравнение ax
2
+ bx + 2 = 0, где a < 0, имеет одним из своих корней число x = 3. Решите уравнение
ax
4
+ bx
2
+ 2 = 0.
5. Найдите все значения α, при которых уравнение
x
2
+
6x
p sin α
+
9
p
3
cos α
+ 36 = 0
имеет единственное решение.
6. Для каждого значения a, принадлежащего интервалу (0; 2), най- дите наименьшее значение выражения
x
2
+ y
2
− 2a(x + y)
при условии cos(πxy/2) = 1.
7. Для каждого значения a, принадлежащего отрезку [−1; 0], решите неравенство log
????
+????
(x
2
− (a + 1)x + a) ¾ 1.
Диагностическая работа 6 217
8. Для каждого допустимого значения a решите систему
( p
x
2
+ a
2
− 2x + 2a + 2 =
p
37 −
p
x
2
+ a
2
− 4x − 10a + 29,
log
????
−1 7 + log
????
7 = 0.
Диагностическая работа 6
1. Найдите все значения a, при которых уравнение
5|x − 3a| + |x − a
2
| + 4x = a
1) имеет бесконечное множество решений; 2) не имеет решений.
2. При каких значениях a уравнение
(a − 1) · 4
????
+ (2a − 3) · 6
????
= (3a − 4) · 9
????
имеет единственное решение?
3. Для каждого значения a решите неравенство
(x
2
+ 2x − a
2
− 4a − 3)(sin x + 2x) > 0.
4. При каких значениях b система уравнений
¨ x
2
+ y
2
= 2,
| y| − x = b
имеет ровно три различных решения?
5. Найдите все значения b, при каждом из которых неравенство
(3 − 2
p
2)
????
+ (b
4
+ 12 − 6b
2
) · (3 + 2
p
2)
????
+ 9
????
+
b
2 4
+ b · 3
????
−
p
12 ¶ 0
имеет хотя бы одно решение (t; x).
6. Найдите все значения a, при каждом из которых корни уравнения
Æ
x
+ 3 − 4
p
x
− 1 +
Æ
x
+ 8 − 6
p
x
− 1 = a
существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
7. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие уравне- нию
m
2
+ amn − bn
2
= 0,
где a = 1953 100
, b = 1995 100
218
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
8. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
x
2 64
+
z
2 49
,
если величины x, y, z, ω удовлетворяют системе
x
2
+ y
2
− 6x − 4 y − 51 = 0,
z
2
+ ω
2
+ 2z + 8ω − 32 = 0,
x
ω + yz + 4x − 3ω + y − 2z − 70 ¾ 0.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите все значения α, при каждом из которых система
¨
x
2
+ (y + 4
p
2)
2
= 16,
(x − cos α)
2
+ (y − sin α)
2
= 1
имеет хотя бы одно решение.
2. Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|x| − 6)
2
+ (|y| − 6)
2
= 4,
y
= ax + 1,
xy
> 0
имеет единственное решение.
3. Известно, что значение a таково, что система уравнений
¨
2
ln ????
= 4
|????|
,
log
2
(x
4
y
2
+ 2a
2
) = log
2
(1 − ax
2
y
2
) + 1
имеет единственное решение. Найдите это значение a и решите си- стему при этом найденном значении.
4. Для каждого значения a решите уравнение
4 cos x sin a + 2 sin x cos a − 3 cos a = 2
p
7.
5. Найдите все значения a, для каждого из которых при любом зна- чении b имеет хотя бы одно решение система уравнений
¨
(1 + 5x
2
)
????
+ (b
2
− 6b + 10)
????
= 2,
x
2
y
2
+ (b − 3)xy + a
2
+ 2a = 3.
Задачи для самостоятельного решения
219
6. Найдите все значения α, при каждом из которых система уравне- ний
sin x = cos x
p
6 − 2a
2
,
cos x =
a
−
2 3
sin x
p
6 − 2a
2
имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2π].
7. Найдите все значения a, при каждом из которых общие решения неравенств x
2
− 4x ¶ a − 3 и x
2
+ 2a ¶ 2x образуют на числовой оси отрезок длиной 1.
8. Найдите все значения a, при каждом из которых функция
y(x) = log
25−????
2
(cos x +
p
8 sin x − a)
определена при всех значениях x.
9. Для каждого значения a решите систему
( p
x
2
+ a
2
− 2x + 2a + 2 =
p
37 −
p
x
2
+ a
2
− 4x − 10a + 29,
log
????
−1 7 + log
????
7 = 0.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
x
2 64
+
z
2 49
,
если величины x, y, z, ω удовлетворяют системе
x
2
+ y
2
− 6x − 4 y − 51 = 0,
z
2
+ ω
2
+ 2z + 8ω − 32 = 0,
x
ω + yz + 4x − 3ω + y − 2z − 70 ¾ 0.
11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
2xy − ax − 2ay + a
2
− 2 = 0,
4x
2
+ 4y
2
− 8ax − 4ay − 7a
2
− 20a = 0
имеет ровно два различных решения.
12. При каких значениях a система
(x +
p
2z)
2
+ (y +
p
2t)
2
= 25 + 2a
p
25 − a
2
,
x
2
+ y
2
= a
2
,
z
2
+ t
2
=
25 − a
2 2
имеет хотя бы одно решение?
220
Часть 2.
Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения
13. При каких значениях a система
(
x
2
− (2a − 2)x + a
2
− 2a − 3 = 0,
Æ
( y − a)
2
+ x
2
+
Æ
( y − a)
2
+ (x − 4)
2
= 4
имеет единственное решение?
1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21
14. Для каждого значения a решите систему
(
x
2
+ a
2
+ 2x − 14a − 14 = 0,
p
x
2
+ a
2
− 18x + 4a + 85 +
p
x
2
+ a
2
+ 6x − 12a + 45 = 4
p
13.
15. Найдите все значения b на отрезке [0; π/2], при каждом из кото- рых система
¨ |
p
3 · x + y| + |
p
3 · y − x| = 2 cos b,
(x +
p
3 · y)
2
+ (y −
p
3 · x)
2
= 4 sin b
имеет ровно четыре различных решения.
16. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
7 2 ????
2
+2 ????
2
+13????+10 ????+13
+ 7
????
+2 ????−8
¶ 344 · 7
????
2
+????
2
+7????+6 ????+1
,
x
2
+ y
2
− 18x − 12 y = a
имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию 2x = 3 y.
17. При каких значениях a неравенство log
(2????−15)/5
sin x +
p
3 cos x + a − 5 5
> 0
выполняется при всех x?
18. При каких значениях a уравнение
2 cos
2
(2 2 ????−????
2
) = a +
p
3 sin(2 2 ????−????
2
+1
)
имеет хотя бы одно решение?
19. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0
найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2.
20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a
2
− 6a + 9)(2 + 2 sin x − cos
2
x) + (12a − 18 − 2a
2
) · (1 + sin x) + a + 3 = 0
не имеет решений.
Задачи для самостоятельного решения
221
21. Найдите все значения a, при которых неравенство
|3 sin
2
x
+ 2a sin x cos x + cos
2
x
+ a| ¶ 3
выполняется для любых значений x.
22. Найдите все значения a, при которых система
¨
2
|????|
+ |x| = y + x
2
+ a,
x
2
+ y
2
= 1
имеет единственное решение.
23. Найдите все значения a и b, при которых система
xyz
+ z = a,
xyz
2
+ z = b,
x
2
+ y
2
+ z
2
= 4
имеет только одно решение.
24. Найдите все значения b, при которых уравнение
2b
2
− b sin
π ·
x
2
− 16x − 2 12
− 1 =
=
3
π
arcsin
2 −
x
4
log p
5+2 8 − x +
p
x
2
− 16x + 65
имеет единственное решение, и определите это решение.
25. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого b
система
¨ az
2
= y − bx,
(2b + 3)x = by − 2z + 1
имеет хотя бы одно решение (x; y; z).
26. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ |3x − y + 2| ¶ 12,
(x − 3a)
2
+ (y + a)
2
= 3a + 4
имеет единственное решение.
27. Найдите все значения a из интервала (−π; π), при которых си- стема
¨
(x
2
+ y
2
− 1)(6 y − x
2
− 15) = 0,
y cos a + x sin a = 1
имеет ровно три различных решения.