Файл: Кафедра высшей математики Расчетнографическая работа.docx
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образованияСанкт-Петербургский горный университетКафедра высшей математики Расчетно-графическая работа По дисциплине ______________Математика________________________(наименование учебной дисциплине согласно учебному плану)Тема работы: __ Основы математической статистики___Вариант 106Выполнил: ст. группы КРС-21 Крюков Т.В. (должность) (подпись) (Ф.И.О)Дата: ______________________________Проверил: доцент Мансурова С.Е.(должность) (подпись) (Ф.И.О)Задача 1.Статистическая обработка массива данных.Выборочные оценки генеральной совокупности.Условие задачи:1) Составить сгруппированный статистический ряд:а) определить нужное кол-во интервалов по формуле Стерджесса k , где N-объем выборки;б) найти наибольшее и наименьшее значение измеряемой величины;в) определить ширину интервала. Используемая формула:г) интервалы берутся открытыми слева и закрытыми справа: (αi;βi], i=1..kд) концы интервалов вычисляются по формулам:е) определить середины интервалов: 2) Для сгруппированного статистического ряда вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение.3) Считая генеральную совокупность нормально распределенной, найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95
4) Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.Исходные данные:Решение:
Для решаемой задачи: объем выборки N=100; надежность γ=0,95; исправленное квадратическое отклонение s=13,85. По таблице значений для tγ находим: tγ=1,984 (таблица значений ниже)Тогда точность оценки (радиус доверительного интервала): = =Таким образом, с вероятностью 0,95 математическое ожидание генеральной совокупности принадлежит интервалу (19,68-2,75; 19,68+2,75), т.е. 16,866Теория: 2. Оценка ср.кв. отклонения.По таблице значений для q(γ,N) находим: q(0,95;100) =0,143. Тогда концы доверительного интервала:Таким образом, с вероятностью 0,95 среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности принадлежит интервалу Результаты из Excel:4)Гистограмма, полигон частот и эмпирическая функция распределения.Для построения эмпирической функции распределения, с учетом группировки, лучше использовать не кусочно-постоянную, а непрерывную кусочно-линейную функцию, где до начала первого интервала и на левом конце первого интервала F* 0 , на правом конце первого интервала на отрезке строим функцию как отрезок, соединяющий конечные точки. На втором отрезке будет и т.д. Таким образом, для последнего интервала получим:
и это же значение будет иметь для всех значений х, больших, чем 54. При подобном рассмотрении эмпирической функции распределения вероятностей мы предполагаем, что изменения ее значений происходят не скачком в средних точках интервалов, а накапливаются "плавно" на каждом интервале.Составим таблицу для построения описанной функции распределения:Задача 2. Проверка статистических гипотез.Условие задачи:По данным из задачи 1:1) Оценить с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие данных с нормальным распределением при уровне значимости α=0,052) Построить сравнительный график эмпирических (ломаная линия с маркерами) и теоретических (сглаженная линия без маркеров) частот. График рисуется на белом фоне линиями разных цветов, добавляются линии сетки координат и легенда.Решение:Оценим с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие эмпирических данных с нормальным распределением при уровне значимости α=0,05 .Основная гипотеза Н0: рассматриваемая генеральная совокупность ξ распределена по нормальному закону с параметрами и δ=δ*=13,78 ; альтернативная гипотеза Н1: генеральная совокупность распределена по какому-то другому закону.Для этого дополним таблицу со сгруппированным статистическим рядом значениями теоретических вероятностей теоретических частот.Теоретические вероятности попадания значения генеральной совокупности в интервал вычисляются как плотность нормального распределения, i=1..k . Теоретические частоты вычисляются по формуле , где [...] — округление до целого.При этом контрольные суммы для теоретических вероятностей и частот должны приближенно равняться 1 и объему выборки.Вычислив необходимые величины, получим:
Т.к. критерий Пирсона не "работает" при малых частотах, объединим 1-й интервал со 2-ми 7й с 8-м. Таким образом, количество интервалов уменьшится до k =6.Добавим в таблицу столбец с наблюдаемыми значениями распределения , где Получим:Таким образом, По таблице критических точек распределения найдем при числе степеней свободы n k 3 63 3 и уровне значимости 0,05 :Сравнивая найденное значение с критическим (14,101> 7,815), определяем, что лежит в критической областиТаким образом, при уровне значимости α=0,05 можно утверждать, что распределение рассматриваемой генеральной совокупности ξ сильно отличается от нормальнойПостроим сравнительный график эмпирических (ломаная линия с маркерами) и теоретических (сглаженная линия без маркеров) частот (используя точечную диаграмму). Задача 3. Корреляционный и регрессионный анализ данных. Условие задачи:1)Установить наличие или отсутствие связи между случайными величинами Х и У, вычислив выборочный коэффициент корреляции.2)Найти выборочные регрессии У на Х и Х на У, предполагая, что они линейные3)Построить линии регрессий и точки условных средних на одном чертеже (точки условных средних Х и регрессия Х и У изображаются одним цветом, а точки условных средних У и регрессия У на Х – другим цветом).
4) Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.Исходные данные:Решение:
-
Объем выборки N=100. Определим кол-во интервалов для группировки по формуле Стеджесса:
Для решаемой задачи: объем выборки N=100; надежность γ=0,95; исправленное квадратическое отклонение s=13,85. По таблице значений для tγ находим: tγ=1,984 (таблица значений ниже)Тогда точность оценки (радиус доверительного интервала): = =Таким образом, с вероятностью 0,95 математическое ожидание генеральной совокупности принадлежит интервалу (19,68-2,75; 19,68+2,75), т.е. 16,866Теория: 2. Оценка ср.кв. отклонения.По таблице значений для q(γ,N) находим: q(0,95;100) =0,143. Тогда концы доверительного интервала:Таким образом, с вероятностью 0,95 среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности принадлежит интервалу Результаты из Excel:4)Гистограмма, полигон частот и эмпирическая функция распределения.Для построения эмпирической функции распределения, с учетом группировки, лучше использовать не кусочно-постоянную, а непрерывную кусочно-линейную функцию, где до начала первого интервала и на левом конце первого интервала F* 0 , на правом конце первого интервала на отрезке строим функцию как отрезок, соединяющий конечные точки. На втором отрезке будет и т.д. Таким образом, для последнего интервала получим:
и это же значение будет иметь для всех значений х, больших, чем 54. При подобном рассмотрении эмпирической функции распределения вероятностей мы предполагаем, что изменения ее значений происходят не скачком в средних точках интервалов, а накапливаются "плавно" на каждом интервале.Составим таблицу для построения описанной функции распределения:Задача 2. Проверка статистических гипотез.Условие задачи:По данным из задачи 1:1) Оценить с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие данных с нормальным распределением при уровне значимости α=0,052) Построить сравнительный график эмпирических (ломаная линия с маркерами) и теоретических (сглаженная линия без маркеров) частот. График рисуется на белом фоне линиями разных цветов, добавляются линии сетки координат и легенда.Решение:Оценим с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие эмпирических данных с нормальным распределением при уровне значимости α=0,05 .Основная гипотеза Н0: рассматриваемая генеральная совокупность ξ распределена по нормальному закону с параметрами и δ=δ*=13,78 ; альтернативная гипотеза Н1: генеральная совокупность распределена по какому-то другому закону.Для этого дополним таблицу со сгруппированным статистическим рядом значениями теоретических вероятностей теоретических частот.Теоретические вероятности попадания значения генеральной совокупности в интервал вычисляются как плотность нормального распределения, i=1..k . Теоретические частоты вычисляются по формуле , где [...] — округление до целого.При этом контрольные суммы для теоретических вероятностей и частот должны приближенно равняться 1 и объему выборки.Вычислив необходимые величины, получим:
Т.к. критерий Пирсона не "работает" при малых частотах, объединим 1-й интервал со 2-ми 7й с 8-м. Таким образом, количество интервалов уменьшится до k =6.Добавим в таблицу столбец с наблюдаемыми значениями распределения , где Получим:Таким образом, По таблице критических точек распределения найдем при числе степеней свободы n k 3 63 3 и уровне значимости 0,05 :Сравнивая найденное значение с критическим (14,101> 7,815), определяем, что лежит в критической областиТаким образом, при уровне значимости α=0,05 можно утверждать, что распределение рассматриваемой генеральной совокупности ξ сильно отличается от нормальнойПостроим сравнительный график эмпирических (ломаная линия с маркерами) и теоретических (сглаженная линия без маркеров) частот (используя точечную диаграмму). Задача 3. Корреляционный и регрессионный анализ данных. Условие задачи:1)Установить наличие или отсутствие связи между случайными величинами Х и У, вычислив выборочный коэффициент корреляции.2)Найти выборочные регрессии У на Х и Х на У, предполагая, что они линейные3)Построить линии регрессий и точки условных средних на одном чертеже (точки условных средних Х и регрессия Х и У изображаются одним цветом, а точки условных средних У и регрессия У на Х – другим цветом).