Файл: Уметь пользоваться современной научной аппаратурой для проведения инженерных измерений и научных исследований использовать основные приемы обработки экспериментальных данных владеть.doc

х.

.

Зная , можно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина будет иметь значение в интервале от до .

.
Кривая нормального распределения и ее физический смысл

В лабораторном эксперименте проведено n измерений одной и той же физической величины и получены ее значения х₁, х₂, х₃,...х_n. Отложив эти значения в виде точек на оси абсцисс (рис.1), получим на этой оси множество точек (если число измерений достаточно велико), причем их плотность в одних местах будет больше, в других меньше. Выделим на оси абсцисс равные интервалы Δx = , и сосчитаем, сколько точек попало в каждый интервал. Построив над каждым интервалом прямоугольник с высотой, равной количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую (гистограмму).

Например, в выделенный интервал, заключенный между значениями х_i и х_i + , попало k_i точек и высота прямоугольника 1 равна k_i.

Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. k_i/[(k₁ + k₂+ ... + k_n)] = k_i/n = k_i/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между х_i и x_i + .

Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х₁ до х₂ равна суммарной площади прямоугольников, заключенных между х₁ и х₂.

Если неограниченно увеличивать число измерений n, а интервал  устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса

---

Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности «попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.

Входящую в формулу Гаусса величину  называют стандартным отклонением, а ² - дисперсией измерения.

При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле



Средняя квадратичная ошибка  используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.

В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические каждого отдельного измерения и их средние квадратичные погрешности , а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии независимых прямых измерений одной и той же величины по формуле



или средняя квадратичная ошибка среднего значения



где:  - средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.

Физический смысл средней квадратичной погрешности.
При любых численных значениях стандартного отклонения для доверительного интервала (рис.2) доверительная вероятность всегда равна 0,68. То есть можно утверждать, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения окажется в интервале от до или, что то же самое, с вероятностью 68 % ошибка единичного измерения не превышает величины стандартного отклонения (среднеквадратичной погрешности).

---

Доверительному интервалу от до соответствует доверительная вероятность 95 %, а доверительному интервалу от до - доверительная вероятность 99,7 %.

Если ограничится доверительной вероятностью 68 %, то величину стандартного отклонения  используют для оценки случайной погрешности. При этом результат измерений величины х должен быть представлен в виде Эта запись означает, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения величины х окажется в интервале значений от ( ) до ( ).
Учет систематических ошибок
Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.

Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. У неэлектрических приборов, имеющих шкалу с делениями, принимают в качестве систематической ошибки половину цены деления прибора. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм. Приборы, имеющие дополнительную шкалу (нониус), имеют точность измерений, соответствующую дополнительной шкале. Например, для измерений штангенциркулем – 0,1–0,05 мм; микрометром – 0,01 мм.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Согласно ГОСТу, электроизмерительные приборы делятся по степени точности на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆х по формуле



где К – класс точности прибора в процентах, x_пр – предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более



Среднее значение полной погрешности складывается из

---

случайной и систематической погрешности



Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде


Погрешность косвенного измерения
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть физическая величина (x, y, z, ...) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, ..., каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины и оцениваются их средние абсолютные погрешности или средние квадратичные погрешности .

Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины  вычисляется по формуле



где  - частные производные от φ поx, y, z, вычисленные для средних значений соответствующих аргументов.

Так как в формуле использованы абсолютные величины всех членов суммы, то выражение для оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины 



Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины 



где

---

и т. д.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность косвенных измерений 

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять максимальную относительную погрешность косвенных измерений . Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.

2. Продифференцировать полученное выражение.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю (в соответствии с теорией Гаусса погрешности складываются по абсолютной величине).

5. Формально заменить значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности .

Затем, зная , можно вычислить абсолютную погрешность  по формуле

 = 
Пример 1. Вывод формулы для вычисления максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра.

Выражение для косвенного измерения физической величины (исходная формула)



Величина диаметра D и высоты цилиндра h измеряются непосредственно приборами с погрешностями прямых измерений соответственно D и h.

Прологарифмируем исходную формулу и получим



Продифференцируем полученное уравнение



Заменив значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности , окончательно получим формулу для расчёта максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра

4. Правила представления результатов измерения

• 
  Результаты измерения принято представлять в виде или
  
• 
  Погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
  

правильно –  = 0,04,

неправильно –  = 0,0382.

• 
  Последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:
  

---