КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

ЗАДАНИЕ 1. Найти неопределенные интегралы.

1.



2.



3.



4.







5.



6.



7.



8.



ЗАДАНИЕ 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.



Следовательно, интеграл расходится.

ЗАДАНИЕ 3. В декартовой системе координат построить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Найти площадь фигуры.



Решение.

- парабола, ветви направлены вверх

---

, - вершина,

- точка пересечения с осью .

- парабола, ветви направлены вправо, - вершина.

Найдем точки пересечения парабол:





Следовательно, - точки пересечения параболы.

Выполним чертеж.



Вычислим площадь:



ЗАДАНИЕ 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями. Построить чертеж.



Решение.

- парабола, ветви направлены вниз, - вершина,

- точки пересечения с осями координат.

Выполним чертеж плоской фигуры.



Вычислим объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси :



ЗАДАНИЕ 5. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.

---

.

Решение.

Вычислим интеграл непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница:



Разобьем интервал интегрирования на частей, тогда

, , .

Вычисления проведем с четырьмя знаками после запятой и сведем в таблицу:

0	0	0.3750
1	0.1	0.3239
2	0.2	0.2817
3	0.3	0.2466
4	0.4	0.2170
5	0.5	0.1920
6	0.6	0.1707
7	0.7	0.1524
8	0.8	0.1367
9	0.9	0.1230
10	1	0.1111

Применим формулу левых прямоугольников:

.

Подставляя найденные значения, получим:



Применим формулу правых прямоугольников:

.

Подставляя найденные значения, получим:

---

За окончательное значение интеграла примем среднее арифметическое значений и :



Найдем абсолютную погрешность вычислений:

, где - точное значение, - приближенное значение.

Получим:

.

Найдем относительную погрешность вычислений:

, где - точное значение, - абсолютная погрешность.

Получим:



Вывод: значение интеграла, вычисленное по формуле прямоугольников, дает ошибку при вычислении, не превышающую 1%, т.е. является вполне приемлемым; для достижения лучшего результата следует увеличить число частей разбиения или использовать формулы трапеций или Симпсона.

ЗАДАНИЕ 6. Определить, является ли функция решением дифференциального уравнения.



_{Решение.}

Вычислим производную данной функции:



Найденную производную и саму функцию подставим в исходное уравнение:



Получено верное равенство, следовательно, данная функция является решением данного дифференциального уравнения.

ЗАДАНИЕ 7. Найти общее решение дифференциального уравнения. Найти частное решение по заданным начальным условиям.

---

Используя полученное частное решение, построить интегральную кривую – линию , проходящую через точку .



_{Решение.}

Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:



Проинтегрируем обе части:


Тогда общее решение имеет вид:

.

Общее решение на плоскости ‒ это семейство прямых, проходящих через точку с координатами . Эти прямые имеют различные углы наклона в зависимости от константы .

Для частного решения найдем значение неопределенной константы, используя начальные условия ‒ координаты точки :



Подставив найденное значение:



Тогда частное решение имеет вид:

 это прямая, которая пересекает оси координат в точках и и проходит через точку , координаты которой соответствуют начальным условиям.

---

Смотрите также файлы

• Основы немедикаментозных методов лечения. Патогенез и саногенез.docx

• Правилами по охране труда при эксплуатации электроустановок (новые Правила 903н от 15. 12. 2020 года старые правила 328н от 24. 07. 2013 года). Было в Правилах 328н.docx

• Задание Составьте.docx

• .docx

• Инструкция по движению поездов и маневровой работе все варианты верны правила выдачи предупреждений на поезда.docx