Файл: Учебник для сопровождения лекций и практических занятий.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 50
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Отметим, что это верно?
неверно?
240
неверно?
240
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀???? ????
2
> 0
читается так:
для любого ???? ????
2
> 0
. Отметим, что это неверно: 0 2
= 0.
241
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀???? ∃???? ???? < ???? читается так:
242
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀???? ∃???? ???? < ???? читается так:
для любого ????
243
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀???? ∃???? ???? < ???? читается так:
для любого ???? найд¨ется б´ольший ????.
244
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀???? ∃???? ???? < ???? читается так:
для любого ???? найд¨ется б´ольший ????. Отметим, что это верно?
неверно?
245
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀???? ∃???? ???? < ???? читается так:
для любого ???? найд¨ется б´ольший ????. Отметим, что это верно.
246
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
247
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
248
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
⎞
⎠
,
249
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N
⎞
⎠
,
250
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N ⇒
⎞
⎠
,
251
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N ⇒ ∃????
⎞
⎠
,
252
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N ⇒ ∃????
⎧
⎨
⎩
???? ∈ N,
???? > ????,
????/???? ∈ N
⎞
⎠
,
253
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N ⇒ ∃????
⎧
⎨
⎩
???? ∈ N,
???? > ????,
????/???? ∈ N
⎞
⎠
,
т.е.
254
V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀????
⎛
⎝
???? ∈ N ⇒ ∃????
⎧
⎨
⎩
???? ∈ N,
???? > ????,
????/???? ∈ N
⎞
⎠
,
т.е.
∀????
(︂
???? ∈ N
⇒
∃????
(︀(???? ∈ N)
∧
(???? > ????)
∧
(????/???? ∈ N)
)︀
)︂
255
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
Мы уже рассматривали отрицания к логическим функциям.
Рассмотрим правила построения отрицаний к формулам с преди- катами.
256
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
257
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для
258
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ????
259
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
260
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
261
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого
262
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
263
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
264
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
265
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
266
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
267
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
268
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что
269
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что для любого ????
270
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что для любого ???? ????(????) не выполняется.
271
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что для любого ???? ????(????) не выполняется.
272
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что для любого ???? ????(????) не выполняется.
273
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
¬
????(????).
«Неверно, что ∀???? ????(????)», т.е.
«неверно, что для любого ???? предикат ????(????) истинен» означает, что
????(????)
выполняется «не для любого ????», т.е.
найд¨ется ????, для которого ????(????) неверно.
«Неверно, что ∃???? ????(????)», т.е.
«неверно, что найд¨ется ????, для которого предикат ????(????) истинен»
означает, что для любого ???? ????(????) не выполняется.
274
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
¬
????(????).
В случае, когда предикат ???? может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
275
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
¬
????(????).
В случае, когда предикат ???? может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» ???? и ????
обозначают натуральные числа) ∃???? ∀???? ???? > ???? т.е.
276
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
¬
????(????).
В случае, когда предикат ???? может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» ???? и ????
обозначают натуральные числа) ∃???? ∀???? ???? > ???? т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
277
VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀???? ????(????)) ∼ ∃????
¬
????(????);
¬
(∃???? ????(????)) ∼ ∀????
¬
????(????).
В случае, когда предикат ???? может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» ???? и ????
обозначают натуральные числа) ∃???? ∀???? ???? > ???? т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
∀????
278