Файл: Учебник для сопровождения лекций и практических занятий.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
38
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
Например, сравните фразы «этот автомобиль является громоздким,
к тому же данная машина имеет красный цвет, однако рассчитана только на двух пассажиров» и «этот двухместный красный авто- мобиль является громоздким».
39
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
Например, сравните фразы «этот автомобиль является громоздким,
к тому же данная машина имеет красный цвет, однако рассчитана только на двух пассажиров» и «этот двухместный красный авто- мобиль является громоздким».
Другой пример: 3(2???? − 2) + 2(4 − 4(???? + 2)) = 0 и ???? = −7 верны одновременно, но вторая фраза, очевидно, гораздо короче, проще и понятнее.
40
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
используемый язык и т.д.
41
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
используемый язык и т.д.
Например, фразы «переменная ???? равна 3», «the variable ???? is equal to 3» и ???? = 3 означают одно и то же, но сформулированы на разных языках.
42
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
используемый язык и т.д.
Например, фразы «переменная ???? равна 3», «the variable ???? is equal to 3» и ???? = 3 означают одно и то же, но сформулированы на разных языках.
Более того, если известно, что через ???? обозначена длина отрезка,
то фраза
????
⏟
⏞
3
, сформулированная на языке геометрических чертежей, равносильна предыдущим тр¨ем фразам.
43
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
используемый язык и т.д.
Но в логике нас интересует только истинность или ложность выска- зывания, от остальных его характеристик мы абстрагируемся.
44
II.2. Логическая эквивалентность высказываний
У высказывания есть множество характеристик:
эмоциональный окрас;
грамматическая сложность;
используемый язык и т.д.
Но в логике нас интересует только истинность или ложность выска- зывания, от остальных его характеристик мы абстрагируемся.
Поэтому мы будем считать высказывания (логически) эквива- лентными или (логически) равносильными, если истинность одного из них влечет истинность другого.
45
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
46
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
47
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
48
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Мы рассматриваем единственную характеристику высказывания:
его истинность или ложность.
49
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Мы рассматриваем единственную характеристику высказывания:
его истинность или ложность.
Если ???? — это высказывание, то через ???? будем обозначать его логическое значение:
50
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Мы рассматриваем единственную характеристику высказывания:
его истинность или ложность.
Если ???? — это высказывание, то через ???? будем обозначать его логическое значение:
???? = 1
тогда и только тогда, когда высказывание ???? истинно;
51
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Мы рассматриваем единственную характеристику высказывания:
его истинность или ложность.
Если ???? — это высказывание, то через ???? будем обозначать его логическое значение:
???? = 1
тогда и только тогда, когда высказывание ???? истинно;
???? = 0
тогда и только тогда, когда высказывание ???? ложно.
52
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Если, например, ???? — результат применения некоторой логической операции к упорядоченной паре высказываний ???? и ???? , то логическое значение ???? зависит только от логических значений ???? и ????, поскольку
53
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Если, например, ???? — результат применения некоторой логической операции к упорядоченной паре высказываний ???? и ???? , то логическое значение ???? зависит только от логических значений ???? и ????, поскольку при замене высказываний на логически эквивалентные значения их логических значений сохраняются.
Поэтому...
54
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Каждой логической операции, оперирующей высказываниями,
соответствует булева функция, оперирующая с логическими значениями.
55
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Каждой логической операции, оперирующей высказываниями,
соответствует булева функция, оперирующая с логическими значениями.
Справедливо и обратное, поскольку по логическому значению ????
нетрудно восстановить исходное высказывание ????:
56
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Каждой логической операции, оперирующей высказываниями,
соответствует булева функция, оперирующая с логическими значениями.
Справедливо и обратное, поскольку по логическому значению ????
нетрудно восстановить исходное высказывание ????:
(отождествляем логически эквивалентные высказывания
!)
57
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Каждой логической операции, оперирующей высказываниями,
соответствует булева функция, оперирующая с логическими значениями.
Справедливо и обратное, поскольку по логическому значению ????
нетрудно восстановить исходное высказывание ????:
(отождествляем логически эквивалентные высказывания
!)
Какие высказывания можно поставить в соответствие числу ?????
58
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Каждой логической операции, оперирующей высказываниями,
соответствует булева функция, оперирующая с логическими значениями.
Справедливо и обратное, поскольку по логическому значению ????
нетрудно восстановить исходное высказывание ????: ???? = 1.
(отождествляем логически эквивалентные высказывания
!)
Какие высказывания можно поставить в соответствие числу ?????
59
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Булева функция упорядоченной ????-ке нулей и единиц сопоставля- ет 0 или 1.
60
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Булева функция упорядоченной ????-ке нулей и единиц сопоставля- ет 0 или 1.
По булевой функции восстанавливается соответствующая логи- ческая функция, поскольку высказывание ???? восстанавливается по его логическому значению ????:
61