ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 241
Скачиваний: 6
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
58
Рис.2.
График затухающих колебаний.
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
2 2
0
Период затухающих колебаний
2 2
0 2
2
T
Логарифмический декремент затухания
характеризует быстроту затухания колебаний
T
t
A
t
A
ln
, где
A(t)
и A
(t+T)
– амплитуды двух соседних колебаний.
Для N полных колебаний
NT
t
A
t
A
N
ln
1
Найдем связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания
t
A
0
e
–
t
35
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
В работе исследуются свободные электромагнитные колебания в последовательном RLC контуре. Блок-схемы различных вариантов измерительной установки изображены на
рис.1 и
рис.2.
Конденсатор C, катушка индуктивности L и активное сопротивление R образуют последовательный колебательный контур. Колебания в контуре наблюдаются с помощью осциллографа. Для ударного (рис.1) возбуждения колебаний
36
служит генератор импульсов, соединенный с контуром через конденсатор C
о
. Генератор импульсов 50 раз в секунду вырабатывает короткие импульсы длительностью порядка 10
–3
с.
Конденсатор контура С получает некоторый начальный заряд. В промежутках между импульсами в контуре совершаются свободные затухающие колебания.
Затухание колебаний определяется, в основном, потерями в катушке индуктивности L и в дополнительном сопротивлении R
(если оно включено), так как шунтирующее влияние генератора импульсов на колебательный контур мало.
На другой установке
(рис.2) классический способ возбуждения колебаний. Конденсатор С с помощью ключей К
1
и
К
2
(полевые транзисторы), включаемых и выключаемых поочередно, заряжается от источника тока и разряжается через катушку индуктивности L и активное сопротивление R. Ключи
К
1
и
К
2
открываются импульсами, генерируемыми мультивибратором.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить макет и осциллограф. Установить на магазине индуктивности значение L = 100 мГн, на магазине емкостей С =
1 мкФ и на магазине сопротивлений R
м
= 0 Ом.
1 2 3 4 5 6 7
Внимание! Полное сопротивление контура R складывается из сопротивления магазина R
м и активного сопротивления катушки индуктивности R
о
= 50 Ом
R = R
м
+ R
о
2. С помощью ручки осциллографа «уровень» "остановить" картину колебаний на экране осциллографа.
3. Ручку «время/деление» установить на 1 ÷ 2 мс, (так, чтобы на экране осциллографа помещалось 3 ÷ 4 полных колебания).
Ручка
«развертка
плавно» должна находиться в выключенном, крайне правом, положении.
4. С помощью осциллографа измерить период затухающих колебаний Т
из
и амплитуды двух соседних колебаний А
1
и А
2 5. Измерения проделать для 5 различных значений емкости С при постоянных индуктивности L и сопротивлении R (емкость изменять переключателем «×0,1» в пределах от 0,1 до 1 мкФ).
57
Уравнение (1) спроектируем на ось OZ
z
сопр
z
упр
z
M
M
J
,
,
, где:
z
– проекция углового ускорения,
k
M
z
упр
,
– проекция силы упругости,
k – коэффициент упругости,
r
M
z
сопр
,
– проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых скоростей вращения),
– угловая скорость,
r – коэффициент сопротивления.
Уравнение (1) в скалярной форме примет вид
0
k
r
J
,
0
J
k
J
r
Обозначим
J
r
2
– коэффициент затухания и
J
k
0
– циклическая частота собственных колебаний, получим
дифференциальное уравнение затухающих колебаний
0 2
2 0
(2)
Решением уравнения (2) при малом затухании
0
>
является
уравнение затухающих колебаний
)
cos(
)
(
0 0
t
e
A
t
t
(3)
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени
t
e
A
t
A
0
)
(
, здесь
А
0
– амплитуда в начальный момент времени t = 0.
56
Приложение II
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Затухающие механические колебания
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания.
Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции может быть положено кольцо.
После отклонения бруска на небольшой угол
от положения равновесия система будет совершать свободные крутильные колебания.
Получим
дифференциальное
уравнение
затухающих
крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол
(t) запишем основной закон динамики
вращательного движения
сопр
упр
M
M
J
, (1) где: J – момент инерции бруска,
– угловое ускорение,
упр
M
– момент сил упругости,
сопр
M
– момент сил сопротивления.
M
сопр
M
упр
Z
0 37
Затем 5 раз изменяя индуктивность L при постоянных емкости C и сопротивлении R (индуктивность изменять переключателем «×10» в пределах от 10 до 100 мГн).
При постоянных значениях емкости С и индуктивности L провести 5 измерений изменяя сопротивление R (на магазине сопротивлений множителем «×10»).
6. Определение критического сопротивления R
кр
Для этого постепенно увеличивая включенное в колебательный контур сопротивление R (переключателем
«×100»), следует наблюдать за возрастанием скорости затухания колебаний и проследить переход из колебательной формы разряда конденсатора в апериодический процесс.
Определить критическое сопротивление
R
кр
, т.е. сопротивление при котором затухающие колебания перейдут в апериодический процесс.
Сравнить экспериментальное значение R
кр
с теоретическим значением R
кр, Т
C
L
R
T
кр
2
,
7. Сравнить измеренные значения периода Т
изм
с вычисленными по приближенной формуле без учета затухания
Т
о и по точной формуле для периода Т с учетом затухания:
LC
T
o
2
,
2 2
1 2
L
R
LC
T
8. Рассчитать логарифмический декремент затухания δ и добротность Q контура
2 1
ln
A
A
,
Q
Полученные результаты сравнить с теоретическими результатами, рассчитанными по формулам
L
RT
T
2
,
T
T
Q
9. Результаты измерений расчетов записать в таблицу № 1.
38
Таблица № 1
№
п/п
C
мкФ
L
мГн
R
Ом
T
из
мс
Т
о
мс
Т
мс
А
1
А
2
δ
δ
Т
Q
Q
Т
1.
2.
3.
…
15.
10. Оформить письменный отчет. Сделать выводы о характере зависимости периода, логарифмического декремента затухания и добротности от параметров контура.
55
1 2
)
1
cos
2
(
)
sin
(cos
2
cos
2 2
2 2
2
a
x
b
t
b
t
t
b
t
b
y
(6)
4)
В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны
m
n
y
x
, то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
Эти фигуры вписаны в прямоугольник 2a2b, ограничивающий колебания по осям XиY. При этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а количество точек пересечения оси Y равно n.
54
координатной плоскости в четвертую (рис.4). Амплитуда такого колебания равна (3а).
В) Пусть
2
, тогда cos
= 0, sin
= 1 и уравнение (2) примет вид
1 2
2 2
2
b
y
a
x
. (5)
То есть точка движется по эллипсу
(рис.5), оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны a и b.
При этом, если
2
, то точка движется по часовой стрелке, если
2
, то против часовой стрелки.
Г) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину Δ
, то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону
0
t
В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно проходя все этапы, показанные на рис. 2
рис.5.
3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например
x
y
2
,
0
Система уравнений (1) примет вид
t
y
t
a
x
2
cos cos
Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис.6)
39
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
Вынужденные электромагнитные колебания
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучить вынужденные электромагнитные колебания, возникающие в последовательном колебательном контуре под воздействием внешней гармонической
ЭДС, изучить резонансные свойства колебательного контура.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Магазин конденсаторов, магазин катушек индуктивности, магазин сопротивлений; вольтметр, генератор электрических колебаний.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Схема (рис.1) и описание лабораторной установки.
2. Порядок выполнения и расчета лабораторной работы.
3. Какие колебания называются вынужденными?
4. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в RLC контуре (см. Приложение III).
5. Получите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Поясните физический смысл полученного решения.
6. От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний?
7. Нарисуйте графики зависимости от частоты амплитуды колебаний заряда и тока при двух значениях сопротивления, проанализируйте их.
8. Постройте векторную диаграмму колебаний.
Проанализируйте ее.
9. Что называется резонансом? От чего зависит резонансная частота?
10. Чему равен сдвиг фаз между:
а) внешней ЭДС и током в контуре при резонансе;
б) напряжением на активном сопротивлении и током;
40
в) напряжением на конденсаторе и током;
г) напряжением на индуктивности и током?
11. Дайте определение добротности колебательного контура.
Как можно выразить амплитудные значения напряжений на индуктивности и емкости через добротность?
12. Где применяется резонанс напряжений в RLC контуре?
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Схема лабораторной установки приведена на
рис.1.
Последовательный колебательный контур составлен из магазинов сопротивления R, индуктивности L и емкости C, соединенных последовательно. Наличие магазинов позволяет изменять значения R, L и C. Контур подключен к генератору переменного напряжения. Частоту и амплитуду переменного напряжения можно изменять ручками генератора "частота" и "выход". Вольтметр "V" подключен параллельно активному сопротивлению контура
R.
Показания вольтметра пропорциональны амплитуде колебаний напряжения на R.
Изменяя частоту генератора, можно проследить зависимость амплитуды колебаний напряжения на R от частоты внешнего источника напряжения (ЭДС).
53 0
2 2
2 2
2
b
y
b
y
a
x
a
x
,
0 2
b
y
a
x
,
0
b
y
a
x
,
x
a
b
y
(3)
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой
из первой четверти координатной плоскости в третью четверть (рис.3). Амплитуда такого колебания равна
2 2
b
a
A
. (3а)
Б) Пусть
=
, тогда cos
= –1, sin
= 0 и уравнение (2) примет вид
0 2
2 2
2 2
b
y
b
y
a
x
a
x
,
0 2
b
y
a
x
,
0
b
y
a
x
,
x
a
b
y
(4)
Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой
из второй четверти
52 2
2 1
sin cos
a
x
a
x
b
y
или
2 2
1
sin cos
a
x
b
y
a
x
Последнее уравнение возводим в квадрат и преобразуем
2 2
2 2
1
sin cos
a
x
b
y
a
x
,
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin sin cos
2
cos
a
x
b
y
b
y
a
x
a
x
,
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin cos
2
sin cos
b
y
b
y
a
x
a
x
a
x
Учитывая что
1
sin cos
2 2
, получим
2 2
2 2
2
sin cos
2
b
y
b
y
a
x
a
x
(2)
Из аналитической геометрии следует, что уравнение (2) это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со сторонами
2a и
2b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания
(рис. 2). Ориентация относительно осей зависит от разности фаз
2) Рассмотрим частные случаи уравнения (2)
А) Пусть
= 0, тогда cos
= 1, sin
= 0 и уравнение (2) примет вид
41
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Собрать схему установки (рис.1). Установить значение индуктивности L = 200 мкГн, значение емкости С = 0,008 ÷ 0,012
мкФ, значение сопротивления R = 30 ÷ 90 Ом.
Внимание! Конкретные значения емкости и сопротивления
задает преподаватель.
2. Включить генератор и вольтметр в сеть.
3. Изменяя частоту генератора f исследовать зависимость напряжения на активном сопротивлении R от частоты генератора U
R
= U
R
(f).
Произвести измерения в интервале частот f от 20 кГц до 200
кГц через каждые 5 ÷ 10 кГц.
Повторить измерения при другом значении сопротивления R.
Результаты измерений записать в таблицу № 1.
Таблица № 1
f, кГц
20 30 40
…
190 200
U
R1
, В
U
R2
, В
4. Построить график зависимости U
R
= U
R
(f) для двух значений R.
5. Определить значение добротности по формуле
f
f
Q
o
Для этого определить по графику максимальное значение напряжения на сопротивлении U
max и соответствующую ему резонансную частоту f
o
. Вычислить U
1
= 0,7U
max
, провести через
U
1
горизонтальную линию. Точки пересечения этой линии с графиком определяют частоты
f
1
и
f
2
Ширина полосы
2 1
2
f
f
f
(см. рис.2).
42 6. Сравнить полученное значение добротности и резонансной частоты с теоретическими значениями, вычисленными по формулам
LC
f
T
2 1
o,
,
C
L
R
Q
T
1
Результаты расчетов записать в таблицу № 2.
Таблица № 2
L
мкГн
С
мкФ
R
Ом
f
o
кГц
f
o,Т
кГц
Q
Q
T
7. Сделать вывод.
51
2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Заставим материальную точку участвовать в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y, тогда она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения частот, так и от разности фаз обоих колебаний.
1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения колебаний имеют вид
t
b
y
t
a
x
cos cos
, (1) где:
a
и
b
– амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;
– разность фаз складываемых колебаний (Δ
=
).
Система (1) представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.
Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на соответствующую ему амплитуду и получим
t
b
y
t
a
x
cos cos
Используя тригонометрическое тождество
sin sin cos cos cos
, получим
sin sin cos cos cos
t
t
t
b
y
Затем подставим
a
x
t
cos
,
2 2
2 1
cos
1
sin
a
x
t
t
и получим
50
t – время.
1 2 3 4 5 6 7