Файл: Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.pdf

82


dt
dU
C
dt
CU
d
dt
dq
i
C
C



Тогда из уравнения (1)



C
C
U
dt
dU
RC
,
0 1



)
C
C
U
(
RC
dt
dU

Введем новую переменную



C
U
U
, при этом
C
dU
dU 
, тогда
0


RC
U
dt
dU
Мы получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его, применив метод разделения переменных
RC
dt
U
dU


, проинтегрируем




t
U
RC
dt
U
dU
,
A
ln
RC
t
U
ln



,
RC
t
Ae
U


Постоянная интегрирования
А
зависит от начального условия. Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента замыкания цепи. Тогда начальное условие имеет вид
0

t
,
0

C
U
,



U
Это дает



A
,
RC
t
e
U




11
Таблица № 3 1
a
м


1
T
с
1
T

%
2
a
м


2
T
с
2
T

%
g
м/с
2
g

%
g

м/с
2 8. Сравнить полученное значение
g
с табличным значением ускорения свободного падения для средних широт
2 0
81
,
9
м/с
g 
Для этого найти
|
|
0 0
g
g
g



и сравнить
0
g

с
g

из таблицы № 3.
9. Сделать вывод. Указать источники погрешности.

12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 72Ф
Определение периода колебаний физического маятника
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определить зависимость периода физического маятника от его приведенной длины.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Физический маятник, линейка, секундомер.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Нарисовать и пояснить схему лабораторной установки (рис.
1).
2. Вывести расчетные формулы для определения приведенной длины физического маятника (1) и для периода физического маятника (2).
3. Рассказать порядок выполнения и обработки результатов измерений в лабораторной работе. Каковы источники погрешности при измерении периода колебаний?
4. Какой маятник называется физическим, математическим?
5. Какие колебания называются гармоническими? При каком условии маятник совершает гармонические колебания?
6. Вывод дифференциального уравнения гармонических колебаний маятника (см. Приложение I).
7. Написать решение дифференциального уравнения гармонических колебаний маятника, т.е. написать уравнение гармонических колебаний.
8. Дайте определения амплитуды, периода, частоты, фазы и начальной фазы колебаний.
9. Дайте определение приведенной длины физического маятника.
10. Теорема Штейнера.
11. Запишите формулы для периодов колебаний физического и математического маятников.
81 2. Релаксационные_колебания'>Релаксационные колебания
В колебательном контуре, содержащем индуктивность и емкость, есть два накопителя энергии. При колебаниях энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и обратно.
Встречаются, однако, колебательные системы, содержащие всего один накопитель энергии. Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, содержащую конденсатор и сопротивление.
Разряд конденсатора через сопротивление представляет собой апериодический процесс. Разряду можно, однако, придать периодический характер, возобновляя разряд конденсатора через постоянные промежутки времени, после его заряда с помощью ключа К (рис.5).
Релаксационные колебания
–это совокупность двух апериодических процессов – процесса заряда и разряда конденсатора.
1) Рассмотрим процесс заряда конденсатора (рис.1).
Обозначим ЭДС источника

, сопротивление цепи
R
(включая и внутреннее сопротивление источника).
Запишем второе правило
Кирхгофа



C
U
iR
, (1) где:
i
– мгновенное значение силы тока
dt
dq
i 
,
U
C
– мгновенное значение напряжения на конденсаторе
C
q
U
C

,
q = CU
C
– заряд конденсатора.
Из написанных трех равенств мы можем исключить две из трех переменных величин
q, i, U
C
Исключим q и i, оставим U
C

80
индуктивности
U
L
достигают максимума при различных частотах, соответственно
2 2
0 2





p
,
0

 
p
,
2 2
0 2
0 2






p
Если затухание мало

0
>>
,
то все эти частоты практически совпадают и можно считать что
0

 
p
13
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
В данной работе физический маятник представляет собой стальной стержень
(рис.
1).
На стержне просверлены отверстиями на расстоянии 10 см друг от друга.
Стержень подвешивают на штырь О.
Выбирая отверстие на стержне, можно регулировать расстояние от точки подвеса стержня О до центра масс стержня С, например, на рис. 1 расстояние ОС равно 40 см. Центр масс
С однородного стержня находится посередине стержня.
Если стержень отклонить от положения равновесия на угол 3 0
 5 0
, то он будет совершать колебания близкие к гармоническим. Время колебаний измеряется секундомером
(секундомер выдает лаборант).
ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ
Период колебаний физического или математического маятника в общем случае зависит от амплитуды колебаний маятника. Но если угол отклонения маятника φ < 5
o
, то с хорошей точностью можно пренебречь зависимостью периода от амплитуды и приближенно считать, что маятник совершает гармонические колебания.
Период колебаний физического маятника (см. Приложение I)
g
L
T

2

, где L – приведенная длина физического маятника.

14
Приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, имеющего такой же период колебаний как у данного физического маятника
Приведенная длина физического маятника определяется формулой
md
J
L 
, где: J – момент инерции маятника относительно точки подвеса
О;
m – масса маятника;
d – расстояние от точки подвеса О до центра масс маятника
С.
Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции J
0
тела
относительно оси, проведенной через центр масс тела
параллельно данной оси, и произведения массы m тела на
квадрат расстояния d между этими осями:
2 0
md
J
J


В данной лабораторной работе момент инерции стержня относительно оси качания О вычисляется по теореме Штейнера.
Для однородного стержня момент инерции относительно центра масс стержня (совпадает с центром стержня)
2 0
12 1
ml
J 
, где l – длина стержня, m – масса стержня.
Таким образом
12
)
12
(
12 1
2 2
2 2
2 0
d
l
m
md
ml
md
J
J






Приведенная длина физического маятника в данной лабораторной работе определяется по формуле:
d
d
l
md
d
l
m
md
J
L
12 12 12
)
12
(
2 2
2 2





(1)
Тогда период колебаний физического маятника в данной лабораторной работе определяется по формуле:
79
m
m
C
m
Cm
Q
C
R
X
I
U






0 1
. (16)
Из (15) и (16) видно, что при
 = 
0
, амплитуда напряжения на конденсаторе и индуктивности в
Q
раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это свойство последовательного
RLC
контура используется для выделения радиосигнала определенной частоты
0



из спектра радиочастот при перестройке радиоприемника.
На практике
RLC
контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в
RLC
контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле
C
L
R
Q
1

Реальная величина добротности может быть оценена как
f
f
Q




o o


, где
f
– ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от максимального значения (рис.4).
Напряжения на конденсаторе
U
C
,
на активном сопротивлении
U
R
и на катушке

78
Если
 = 
0
, то
а) из (10) следует, что
 = 0
, т.е. сдвиг фазы между током
I
и внешней ЭДС при резонансе равен нулю;
б) из (12) следует, что сдвиг фазы между током
I
и напряжением на активном сопротивление
U
R
равен нулю; в) из (13) следует, что напряжение на конденсаторе
U
С
отстает по фазе от тока
I на
/2
;
г) из (14) следует, что напряжение на катушке индуктивности
U
L
опережает по фазе ток
I
на
/2
;
При
 = 
0
возникает резонанс напряжений. При этом
U
L
= –U
C
,
т.е. напряжение на емкости и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. Напряжение на реактивных сопротивлениях точно компенсируют друг друга и, следовательно, напряжение на активном сопротивлении равно
ЭДС:
U
R
=
.
При резонансе
 = 
0
и период колебаний
LC
T



2 2
0 0


Учитывая, что коэффициент затухания
L
R
2


, получим выражения для добротности при резонансе
Т = Т
0
C
L
R
LC
R
L
T
Q
1 2
2 0










, с другой стороны
R
C
R
L
R
L
T
Q
0 0
0 0
1 2
2













Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе можно выразить через добротность контура
m
m
L
m
Lm
Q
L
R
X
I
U






0
, (15)
15
dg
d
l
T
12 12 2
2 2



(2)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подвешивают маятник на штырь первым отверстием. Это значит что расстояние ОС = d
1
= 40 см.
Отклоняют маятник на малый угол около 3 0
 5 0
и отпускают.
При помощи секундомера измеряют время t
i
(i = 1, 2, 3) для
N=30 полных колебаний. Измерения повторяют n = 3 раза.
Вычисляют среднее значение времени
n
t
t
n
i
i




1
Период определяют по формуле
N
t
T
изм



2. Подвешивают маятник на штырь вторым, третьим и четвертым отверстиями по очереди и повторяют измерения п.1.
При этом d
2
= 30 см, d
3
= 20 см, d
4
= 10 см.
Длина стержня l =1 м.
Данные измерений записать в таблицу № 1.
Таблица № 1
d
м
<t>
с
T
изм
c
L
м
T
расч
с
0,4 0,3 0,2 0,1 3. Вычисляют приведенные длины физического маятника для всех d

16
d
d
l
L
12 12 2
2


4. Вычисляют периоды колебаний физического маятника для всех значений приведенной длины физического маятника
g
L
T
расч

2

5. Построить графики периода измеренного
)
(L
f
T
изм

и расчетного
)
(L
f
T
расч

в зависимости от приведенной длины L.
6. Сравнить измеренные и расчетные значения периодов колебаний.
Сделать вывод о характере зависимости периода колебаний физического маятника от приведенной длины.
77
Очевидно, что максимальное значение сила тока достигает при
C
L


1

,
0 1




LC
Максимальное значение силы тока при
 = 
0
равно
R
I
m
m


Напряжение на активном сопротивлении
R
найдем из закона
Ома
)
cos(





t
R
I
iR
U
m
R
. (12)
Разделив выражение для заряда (4) на емкость конденсатора
С
, получим напряжение на конденсаторе












2
cos
)
(
cos





t
U
t
C
A
C
q
U
Cm
C
,
(13) где
C
I
C
A
U
m
Cm



– амплитуда напряжения на конденсаторе.
Напряжение на катушке индуктивности
i
L
U
C
L





,














2
cos
)
(
sin






t
U
t
I
L
i
L
U
Lm
m
L
,
(14) где
m
Lm
LI
U


– амплитуда напряжения на катушке индуктивности.
Таким образом, напряжения на катушке индуктивности (14) и на конденсаторе (13) зависят от частоты внешней ЭДС.

76
Если
 > 
0
, тогда
 > 0
. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол

Если
 = 
0
(резонансная частота), то
 = 0
, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.