Файл: Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.pdf

Вывод. При малых углах отклонения маятника (φ < 5
o
), можно считать приближенно, что маятник совершает гармонические колебания.
Период колебаний физического маятника
mgd
J
T



2 2
0


(7)
Для математического маятника формулу циклической частоты и периода можно получить из (4) и (7), если рассматривать математический маятник как частный случай
физического маятника, у которого вся масса сосредоточена в центре масс С на расстоянии d = l от точки подвеса (момент инерции материальной точки J = ml
2
). Тогда из (4) и (7) следует
l
g
ml
mgl
J
mgd



2 0

(8)
g
l
T



2 2
0


(9)
Из сопоставления формул (7) и (9) получается, что математический маятник с длиной
md
J
L 
будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину
L называют приведенной длиной физического маятника.
Приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, имеющего такой же период колебаний как у данного физического маятника
md
J
L 
. (10)
43
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14
Изучение релаксационных колебаний
в схеме с неоновой лампой
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование характеристик релаксационных колебаний.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Макет, включающий в себя: неоновую лампу, набор сопротивлений, набор емкостей, потенциометр, электростатический вольтметр, миллиамперметр. Осциллограф, звуковой генератор.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие колебания называются релаксационными?
2. Получите дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе при его зарядке.
3. Выведите формулу
)
(t
f
U 
на конденсаторе при его зарядке.
4. Получите дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе при его разрядке.
5. Выведите формулу
)
(t
f
U 
на конденсаторе при его разрядке.
6. Что показывает постоянная времени?
7. Объясните устройство и принцип действия неоновой лампы.
8. Проанализируйте вольтамперную характеристику неоновой лампы.
9. Как вычислить сопротивление неоновой лампы, когда она горит?
10. Объясните принцип действия генератора релаксационных колебаний.
11. Дайте определение периода релаксационных колебаний.
Выведите формулу периода релаксационных колебаний.

44
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Упражнение 1. Снять вольт – амперную характеристику.
Определить потенциалы зажигания и гашения неоновой лампы.
1. Включить в сеть макет, схема которого представлена на рис. 1.
2. Движок потенциометра поставить в положение, при котором в цепь подавалось бы минимальное напряжение, и включить выпрямитель в сеть.
3. При помощи потенциометра постепенно увеличивать напряжение, подаваемое на генератор. Определить потенциалы зажигания
з
U
и гашения
г
U
4. Выполнить 6 – 8 измерений напряжения и тока на лампе при увеличении напряжения и столько же при уменьшении напряжения до напряжения гашения.
5. По полученным результатам на одной координатной плоскости построить графики
 
U
f
I 
при увеличении и при уменьшении напряжения.
6. Построить вольтамперную характеристику.
7. По формуле:
3 3
J
U
U
R
г


вычислить внутреннее сопротивление лампы.
49
если угол φ < 5
o и выражен в радианах, то погрешность такой замены Δ < 10
–4
При малых углах отклонения момент силы примет вид

mgd
M
z


. (2)
Для вывода закона движения маятника используем основной закон динамики вращательного движения
M
J




, (3) где J – момент инерции маятника относительно оси OZ,






– угловое ускорение.
Cпроектируем (см. рис.1) уравнение (3) на ось OZ параллельную оси вращения
z
z
M
J


, где




z
, и подставим M
z
из (2), тогда


mgd
J



Поделив на J, получим
0





J
mgd
Введем обозначение для циклической частоты колебаний ω
0
J
mgd

0

. (4)
Получили дифференциальное уравнение гармонических
колебаний
0 2
0






. (5)
Решением дифференциальное уравнение гармонических колебаний является уравнение гармонических колебаний.


0 0
cos





t
A
,
(6) где:

– угол отклонения маятника,
А – амплитуда колебаний ,

= (

0
t +

0
) – фаза колебаний,

0
– начальная фаза, т.е. значение фазы в начальный момент времени t = 0,

0
– циклическая частота колебаний,

48
Вывод дифференциального уравнения
гармонических колебаний маятника
(физического и математического)
На рис.1 показано сечение физического маятника плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и не проходящей через центр масс С. Расстояние
ОС равно d.
При отклонении маятника от положения равновесия на угол

, под действием силы тяжести
g
m

возникает вращающий момент сил
M

, который стремится вернуть маятник в положение равновесия. Момента сил равен
g
m
r
M





, (1) где:

 OC
r

– радиус-вектор, проведенный из точки подвеса маятника О в центр масс С,
т – масса маятника,
g – ускорение свободного падения.
Если уравнение (1) спроектировать на ось OZ параллельную оси вращения, то получится

sin
mgd
M
z


, где знак минус показывает, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия.
При малом угле φ с хорошей точностью значение синуса можно заменить на значение угла, при условии, что угол выражен в радианах

 
sin
Например, сравним sin 5
o
 0,087156 и
087266
,
0 5
180





Видно, что разница составляет Δ = 0,00011. Таким образом,
45
Упражнение 2. Изучить зависимость напряжения на конденсаторе генератора релаксационных колебаний от времени.
1. Изучить схему генератора релаксационных колебаний
(рис. 2)
2. Потенциометром установить напряжение
3 0
U
U 
(в пределах вольтметра). При этом возникнут релаксационные колебания, период которых можно менять, меняя
R
,
C
,
0
U
3. Включить наименьшие величины
R
,
C
4. Используя соответствующие ручки осциллографа, добиться устойчивого, резкого изображения кривой
 
t
f
U 
таких размеров, чтобы она по высоте занимала примерно
3 2
5. Пользуясь координатной сеткой экрана осциллографа, начертить кривую
 
t
f
U 
Упражнение 3. Определить зависимость периода релаксационных колебаний от сопротивления, емкости и подаваемого напряжения.
1.
Установить постоянные значения емкости
const
C 
(возможно большее значение) и напряжения
const
U 
0

46


3 0
U
U 
. Измерить период релаксационных колебаний при различных значениях сопротивления
R
. Построить график зависимости
 
R
f
T 
2.
Вычислить период колебаний по формуле:
3 0
0
ln
U
U
U
U
RC
T
г



(1) при различных сопротивлениях
R
. Сравнить вычисленные значения периода с измеренными.
3.
Установить постоянное значение сопротивления
const
R 
(возможно большее значение) и напряжения
const
U 
0


3 0
U
U 
4.
Измерить период релаксационных колебаний при различных значениях емкости
C
. Построить график функции
 
C
f
T 
5.
Вычислить период колебаний по формуле (1) при различных
C
. Сравнить вычисленные значения периода с измеренными.
6.
Установить постоянное значение сопротивления
const
R 
и емкости
const
C 
7.
Измерить периоды колебаний при различных значениях напряжений
U
. Построить график зависимости
 
U
f
T 
8.
Вычислить период колебаний по формуле (1) при различных
0
U
. Сравнить вычисленные значения периода с измеренными.
47
Приложение I
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Механические гармонические колебания
Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебание под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести.
Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону синуса или косинуса.


0 0
cos





t
A
Пусть за время t произошло N полных колебаний.
Период – это время одного полного колебания
N
t
T 
Частота – это число полных колебаний за единицу времени
t
N


Период и частота связаны между собой
T
1


Амплитуда колебаний "А" – это максимальное значение физической величины, совершающей колебания.
Фаза колебаний – это выражение, стоящее под знаком синуса или косинуса. Значение фазы однозначно определяет значение физической величины, совершающей колебания

= (

0
t +

0
).
Циклическая частота – равна скорости изменения фазы за единицу времени



2 2
0


T