П.З. № 2.
Спектр периодического и непериодического сигналов


Задача 1
СРС-2


На рисунке приведена временная диаграмма периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов.
1. Построить временную диаграмму сигнала с указанием масштаба по осям.
2. Написать математическую модель сигнала.
3. Разложить сигнал в ряд Фурье: рассчитать значения постоянной составляющей, амплитуд и начальных фаз 10 первых гармонических составляющих (гармоник).
4. Построить спектральную диаграмму сигнала.
5. Написать математическую модель сигнала с помощью ряда Фурье.
6. По математической модели сигнала с помощью ряда Фурье, для двух случаев: 5-и и 10-и гармонических составляющих, рассчитать значение сигнала в момент времени t0: u(t0)расчетное.
7. Определить относительные погрешности от реального значения сигнала в этот момент времени u(t0)реальное, найденного по временной диаграмме сигнала.


8. Сделать выводы:
- сравнить значения погрешностей в 2-х случаях и пояснить их;
- назвать количество составляющих в одном лепестке огибающей спектра, значения частот нуля огибающей спектра и пояснить их.


U = 10 В; t0 = 0,5∙ мВ;  = 0,25 мс; Т = 1 мс.


0  Т Т+ 2Т 2Т+ t, мс


u(t), В


U


∙ ∙ ∙


∙ ∙ ∙


0 0,25 1 1,25 2 2,25 t, мс


u(t), В


10


∙ ∙ ∙


1.


2.


Временная диаграмма сигнала


Математическая модель сигнала


10, 0+10-3·k  t  0,25·10-3 +10-3·k; k=0,±1, ±2 …
u(t)=
0, в другие интервалы времени


∙ ∙ ∙


Решение задачи 1


3.


U0 = U/S; Uk0=2U/S;


k/S рад, при Sin(k/S)0
k=
k/S+ рад, при Sin(k/S)<0


S=T/;


Uk=2U/(k)·Sin(k/S);


1=2/Т;


U1 = 20/·Sin(/4) = 4,5 В. 1= /S = /4 рад.


U2 = 20/(2)·Sin(2/4) = 3,18 В. 2= 2/S = /2 рад.


U3 = 20/(3)·Sin(3/4) = 1,5 В. 3= 3/S = 3/4 рад.


U0 = 10/4 = 2,5 В. Uk0=20/4 = 5 В.


U4 = 20/(4)·Sin(4/4) = 0 В.


U5 = 20/(5)·Sin(5/4) = 0,9 В. 5= 5/S+ = 5/4+= 9/4= /4 рад.


U6 = 20/(6)·Sin(6

---

/4) = 1,06 В. 6= 6/S+ = 6/4+= 10/4= /2 рад.


U7 = 20/(7)·Sin(7/4) = 0,64 В. 7= 7/S+ = 7/4+= 11/4= 3/4 рад.


U8 = 20/(8)·Sin(8/4) = 0 В.


U9 = 20/(9)·Sin(9/4) = 0,5 В. 9= 9/S = 9/4= /4 рад.


U10=20/(10)·Sin(10/4)=0,64 В. 10= 10/S = 10/4= /2 рад.


S =1/0,25= 4.


1 = 2/(1·10-3) = 2·103 рад/с = 2 крад/с.


Спектральная диаграмма сигнала


5


U, В; , рад


4,5;/4


2,5


3,18;/2





1,5;3/4


0,9;/4


1,06;/2


0,64;3/4





0,5;/4


0,64;/2


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f, кГц


4.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 , крад/с


5.


u(t) = 2,5 + 20/(k)·Sin(k/4)·Cos(2·103·k·t - k), В


u(t) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·t - /4) + 3,18·Cos(4·103·t - /2) +
+ 1,5·Cos(6·103·t - 3/4) + 0,9·Cos(10·103·t - /4) +
+1,06·Cos(12·103·t - /2) + 0,64·Cos(14·103·t - 3/4) +
+ 0,5·Cos(18·103·t - /4) + 0,64·Cos(20·103·t - /2), В.


u(t0)расчетное = u(0,125∙10-3)расчетное
u(0,125∙10-3)расчетное(0-5) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·0,125∙10-3-/4) +
+ 3,18·Cos(4·103·0,125∙10-3-/2) + 1,5·Cos(6·103·0,125∙10-3-3/4) +
+ 0,9·Cos(10·103·0,125∙10-3-/4) = 10,78 В.


6.


t0 = 0,5∙ = 0,5∙0,25 = 0,125 мс = 0,125∙10-3 с.


u(0,125∙10-3)расчетное(0-10) = u(0,125∙10-3)расчетное(0-5)+u(0,125∙10-3)расчетное(6-10) =
= 10,78 + 1,06·Cos(12·103·0,125∙10-3-/2) + 0,64·Cos(14·103·0,125∙10-3-3/4) +
+ 0,5·Cos(18·103·0,125∙10-3-/4) + 0,64·Cos(20·103·0,125∙10-3-/2) =
= 10,78 - 0,56 = 10,22 В.


абс(0-5) = |u(0,125 мс)расчетное(0-5) - u(0,125 мс)реальное| = |10,78 - 10|=0,78 В.
отн(0-5) = абс(0-5)/U = 0,78/10 = 0,078; (7,8 %).


7.


По временной диаграмме сигнала:
u(t0)реальное = u(0,125∙10-3)реальное = u(0,125 мс)реальное = 10 В.


абс(0-10) = |u(0,125 мс)расчетное(0-10) - u(0,125 мс)реальное| = |10,22 - 10| = 0,22 В.
отн(0-10) = абс(0-10)/U = 0,22/10 = 0,022; (2,2 %).


u(t0)расчетное = u(0,6∙10-3)расчетное
u(0,6∙10-3)расчетное(0-5) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·0,6∙10-3-/4) +
+ 3,18·Cos(4·103·0,6∙10-3-/2) + 1,5·Cos(6·103·0,6∙10-3-3/4) +
+ 0,9·Cos(10·103·0,6∙10-3-/4) = 0,38 В.


6. Проведем такие же расчеты для момента времени:
t0 = 0,6∙Т = 0,6∙1 = 0,6 мс = 0,6∙10-3 с.


u(0,6∙10-3)расчетное(0-10) = u(0,6∙10-3)расчетное(0-5)+u(0,6∙10-3)расчетное(6-10) =
= 0,38 + 1,06·Cos(12·103·0,6∙10-3-/2) + 0,64·Cos(14·103·0,6∙10-3-3/4) +
+ 0,5·Cos(18·103·0,6∙10-3-/4) + 0,64·Cos(20·103·0,6∙10-3-/2) =
= 0,38 - 0,408 = - 0,028 В.


абс(0-5) = |u(0,6 мс)расчетное(0-5) - u(0,6 мс)реальное| = |0,38 - 0|=0,38 В.
отн(0-5) = абс(0-5)/U = 0,38/10 = 0,038; (3,8 %).


7.


По временной диаграмме сигнала:
u(t0)реальное = u(0,6∙10-3)реальное = u(0,6 мс)реальное = 0 В.


абс(0-10) = |u(0,6 мс)расчетное(0-10) - u(0,6 мс)реальное| = |-0,028 - 0| = 0,028 В.

---

отн(0-10) = абс(0-10)/U = 0,028/10 = 0,0028; (0,28 %).


8.


Выводы:
1. Погрешность расчета значения сигнала по математической модели с помощью ряда Фурье, при учете 10 составляющих спектра сигнала (2,2 % и 0,28 %) меньше, чем при 5 составляющих (7,8 % и 3,8 %). Чем больше составляющих ряда Фурье будет учтено, тем меньше будет погрешность. При стремлении числа составляющих к бесконечности погрешность будет стремиться к нулю.
2. Число составляющих в одном лепестке огибающей спектра равно скважности последовательности (S = 4; 4 составляющих).
3. Значения частот нуля огибающей спектра соответствуют частотам составляющих с номерами кратными скважности последовательности:
4-я (8 рад/с), 8-я (16 рад/с), ... т.е. в спектре сигнала отсутствуют составляющие с номерами кратными скважности последовательности (4-я, 8-я, …).


U=1 В; S=2.


Частота следования импульсов периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ) 25 кГц, скважность равна 2, амплитуда постоянной составляющей в спектре ПППВИ равна 1 В.
Рассчитайте ограниченную ширину спектра ПППВИ и амплитуду третьей гармоники.


Задача 2


f1 = 25 кГц; S =2; U0 = 1 В. Δf = ? U3 =?


Решение задачи 2


Uk = 2U/(k)·Sin(k/S)


U3 = 4/(3)·Sin(3/2) = 0,42 В.


U0 = U/S; U = U0·S = 1·2 = 2 В.


1).


Δf ≈ 1/τ S = Т/τ; τ = Т/S; f1 = 1/Т; Т = 1/f1
Т = 1/(25·103) = 40·10-6 с = 40 мкс; τ = 40/2 = 20 мкс.
Δf ≈ 1/(20·10-6) = 50000 Гц = 50 кГц.


Δf ≈ S·f1


Δf ≈ 2·25 = 50 кГц


2).


Задача 3


Определите ограниченную ширину спектра периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ), если период следования импульсов равен 40 мкс, скважность равна 4, амплитуда второй гармоники в спектре ПППВИ равна 5 В.
Рассчитайте спектральный состав ПППВИ в пределах выбранной ширины спектра. Постройте временную и спектральную диаграммы.


Т = 40 мкс; S = 4; U2 = 5 В; Δf = ?


Uk = 2U/(k)·Sin(k/S)


U2 = 2U/(2)·Sin(2/4) = U/·Sin(/2) = U/; U = U2·π.


U = 5·π =15,71 В.


U0 = U/S; U0 = 15,7/4 = 3,93 В;


Uk0=2U/S; Uk0=2·15,71/4 = 7,86 В.


Δf ≈ 1/(10·10-6) = 100000 Гц = 100 кГц.


Δf ≈ 4·25 = 100 кГц


Δf ≈ 1/τ


S = Т/τ; τ = Т/S = 40/4 = 10 мкс;


1)


2)


Δf ≈ S·f1


f1 = 1/Т = 1/(40·10-6) = 25000 Гц = 25 кГц.


Решение задачи 3


U1 = 2·15,71/·Sin(/4) = 7,07 В.


U2 = 2·15,71/(2)·Sin(2/4) = 5 В. – это проверка заданного значения


U3 = 2·15,71/(3)·Sin(3/4) = 2,36 В. 3 = 3/4 рад


U4 = 2·15,71/(4)·Sin(4/4) = 2·15,71/(4)·Sin() = 0 В.


Uk = 2U/(k)·Sin(k/S)

---

k/S рад, при Sin(k/S)0
k=
k/S+ рад, при Sin(k/S)<0


1 = /4 рад


0 10 40 50 80 90 t, мкс


u(t), В


15,71


∙ ∙ ∙


∙ ∙ ∙


Временная диаграмма сигнала


Спектральная диаграмма сигнала


7,86


U, В; , рад


7,07;/4


3,93


5;/2





2,36;3/4


0 25 50 75 100 f, кГц


2 = 2/4 = /2 рад


На рисунке приведен спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ).
Определите длительность, частоту следования импульсов, постоянную составляющую в спектре ПППВИ, если амплитуда импульсов равна 1,6 В, период следования 10 мс.


Задача 4


U = 1,6 В; Т = 10 мс.


τ = ? f1 = ? U0 = ?


S = 4


S = Т/τ; τ = Т/S = 10/4 = 2,5 мс.


f1 = 1/Т = 1/(10·10-3) = 100 Гц;


U0 = U/S = 1,6/4 = 0,4 В.


Решение задачи 4


Рассчитайте спектральной состав периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ) в пределах выбранной ширины спектра, если амплитуда импульсов равна 3 В, ширина спектра ПППВИ равна 100 кГц, период следования импульсов - 50 мкс. По результатам расчета постройте спектральную диаграмму амплитуд.


Задача 5


U = 3 В; Δf = 100 кГц; Т = 50 мкс.


f1 = 1/Т = 1/(50·10-6) = 20000 Гц = 20 кГц.


U0 = U/S = 3/5 = 0,6 В.


Uk = 2U/(k)·Sin(k/S)


U1 = 2U/·Sin(/5) = 2·3/()·Sin(/5) = 1,12 В.


U2 = 2U/(2)·Sin(2/5) = 3/·Sin(2/5) = 0,91 В.


U3 = 2U/(3)·Sin(3/5) = 2·3/(3)·Sin(3/5) = 0,61 В.


U4 = 2U/(4)·Sin(4/5) = 2·3/(4)·Sin(4/5) = 0,28 В.


U5 = 2U/(5)·Sin(5/5) = 2·3/(5)·Sin() = 0 В.


Nсоставл. = Δf/f1 Nсоставл. = 100/20 = 5; S = 5.


Решение задачи 5


Спектральная диаграмма амплитуд сигнала


1,2


U, В; , рад


1,12


0,6


0.91





0,61


0 20 40 60 80 100 f, кГц


0,28


Задача 6


Параметры периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов: амплитуда импульсов 4 мB; длительность импульсов 2 мс; скважность последовательности S=4.
Написать математическую модель сигнала, нарисовать его временную диаграмму. Нарисовать вид спектральной диаграммы сигнала с указанием его структуры, значения постоянной составляющей, значения огибающей спектра на нулевой частоте, частот составляющих и частот нуля огибающей спектра.

---

U = 4 мВ; τ = 2 мс; S = 4.


4·10-3, 0+8·10-3·k  t  2·10-3+8·10-3·k; k=0,±1, ±2 …
u(t) =
0, в другие интервалы времени


Математическая модель сигнала


S=T/; T = S· = 4·2 = 8 мс.


Решение задачи 6


Временная диаграмма сигнала


0 2 8 10 16 18 t, мс


u(t), мВ


4


∙ ∙ ∙


∙ ∙ ∙


1 = 2/Т = 2/(8·10-3) = 250 рад/с.


U0 = U/S = 4/4 = 1 мВ.


Uk0 = 2U/S = 2·4/4 = 2 мВ.


f1 = 1/(2) = 125 Гц.


Спектральная диаграмма сигнала


2


U, мВ; , рад


1








0 125 375 625 875 1125 f, Гц


U1;1


U3;3


U5;5


U2;2


U6;6


U7;7


U9;9


250 500 750 1000


Задача 7


Напишите математическую модель периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов, изображенной на рисунке.
Нарисуйте вид спектральной диаграммы сигнала с указанием его структуры, значения постоянной составляющей, значения огибающей спектра на нулевой частоте, частот составляющих и частот нуля огибающей спектра.


u(t), мВ
10
 
-50 -30 -10 10 30 50 t, мкс


U = 10 мВ; τ = 20 мкс; Т = 40 мкс; S = Т/τ = 40/20 = 2.


1 = 2/Т = 2/(40·10-6) = 50·103 рад/с = 50 крад/с.


f1 = 1/(2) = 25 кГц.


U0 = U/S = 10/2 = 5 мВ.


Uk0 = 2U/S = 2·10/2 = 10 мВ.


Решение задачи 7


Математическая модель сигнала


10-2, - 10-5+4·10-5·k  t  10-5+4·10-5·k; k=0,±1, ±2 …
u(t) =
0, в другие интервалы времени


Спектральная диаграмма сигнала


10


U, мВ; , рад


5








0 25 50 75 100 125 150 f, кГц


U1; 1


U3; 3


U5; 5


Рассчитать спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью 5 мкс и амплитудой 2 В на частотах 50 и 100 кГц.
Определить ширину его ограниченного спектра и нарисовать вид его спектральной диаграммы с указанием частот нуля спектральной плотности и значения спектральной плотности на нулевой частоте.


Задача 8


τ = 5 мкс; U = 2 В; f = 50 кГц; 100 кГц.


S() = 2U/Sin(/2).


 = 2π·f; 1 = 2π·50 = 100π крад/с; 2 = 2π·100 = 200π крад/с.


S1() = 2·2/(100π·103)Sin(100π·103·5·10-6 /2) = 9·10-6 В·с/рад = 9 мкВ·с/рад


S2() = 2·2/(200π·103)Sin(200π·103·5·10-6/2) = 6,37·10-6 В·с/рад = 6,37 мкВ·с/рад


S() = 0 Sin(/2) = 0; /2 = π;  = 2π/;


Δ = 2π/ Δ = 2π/(5·10-6) = 400000·π рад/с = 400·π крад/с


Δf = 1/ Δf = 1/(5·10-6) = 200·103 Гц = 200 кГц.


Решение задачи 8


S(), мкВс/рад


10


0 400 800 1200 , крад/с


Спектральная диаграмма

---

Смотрите также файлы

• Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования санктпетербургский государственный университет телекоммуникаций им. Проф. М.pdf

• 1. Сеть, в которую входят пользователи одного района, города или региона, это вычислительная сеть.docx

• аза тілі пнінен 3тосан бойынша жиынты баалау тапсырмалары аламтор аламаты. Морфология азастандаы лттар достастыы. Морфология.docx

• Материалы для проведения промежуточной аттестации класс 9 Предмет История России. Всеобщая история.docx

• Л. Ж. Ахметова, С. Ж. Нурушева теректі ауданы, Ааты жюббм.docx