Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»Кафедра «Прикладная математика и системный анализ»Лабораторная работа №5 «Метод наименьших квадратов»Выполнил:студент гр. ИБС-21Проверил:доцент кафедры ПМиСАКоломоец А.А.Саратов, 2022Лабораторная работа №5.ЗаданиеПостроить приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости, заданной следующей таблицей.

x	4	10	15	21	29	36	51	68
y	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

Для сравнения качества приближения рассмотреть три способа приближения заданной функции:а) в виде прямой ;б) в виде степенной функции ;в) в виде квадратного трёхчлена .Основные теоретические положения

1. 
   Метод наименьших квадратов.
   

Пусть в результате измерений получена таблица некоторой зависимости f:Таблица 1.

x			. . .
f(x)			. . .

---

Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции: найти функцию заданного вида, (1)которая в точках , , …, принимает значения как можно более близкие к табличными значениям , , …, .Вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице 1 строится точечный график функции f, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (см. рис.1). По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции.Рис.1.Формулу (1) называют эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x. Пусть приближающая функция F в точках , , …, имеет значения: , , …, . (2)Требование близости табличных значений , , …, и значений (2) можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функции f из таблицы 1 и совокупность (2) как координаты двух точек n-мерного пространства. С учётом этого задача приближения функции может быть переформулирована следующим образом: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками M(

---

, , …, ) и ( , , …, ) было наименьшим. Воспользовавшись метрикой евклидова пространства, приходим к требованию, что величина (3)было наименьшей, что равносильно следующему: сумма квадратов (4)должна быть наименьшей.Итак, задача приближения функции f теперь формулируется следующим образом: для функции f, заданной таблицей 1, найти функцию F определённого вида так, чтобы сумма квадратов (4) была наименьшей.Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:1) ,2) ,3) 4) ,5) ,6) ,7) ,8) .Здесь a, b, c, m – параметры. Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трёхчлена (линейная и квадратная регрессии).Будем искать приближающую функцию в виде:. (5)Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f и F будет иметь вид:

---

Задача сводится к отысканию её минимума. Используем необходимое условие экстремума: (6) Решив систему (6), получим значения параметров a и b, а следовательно, и конкретный вид линейной функции (5). В случае нахождения приближающей функции в виде квадратного трёхчлена имеем: (7) Находим и приравниваем их к нулю:После преобразований получим: (8)Решение системы (8) даёт значения параметров a, b, c для приближающей функции (7).3. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций.Покажем, как нахождение приближающей функции с двумя параметрами F(x, a, b) в виде элементарных функций 1)-8) может быть сведено к нахождению параметров линейной функции.3.1. Будем искать приближающую функцию в виде: . (9)Учитывая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (9) при условии :. (10)Так как F является приближающей для f, функция будет приближающей для . Введём новую переменную ; тогда, как следует из (10), будет функцией от . Обозначим

---

(11)

Теперь (10) принимает вид: (12)

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

Для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо выполнить следующее:

1) по данной таблице 1 составить новую таблицу, прологарифмировав значения x и y в исходной таблице;

2) по новой таблице найти параметры A и B приближающей функции вида (12);

3) используя обозначения (11), найти значения параметров a и m, и подставить их в (9).

Замечание. Значение разностей (А)

называется отклонениями измеренных значений y от вычисленных по формуле

(Б)

Для найденной эмпирической функции (Б) в соответствие с исходной таблицей 1 можно найти сумму квадратов отклонения

(В)

Которая в соответствие с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров a, b, c) должна быть наименьшей.

Из двух разных приближений одной и той же табличной формулы, следуя принципу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (В) имеет наименьшее значение.

Результаты выполнения работы

1.














y



х


Рис.2.

2.

---

Смотрите также файлы

• ыса мерзімді саба жоспары Тексерілді.docx

• Основы моральнополитической готовности сотрудников к выполнению поставленных задач по предназначению.doc

• Жусан иісі (Сайын Мратбеков).docx

• Методические указания по выполнению практических и самостоятельных работ для бакалавров направления.docx

• Рефера т История древнего египта Содержание.docx