. В самом деле:

1. 
   если n=1, то
   
2. 
   если n=2, то  ; поэтому 
   
3. 
   если n>2, то
   

=

где   >1, т.к. 

Поэтому и здесь  . Докажем то, что рациональное число   однозначно представляется цепной дробью  , если  .

Пусть   с условием  ,  . Тогда  , так что  . Повторным сравнением целых частей получаем  , а следовательно   и так далее. Если  , то в продолжении указанного процесса получим также  . Если же  , например 

---

, то получим  , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия   между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

4. 
   Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь
   

1. 
   Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.
   

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь   разлагается в конечную непрерывную дробь.

 =( )(1)

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.

Для иррационального числа   указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.

Выражение   (где  ,  ) (2)

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через ( ), а числа   – ее элементами или неполными частными.

---

Отметим, что разложение   возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа  .

Пусть  . Выделим из   его целую часть.  =3, а дробную часть  –3, которая меньше 1, представим в виде  , где  .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:



С другой стороны, из формулы для   видно, что  =3+ . Поэтому  , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных,

---

начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь   записывается в виде  , а смешанная периодическая   в виде  .

Итак,   разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа   поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:



так что



Числа   называются остаточными числами порядка k разложения  . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа  .

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.



Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих

---

дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных   и совершенно не зависит от того, является ли   последним элементом или за ним следует еще элемент  . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

1. 
   , причем  ;
   
2. 
   , откуда следует несократимость подходящих дробей  ;
   
3. 
   .
   

Сравним теперь подходящую дробь   и кусок разложения   до остаточного числа  . Имеем

 

откуда видно, что вычисление   по   формально производится таким же образом, как вычисление   по   с тем лишь отличием, что в первом случае   заменяется на 

---

Смотрите также файлы

• Общая характеристика арбитражного процесса Понятие и задачи арбитражного процесса.docx

• Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов очной и заочной форм обучения по специальности 43. 03. 02 Туризм.docx

• Краткий обзор текущего состояния рынка пеллетов.rtf

• Цель функционирования психологической службы.docx

• Схема обследования детей с дизартрией.docx