, а во втором   заменяется на  . Поэтому на основании формулы   можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

. (5)

По этой причине мы пишем также  , хотя   не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения  .

Теорема: Действительное число   всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует



Но  ,  , так что 

1. 
   ( ) и ( ) имеют одинаковый знак, а это значит, что   находится между   и  ;
   
2. 
   , то есть   ближе к  , чем к  .
   

---

Теорема доказана.

Так как  , то  , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

1. 
    больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;
   
2. 
   подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального 
   

---

 указанные последовательности являются бесконечными), то есть



(в случае рационального    ).

Учитывая то, что при    , вследствие чего  , переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального   сегменты  ,  , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей  ,  , … и  ,  , … . Но так как   принадлежит всем сегментам последовательности, то   и совпадает с указанной точкой, так что  .

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей  , которая возникает при разложении иррационального  , сходится к  , колеблясь около него. Или: иррациональное действительное   равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

5. 
   Цепные дроби как вычислительный инструмент
   

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел  , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть   - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:



Где неполным частным последовательных делений   соответствуют остатки   с условием b> > >…> >0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система



Из которой последовательной заменой каждой из дробей   и т. д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби   в виде:





Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что   – целое число, а  , …,   - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:









Согласно последнему обозначению имеем



Числа  ,  , …,   называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа   имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было  .

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что  .

Д о к а з а т е л ь с т в о: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при  :



Так что представление можно удлинить:



Например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие  , можно утверждать, что целая часть цепной дроби   равна ее первому неполному частному  . В самом деле:

1. если n=1, то

2. если n=2, то  ; поэтому 

3. если n>2, то

=

,

Где   >1, т. к. 

Поэтому и здесь  . Докажем то, что рациональное число   однозначно представляется цепной дробью  , если  .

Пусть   с условием  ,  . Тогда  , так что  . Повторным сравнением целых частей получаем  , а следовательно   и так далее. Если  , то в продолжении указанного процесса получим также  . Если же  , например  , то получим  , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия   между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

З а м е ч а н и я

1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент  , например,  .

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример:  , а так как  , то  .

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5);  .

6.Использование цепных дробей при решении диофантовых уравнений
Можно найти НОД натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (a, b). Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a>b, то

a = bq0 + r1

b = r1q1 + r2

r1 = r2q2 + r3                                  (1)

. . . . . . . . . . . .

rn – 1 = rnqn

Затем r1, . . . , rn  - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел a и b  делит r1 и общий делитель b и r1 делит a, поэтому НОД (a,b) = НОД (b, r1) = НОД (r1, r2) = … = НОД (rn -1, rn)=  = НОД (rn, 0) = rn.

Утверждение доказано. Приведённый способ нахождения НОД носит название метода последовательного деления с остатком или алгоритма Евклида, поскольку впервые он был изложен в его «Началах».

Обратимся к системе (1). Из первого равенства, выразив остаток r1 через a и b, получим r1 = a – bq0. Продолжая этот процесс, мы можем выразить все остатки через a и b, получим r1 = a – bq0. Подставляя его во второе равенство, найдём r2 = b(1 + q0q1) – aq1. Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через a и b, в том числе и последний: rn = Aa + Bb. В результате нами доказано предложение: если d – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b, то найдутся такие целые числа A и B, что d = Aa + Bb. Заметим, что коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД (a,b) = 1, то Aa + Bb = 1. Как найти числа A и B, видно из алгоритма Евклида.

   Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид: ax + by = c        Возможны два случая: либо число c  делится на d = НОД(a,b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a1x = b1y = c1, коэффициенты которого  a1 = a/d и  b1 = b/d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число

ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c, которое на d  не делится.

   Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа х0 и у0, что ax0 + by0 = 1, откуда пара (сх0, су0) удовлетворяет уравнению (2). Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (х, у) целых чисел, которые можно найти по формулам

        х = сх0 + bt,                y = cy0 – at.                                        (3)

Здесь t – любое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах + by = c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.

Задача 2.

Найдём, например, целочисленные решения уравнения 2x + 5y = 17. Решение.

Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим  2 * 3 – 5 = 1. Значит, пара    сх0 = 3 * 17,   су0 = - 1 * 17  удовлетворяет уравнению  2х + 5у = 17. Поэтому  общее  решение  исходного  уравнения  таково:

x = 51 + 5t,  у = - 17 – 2t, где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t, для которых выполняются неравенства

⎧ 51 + 5t ≥ 0

⎨

⎩ - 17        - 2t ≥ 0

Отсюда найдём   – 51/5 ≤ t ≤ - 17/2. Этим неравенством удовлетворяют числа  - 10,  - 9. Соответствующие частные решения запишутся в виде пар: (1,3), (6, 1).

Задача 4.

Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

Решение.

Пусть х – число яиц. Так как х – 1 делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, х имеет вид 60у + 1. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах  уравнение 60у + 1 = 7z. С помощью алгоритма Евклида находим у0 = -2, z0 = - 17, откуда все целочисленные решения уравнения имеют вид у = -2 + 7t,  z = -17 + 60t, где t – любое целое число. Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.        [2, с. 75 – 78]

   Следующий метод связан  с непрерывными или цепными дробями.

Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь a/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b = q0 +  r1/b. Но r1/b = 1/b/r1, и на основании второго равенства той же системы имеем b/r1 = q1 + r2/r1. Значит, a/b=q0+1/(q1+r2/r1). Далее получим a/b=q0 + 1/(q1+1/(q2+r3/r2)). Продолжим этот процесс до тех пор. Пока не придём к знаменателю qn.

В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде:  a / b = q0 + 1 / (q1 + 1 / (…+ 1 / qn)). Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись [q0; q1, q2, …,qn].  

Задача 5.

Представить дробь 40/31 в виде цепной.

Решение.

40/31 = 1 + 9/31 = 1 + 1/3 /9 = 1 + 1/(3 + 4 / 9) = 1 + 1 / (3 + 1 / 9 / 4) = =1 + 1 / (3 + 1 / (2 +1 / 4)) = [1; 3, 2, 4]

Удобство применения цепных дробей заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине они эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения цепные дроби не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий.        [2, c. 79 – 81]
Заключение
Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Список использованной литературы
1. М. О. Авдеева. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях. — Владивосток : ИПМ ДВО РАН, 2000, с. 19.

2. М.О.Авдеева, В., А. Быковский. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина. — Препринт ДВО РАН №08, Дальнаука, Владивосток, 2002.

3. М. О. Авдеева. О статистиках неполных частных конечных цепных дробей. — Функц. анализ и его прил. т. 38, Я2 2, 2004, с. 1-11.

4. В. А. Быковский. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. ФПМ, t. И, №6, 2005, с. 15-26.

5. Галочкин А. П., Нестереико Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

6. А. А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М., Наука, 1983.

7. Р. О. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса. ДАН ССР, 1928, с. 375-380.

8. Р. О. Кузьмин. К метрической теории непрерывных дробей. — Ученые записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 15, 1948, с. 163-173.111

9. В.Н.Попов. Асимптотика суммы сумм элементов непрерывных дробей чисел вида а/р. — Аналитическая теория чисел и теория функций. 2, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 91, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1979, с. 81-93

10. А.В.Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго м.оментов для числа шагов в алгоритме Евклида. — Известия РАН, т. 72, №5, 2008, с. 86-216.

11. А.В.Устинов. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка. — Матем. заметки, т. 85, №1, 2009, с. 153-156.

12. А. В. Устинов. О статистических свойствах конечных цепных дробей. — Труды по теории чисел, Зап. научн. сем. ПОМИ, 322, ПОМИ, СПб., 2005, с. 186-211.

13. А. В. Устинов. О статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей. — Фунд. и прикл. математика, т. 11, 2005, с. 195-208.

14. А.В.Устинов. Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей. — Мат. сборник, т. 198, № 6, 2007, с. 139-158.

15. Ю. Ю. Финкелынтейн. Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби. — Успехи мат. наук, 1993, т. 48, Вып. 3, с. 205-206.

16. А. Я. Хинчин. Избранные труды по теории чисел. — М., МЦНМО, 2006.

17. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М., Наука, 1978.112

18. A. H. Xhhhhh. Metrische Kettenbruechproblem. — Compos. Math. 1935, Bd. 1, pp. 361-382

19. A. R. Xhhhhh. Zur metrischen Kettenbruechtheorie. — Compos. Math. 1936, Bd.3, №2, pp. 276-285

20. J.C.Alexander, D. B.Zagier. The entropy of certain infitely convolved Bernoulli measures. — J. London Math. Soc., v. 44, 1991, pp. 121-134.

21. A. Denjoy. Sur une fonction reele de Minkowski. — J. Math. Pures Appl. v. 17, 1938, pp. 105-151.

22. J. D. Dixon. The number of steps in the Euclidean algorithm. — J. Number Theory, v. 2, 1970, pp. 414-422.

23. D. Hensley. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. — J. of Number Theory, v. 49, 1994, pp. 142-182.

24. S. R. Finch. Mathematical constants.

Encyclopedia Math. Appl., 94, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

---

25. J. P. Graber, P. Kirschenhofer, R. F. Tichy. Combinatorial and arithmetical properties of linear numeration systems. — Combinatorica v. 22, №2, 2002, pp. 245-267.

26. G.H.Hardy, E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — Oxford University Press, Oxford, 1980.

27. H. Heilbronn. On the average length of a class of finite continued fractions. — in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89-96.

28. B.Vallee. A unifying framework for the analysis of a class of Euclidean algorithms. — Proceedings of LATIN'2000, Lecture Notes in Computer Science 1776, Springer, pp. 343-354.

29. B. Vallee. Dynamical analysis of a class of Euclidean algorithms. — Theoretical computer science, v. 297, 2003, pp. 447-486.

30. B.Vallee, V. Baladi. Euclidean algorithms are gaussian. — J. Number Theory, v. 110, 2005, pp. 331-386.

---

Смотрите также файлы

• Общая характеристика арбитражного процесса Понятие и задачи арбитражного процесса.docx

• Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов очной и заочной форм обучения по специальности 43. 03. 02 Туризм.docx

• Краткий обзор текущего состояния рынка пеллетов.rtf

• Цель функционирования психологической службы.docx

• Схема обследования детей с дизартрией.docx