ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 346
Скачиваний: 4
) – приращение функции в точке Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.2. В чем состоит геометрический смысл производной?Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке. Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса.3. В чем состоит механический смысл первой производной?Производная от функции, описывающей прямолинейный закон движения материальной точки, определяет мгновенную скорость в момент to.
4. Сформулируйте условие дифференцируемости функции в точке.Теорема о необходимости и достаточности дифференцируемых функций в точкеДля того, чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная в этой точке Функция , определённая в некоторой окрестности точки x, называется непрерывной в этой точке, если приращение функции стремится к нулю при стремлении к нулю соответствующего приращению аргумента.Теорема. Если функция дифференцируется в точке х, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение не имеет места, т.к. из непрерывности функции в некоторой точке не следует её дифференцируемость в этой точке.5. Какая функция называется дифференцируемой на некотором промежутке?Функция y=f(x) называется дифференцируемой на некотором промежутке (a,b) (конечном или бесконечном), если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка.6. Чему равна производная суммы? (* док-во)7. Чему равна производная произведения? (*док-во)8. Чему равна производная частного? (*док-во)Производная частного двух функций если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
Пусть у=u/v. Тогда 9. Как найти производную сложной функции?10.Формула для дифференцирования функции, заданной параметрически.Теорема. Если функция y=f(x) задана параметрически и функции x=x(t), y=y(t) дифференцируемы по переменной t и при этом x’t≠ 0, то ух’ = 11.Как найти производную от неявно заданной функции?Если функция задана неявно (то есть функция неразрешенная относительно у), тогда для нахождения у’ надо продифференцировать по х данное уравнение, учитывая, что у – функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно у’.12.Что называется дифференциалом функции?Приращение ∆x аргумента х, который выступает как независимая переменная, обозначается dx и называется дифференциалом независимой переменной, тогда производную функции можно рассматривать как отношения дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.13. Каков геометрический смысл дифференциала?14.В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала?Пусть функции у=у(х) и х=х(t) дифференцируемы, тогда:dy = y’x∙ dxdx = x’t∙ dtДля сложной функции y=y[x(t)] справедливо:dy = y’t∙ dt = y’x∙ x’t dt = y’x∙ dy
Свойство инвариантности (независимости) первого дифференциала по отношению к аргументу: дифференциал функции не зависит от того, является ли аргумент функцией, или независимой переменной.15.Как применяют дифференциал к приближенным вычислениям?Поскольку дифференциал d(x) функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргумента , тоРазность между приращением функции ∆y и дифференциалом этой функции d(y) – величина бесконечно малая. Таким образом, при малых имеет место приближённое равенство, позволяющее вычислять приближённые значения функции при малых приращениях аргумента.16.Что называется второй производной функции?17.Что понимают под производной n -го порядка?Дифференциал высших порядков сложной функции не обладают свойствами инвариантности формы по отношению к аргументу.18.В каком случае функция называется дифференцируемой k раз?Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную в любой точке промежутка . Если функция имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой точке x € X , то эту производную называют производной 2-го порядка (второй производной) функции и обозначают
Если в свою очередь функция f ’’x имеет производную
, то ее производная называется производной 3-го порядка (третьей производной): 
Аналогично берутся производные более высоких порядков.
Если в каждой точке промежутка существует конечная производная (п−1)-го порядка 
, то производная n-го порядка по определению равна производной от производной (n-1) -го порядка:
(3.13)
Порядок производной − число п − определяет число операций дифференцирования, которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка принять саму функцию: 
. Таким образом, допустимы следующие значения числа п:0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы (
), называют производными высших порядков.
Для производной n-го порядка в произвольной точке используют следующие обозначения: 
Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут. Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без скобок или арабской в скобках:
Если производная п-го порядка функции в точке существует, то ее значение − число (собственное (конечное) или несобственное (∞ )), которое обозначается одним из следующих способов: 
Если производная п-го порядка конечна в точке, то в некоторой ее окрестности определены и непрерывны и сама функция, и все ее производные до (n-1) -го порядка включительно.
19. Можно ли утверждать, что если функция непрерывна на интервале (a,b),то она дифференцируема на этом интервале?