ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 341
Скачиваний: 4
Геометрический смысл формулы Лагранжа. Значение производной функции f(x) в точке С равна тангенсу угла наклона касательной к этому графику и параллельна секущей, проходящей через точки А и В. (рис. из вопроса 27)28.Всегда ли непрерывная функция дифференцируема?Утверждение не имеет смысла, например, рассмотрим непрерывную функцию f(x) = , которая не дифференцируема при x=0.29.Всегда ли дифференцируемая функция непрерывна?30.Сформулировать теорему Лопиталя31.Сформулировать теорему, выражающую достаточные условия возрастания (убывания) функции в точке.Теорема (Необходимый признак возрастания (убывания) функции. Для того, чтобы дифференцируемая функция возрастала (убывала) на промежутке Х, необходимо, чтобы:f’(x) ≥ 0 для любого х, принадлежащего промежутку Х (для возрастания функции)f’(x) ≤ 0 для любого х, принадлежащего промежутку Х (для убывания функции)Теорема (Достаточный признак возрастания (убывания) функции). Если формула f(x) дифференцируема на X, и f’(x)>0 (f’(x)<0), для любого х из промежутка Х, то функция возрастает (убывает) на Х.32. Сформулировать теорему, выражающую необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемой функции на промежуткеДля того, чтобы функция y=f(x) была постоянна на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы f’(x) = 0 во всех точках промежутка.33.Сформулировать теорему, выражающую достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке34. Определение точки минимума (максимума) функции.Точка хо называется точкой максимума f(x), если существует такая окрестность X этой точки, что для любого х из промежутка Х верно: f(x0) > f(x).Точка хо называется точкой минимума f(x), если существует такая окрестность X этой точки, что для любого х из промежутка Х верно: f(x0) < f(x).35.Определение точки экстремума функции.
36. Определение критической точки.Критическими точками функции f(x) называются точками, где f’(x) = 0, f’(x) = ∞, f'(x) – не существует, при условии, что в двух последних случаях функция непрерывна в соответствующей точке.37.Необходимое условие экстремума функции.Если функция f(x) имеет в точке хо экстремум, то эта точка является критической точкой функции.38.Сформулировать достаточное условие экстремума, использующее производную 1-го порядка.Если функция непрерывна в некотором интервале. Содержащим критическую точку х0 , то дифференцируемая во всех точках интервала и при переходе через эту точку f’(x) меняет знак, то х0 – экстремум функции.39.Сформулировать достаточное условие экстремума, использующее производную 2-го порядка.40.Понятия гладкой функции и гладкого экстремумаЕсли f’(c) = 0, то в точке c функция имеет гладкий экстремум (рис. 1)Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция,— функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.41. Понятие острого экстремума функции.Экстремумы функции могут быть “острыми”, как на рисунках 3 и 4. Касательные к графику функции, проведенные при x=x0 , образуют прямой угол с OX (α=90▫), следовательно, значение tgα в точках острого экстремума не существует (не определено), а т.к. y’ = tgα , то не существует и производная. Как и в предыдущем случае, можно заметить, что не для всех значений переменной, для которых производная не существует, будет существовать экстремум функции.
42.Сформулировать определение первообразнойy = x2y’ = 2xy = x2 + c (первообразная)F(x) – первообразная функция для f(x) на некотором промежутке, если F’(x) = f(x)Пример:F(x) = sinx, f(x) = cosx, F1 (x) = sinx - √3Теорема. Если F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то функция F(X) + C также является первообразной для f(x) на этом промежутке.43.Сформулировать определение неопределенного интеграла.44.В чем заключается непосредственное интегрирование?Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределённого интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных.Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.45.Указать формулу замены переменной в неопределенном интеграле.Пусть – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке изменения t. Если на соответствующем промежутке изменения х функция f(x) непрерывна.46.Указать формулу интегрирования по частям.Пример47.Какие дроби называются простейшими?Простейшими дробями первого типа называются рациональные дроби вида , где с – вещественное число.Простейшими дробями второго типа называются рациональные дроби вида
, где 
имеет комплексные корни (D<0).
48.Какая дробь называется правильной? Привести примеры.
Пусть есть целая рациональная дробь вида
y = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-1x + an
Дробная рациональная функция:
R(x) = 
Qm(x) = b0xm + b1xm-1 + b2xm-2+ … + bm-1x + bm
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-1x + an
Если m < n, то дробь правильная.
Пример: 
49.Какая дробь называется неправильной? Привести примеры.
Пусть есть целая рациональная дробь вида
y = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-1x + an
Дробная рациональная функция:
R(x) =
Qm(x) = b0xm + b1xm-1 + b2xm-2+ … + bm-1x + bm
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-1x + an
Если m ≥ n, то дробь неправильная.
Пример: 
50.Что называется универсальной тригонометрической подстановкой?
51.Дать определение определенного интеграла.
52.Сформулировать теорему существования определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс – нижним основанием.
Теорема существования определённого интеграла.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то её интегральная сумма стремится к пределу при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремящейся к нулю длины наибольшего отрезка разбиения, не зависит от способа разбиения отрезка АВ на частичные отрезки и выбора в них промежутка точки.
53.Сформулировать, в чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции.