Файл: Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав.pdf

Линейная алгебра, Коллоквиум I
Бобень Вячеслав
@darkkeks
,
GitHub
Благодарность выражается Левину Александру (
@azerty1234567890
)
и Милько Андрею (
@andrew_milko
) за видеозаписи лекций.
2019 — 2020
“К коллоку можете даже не готовиться”.
— Роман Сергеевич Авдеев
Содержание
1
Определения и формулировки
4 1.1
Сумма двух матриц, произведение матрицы на скаляр
4 1.2
Транспонированная матрица
4 1.3
Произведение двух матриц
4 1.4
Диагональная матрица, умножение на диагональную матрицу слева и справа
4 1.5
Единичная матрица, её свойства
4 1.6
След квадратной матрицы и его поведение при сложении матриц, умножении матрицы на скаляр и транспонировании
5 1.7
След произведения двух матриц
5 1.8
Совместные и несовместные системы линейных уравнений
5 1.9
Эквивалентные системы линейных уравнений
5 1.10 Расширенная матрица системы линейных уравнений
5 1.11 Элементарные преобразования строк матрицы
5 1.12 Ступенчатый вид матрицы
5 1.13 Улучшенный ступенчатый вид матрицы
6 1.14 Теорема о виде, к которому можно привести матрицу при помощи элементарных преобразований строк
6 1.15 Общее решение совместной системы линейных уравнений

6 1.16 Сколько может быть решений у системы линейных уравнений с действительными коэффициентами?
6 1.17 Однородная система линейных уравнений. Что можно сказать про её множество решений?
6 1.18 Свойство однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше числа уравнений
7 1.19 Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей ей однородной системы
7 1.20 Обратная матрица
7 1.21 Перестановки множества {1, 2, . . . , ????}
7 1.22 Инверсия в перестановке. Знак перестановки. Чётные и нечётные перестановки
7 1.23 Произведение двух перестановок
7 1.24 Тождественная перестановка и её свойства. Обратная перестановка и её свойства
7 1.25 Теорема о знаке произведения двух перестановок
8 1.26 Транспозиция. Знак транспозиции
8 1.27 Общая формула для определителя квадратной матрицы произвольного порядка
8 1.28 Определители 2-го и 3-го порядка
8 1.29 Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух
8 1.30 Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов)
8 1.31 Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр
8 1.32 Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы
8 1.33 Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы
9 1.34 Определитель диагональной матрицы. Определитель единичной матрицы
9 1.35 Матрица с углом нулей и её определитель
9 1.36 Определитель произведения двух матриц
9 1

1.37 Дополнительный минор к элементу квадратной матрицы
9 1.38 Алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы
9 1.39 Формула разложения определителя по строке (столбцу)
9 1.40 Лемма о фальшивом разложении определителя
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.41 Невырожденная матрица
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.42 Присоединённая матрица
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.43 Критерий обратимости квадратной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.44 Явная формула для обратной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.45 Критерий обратимости произведения двух матриц. Матрица, обратная к произведению двух матриц
. 10 1.46 Формулы Крамера

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.47 Что такое поле?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.48 Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.49 Комплексное сопряжение и его свойства: сопряжение суммы и произведения двух комплексных чисел
. 11 1.50 Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация в ней сложения и сопряжения
. . . . . . . . 11 1.51 Модуль комплексного числа и его свойства: неотрицательность, неравенство треугольника, модуль про- изведения двух комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.52 Аргумент комплексного числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.53 Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригоно- метрической форме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.54 Формула Муавра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.55 Извлечение корней из комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.56 Основная теорема алгебры комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.57 Теорема Безу и её следствие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.58 Кратность корня многочлена
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.59 Векторное пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.60 Подпространство векторного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.61 Линейная комбинация конечного набора векторов векторного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.62 Линейная оболочка подмножества векторного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.63 Две общих конструкции подпространств в пространстве ????
????
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.64 Линейная зависимость конечного набора векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.65 Линейная независимость конечного набора векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.66 Критерий линейной зависимости конечного набора векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.67 Основная лемма о линейной зависимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.68 Базис векторного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.69 Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.70 Размерность конечномерного векторного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.71 Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности линей- ного выражения векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.72 Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . 14 1.73 Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2
Вопросы на доказательство
14 2.1 Операции над матрицами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1
Дистрибутивность произведения матриц по отношению к сложению
. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2
Ассоциативность произведения матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3
Некоммутативность произведения матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4
Транспонирование произведения двух матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.5
Умножение на диагональную матрицу слева и справа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.6
След произведения двух матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Системы линейных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1
Эквивалентность систем линейных уравнений, получаемых друг из друга путём элементарных преобразований строк расширенной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3
Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения на подходя- щую матрицу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.5
Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством ре- шений соответствующей ей однородной системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.6
Общий метод решения матричных уравнений вида ???????? = ???? и ???????? = ????
. . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.7
Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований
. . . . . . . . . . . . 18 2.3 Перестановки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2

2.3.1
Ассоциативность произведения перестановок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2
Некоммутативность произведения перестановок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3
Теорема о знаке произведения двух перестановок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.4
Знак обратной перестановки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.5
Знак транспозиции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Определители
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1
Определитель транспонированной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2
Поведение определителя при умножении строки (столбца) на скаляр
. . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.3
Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух
. . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.4
Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами)
. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.5
Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр
. . 21 2.4.6
Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.7
Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.8
Определитель с углом нулей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.9
Определитель произведения двух матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.10 Разложение определителя по строке (столбцу)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.11 Лемма о фальшивом разложении определителя
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.12 Единственность обратной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.13 Определитель обратной матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.14 Критерий обратимости квадратной матрицы и явная формула для обратной матрицы
. . . . . . 25 2.4.15 Матрица, обратная к произведению двух матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.16 Формулы Крамера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1
Построение поля комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2
Свойства комплексного сопряжения (для суммы и произведения)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.3
Свойства модуля комплексного числа: неотрицательность, неравенство треугольника (алгебраи- ческое доказательство), модуль произведения двух комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.4
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме,
формула Муавра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.5
Извлечение корней из комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Векторные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1
Понятие векторного пространства, шесть простейших следствий из аксиом
. . . . . . . . . . . . . 28 2.6.2
Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством в соответствующем векторном пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.3
Утверждение о том, что линейная оболочка произвольного подмножества векторного простран- ства является подпространством
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.4
Критерий линейной зависимости конечной системы векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.5
Основная лемма о линейной зависимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.6
Независимость числа векторов в базисе конечномерного векторного пространства от выбора базиса
30 2.6.7
Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности линейного выражения векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.8
Метод построения фундаментальной системы решений для однородной системы линейных урав- нений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.9
Существование подмножества конечной системы векторов, являющегося базисом её линейной оболочки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.10 Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного про- странства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6.11 Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе
. . . . . . . . . . . . . . . 33 3

1
Определения и формулировки
1. Сумма двух матриц, произведение матрицы на скаляр
Для любых ????, ???? ∈ Mat
????×????
• Сложение ???? + ???? := (????
????????
+ ????
????????
) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11
+ ????
11
????
12
+ ????
12
????
1????
+ ????
1????
????
21
+ ????
21
????
22
+ ????
22
????
2????
+ ????
2????
????
????1
+ ????
????1
????
????2
+ ????
????2
????
????????
+ ????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
• Умножение на скаляр ???? ∈ R =⇒ ???????? := (????????
????????
) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????????
11
????????
12
????????
1????
????????
21
????????
22
????????
2????
????????
????1
????????
????2
????????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2. Транспонированная матрица
???? ∈
Mat
????×????
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11
????
12
????
1????
????
21
????
22
????
2????
????
????1
????
????2
????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
????
????
∈
Mat
????×????
:=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11
????
21
????
????1
????
12
????
22
????
????2
????
1????
????
2????
????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
— транспонированная матрица.
3. Произведение двух матриц
1) Частный случай: умножение строки на столбец той же длинны
(????
1
, . . . , ????
????
)
⏟
⏞
1×????
⎛
⎜
⎝
????
1
????
????
⎞
⎟
⎠
⏟
⏞
????×1
= ????
1
· ????
1
+ · · · + ????
????
· ????
????
2) Общий случай:
????
- матрица размера ???? × ????
????
- матрица размера ???? × ????
???????? := ???? ∈
Mat
????×????
, где
????
????????
= ????
(????)
????
(????)
=
????
∑︁
????=1
????
????????
· ????
????????
Количество столбцов матрицы ???? равно количеству строк матрицы ???? — условие согласованности матриц.
4. Диагональная матрица, умножение на диагональную матрицу слева и справа
Определение.
Матрица ???? ∈ ????
????
называется диагональной если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю (????
????????
= 0
при ???? ̸= ????)
Лемма. ???? = ????????????????(????
1
, . . . , ????
????
) ∈ ????
????
=⇒
1. ∀???? ∈ Mat
????×????
=⇒ ???????? =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????
1
????
(1)
????
2
????
(2)
????
????
????
(????)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2. ∀???? ∈ Mat
????×????
=⇒ ???????? =
(︀????
1
????
(1)
????
2
????
(2)
????
????
????
(????)
)︀
5. Единичная матрица, её свойства
Определение.
Матрица ???? = ????
????
= ????????????????(1, 1, . . . , 1)
называется единичной матрицей порядка ????.
???? =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0
0 0
1 0
0 0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
4

Свойства
:
1. ???????? = ???? ∀???? ∈ Mat
????×????
2. ???????? = ???? ∀???? ∈ Mat
????×????
3. ???????? = ???????? = ???? ∀???? ∈ ????
????
6. След квадратной матрицы и его поведение при сложении матриц, умножении матрицы на скаляр и транспонировании
Определение. Следом матрицы ???? ∈ ????
????
называется число ???????????? = ????
11
+ ????
22
+ · · · + ????
????????
=
∑︀
????
????=1
????
????????
Свойства
:
1. tr(???? + ????) = tr ???? + tr ????
2. tr ???????? = ???? tr ????
3. tr ????
????
= tr ????
7. След произведения двух матриц tr(????????) = tr(????????)
∀???? ∈
Mat
????×????
, ???? ∈
Mat
????×????
8. Совместные и несовместные системы линейных уравнений
Определение.
СЛУ называется
– совместной, если у нее есть хотя бы одно решение,
– несовместной, если решений нет.
9. Эквивалентные системы линейных уравнений
Определение.
Две системы уравнений от одних и тех же неизвестных называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений.
10. Расширенная матрица системы линейных уравнений
Для СЛУ
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
????
11
????
1
+ ????
12
????
2
+ · · · + ????
1????
????
????
= ????
1
????
21
????
1
+ ????
22
????
2
+ · · · + ????
2????
????
????
= ????
2
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
2
+ · · · + ????
????????
????
????
= ????
????
её расширенной матрицей называется матрица
(︀???? | ????)︀ =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11
????
12
????
1????
????
1
????
21
????
22
????
2????
????
2
????
????1
????
????2
????
????????
????
????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
11. Элементарные преобразования строк матрицы тип
СЛУ
расширенная матрица
1.
K ????-му уравнению прибавить ????-ое, умноженное на ???? ∈ R (???? ̸= ????)
Э
1
(????, ????, ????)
2.
Переставить ????-е и ????-е уравнения (???? ̸= ????)
Э
2
(????, ????)
3.
Умножить ????-ое уравнение на ???? ̸= 0
Э
3
(????, ????)
1. Э
1
(????, ????, ????)
: к ????-ой строке прибавить ????-ую, умноженную на ???? (покомпонентно),
????
????????
↦→ ????
????????
+ ????????
????????
∀???? = 1, . . . , ????
,
????
????
↦→ ????
????
+ ????????
????
2. Э
2
(????, ????)
: переставить i-ую и j-ую строки.
3. Э
3
(????, ????)
: умножить i-ю строку на ???? (покомпонентно).
Э
1
,
Э
2
,
Э
3
называются элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы.
12. Ступенчатый вид матрицы
5

Определение.
Строка (????
1
, ????
2
, . . . , ????
????
)
называется нулевой, если ????
1
= ????
2
= · · · = ????
????
= 0
и ненулевой иначе
(∃???? : ????
????
̸= 0
).
Определение. Ведущим элементом ненулевой строки называется первый её ненулевой элемент.
Определение.
Матрица ???? ∈ Mat
????×????
называется ступенчатой, или имеет ступенчатый вид, если:
1. Номера ведущих элементов её ненулевых строк строго возрастают.
2. Все нулевые строки стоят в конце.
???? =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0
◇
*
*
*
*
*
*
0 0
0
◇
*
*
*
*
0 0
0 0
0
◇
*
*
0 0
0 0
0 0
◇
*
0 0
0 0
0 0
0
◇
0 0
0 0
0 0
0 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
где ◇ ̸= 0, * – что угодно.
13. Улучшенный ступенчатый вид матрицы
Определение.
M имеет улучшенный ступенчатый вид, если:
1. M имеет обычный ступенчатый вид.
2. Все ведущие элементы равны 1.
3. В одном столбце с любым ведущим элементом стоят только нули.
???? =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0
1
*
0
*
0 0
*
0 0
0 1
*
0 0
*
0 0
0 0
0 1
0
*
0 0
0 0
1
*
0 0
0 0
0 0
0 0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
14. Теорема о виде, к которому можно привести матрицу при помощи элементарных преобразований строк
Теорема.
1) Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к ступенчатому виду.
2) Всякую ступенчатую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному ступенчатому виду.
Следствие.
Всякую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному сту- пенчатому виду.
15. Общее решение совместной системы линейных уравнений
Определение. Общим решением исходной СЛУ
называется выражение главных неизвестных через свободные.