Интегралы Римана и Дарбу. Необходимые и достаточные условие интегрируемости функции по Риману. Критерий Дю-Буа-Реймонда.

На прошлой лекции мы с вами ввели понятие определённого интеграла. Было отмечено, что первообразные непрерывных функций могут быть представлены с помощью такого интеграла.

Нами была получена следующая формула



Здесь первообразная непрерывной функции .

Отметим здесь, что эта формула верна для любой первообразной рассматриваемой функции. Это означает, что на интервале имеет место равенство



Напомню здесь, что неопределённый интеграл представляет собой однопараметрическое семейство первоообразных.

Покажем сейчас, что в том случае, когда функция является непрерывной , интеграл,



определённый для любого является первообразной функции .

Впредь мы будем называть интеграл (15.1) интегралом с переменным верхним пределом.

Докажем прежде всего следующую теорему.

Теорема 15.2. Пусть непрерывная на функция. В таком случае интеграл



существует.

Доказательство. Пусть разбиения отрезка и

---

последовательность интегральных сумм Римана, соответствующих этим разбиениям.



Рассмотрим два типа таких сумм, отличающихся друг от друга выбором точек сумм . Для сумм первого типа,



Промежуточную точку отрезка выберем так, что Для сумм



второго типа в качестве выберем так, что

Так как отрезок представляет собой компакт, а функция непрерывна на нём, то такие точки найдутся.

Рассмотрим последовательность разбиений, полученную последовательными подразбиениями отрезка так что Такие последовательности будем называть последовательностью последовательных разбиений, или монотонной последовательностью разбиений. Мы будем рассматривать такие монотонные последовательности разбиений, при которых их мелкость стремится к нулю при неограниченном возрастании числа точек разбиения (номеров разбиений).

Докажем, прежде всего следующую лемму.

Лемма 15.2. Пусть монотонная последовательность разбиений. Тогда последовательность является невозрастающей последовательностью, а последовательность неубывающей.

Доказательство. Пусть и

---

Так как , то разбиение получается из разбиения добавлением одной точки. Допустим , что и Ясно, что в таком случае точка принадлежит внутренности отрезка .

Итак, множества отрезков, на которые разбивается отрезок с помощью точек из и таковы, что



для чисел ,…k-1, и



для чисел . При этом отрезок представляется в виде объединения двух отрезков



Рассмотрим разность



Ясно, что



=

=

Здесь выбраны так, что



Так 15. и , то



Сравнивая , устанавливаем что последовательность

---

является невозрастающей последовательностью.

Аналогичным образом получаем, что последовательность является неубывающей последовательностью.

Лемма доказана.

Докажем сходимость рассматриваемых последовательностей.

Лемма 15.5. Пусть монотонная последовательность разбиений. Тогда последовательности являются сходящимися последовательностями.

Доказательство. Докажем, что обе последовательности являются ограниченными. Функция непрерывна на отрезке , поэтому она ограничена на нём. Следовательно,



Итак, мы получаем, что последовательность невозрастающая последовательность , ограниченная снизу, а неубывающая последовательность, ограниченная сверху. Это означает, что последовательности сходятся.

Лемма доказана.

В соответствии с определением интеграла Римана нас интересует поведение этих последовательностей в том случае, когда мелкость стремится к нулю при неограниченном возрастании Покажем, что в этом случае они сходятся к одному и тому же пределу.

Лемма 15.6. Пусть монотонная последовательность разбиений , мелкость которых стремится к нулю. Тогда пределы последовательностей



Совпадают



Доказательство. В силу непрерывности функции на мы получаем, что она равномерно непрерывна на этом отрезке. Поэтому

---

(15.8)



Из (15.8), (15.9) мы получаем



Пользуясь оценкой , теперь докажем . Итак, для заданного подберём в соответствии с (15.9). Тогда, учитывая (15.9), получим







В силу произвольности из (15.11) получаем (15.7).

Лемма доказана.

Обозначим через общее значение пределов из (15.7) для заданной монотонной последовательности разбиений. Докажем независимость этого предела от выбора монотонной последовательности, мелкость которой стремится к нулю.

Лемма 15.12 Пусть две различные монотонные последовательности разбиений, мелкость которых стремится к нулю. Тогда

(15.13)

Доказательство. Для доказательства сравним между собой, например, интегральные суммы и . В случае монотонных разбиений, основываясь на свойствах нижней и верхней грани множества и его подмножества, мы осуществили сравнения различных сумм. Проблема теперь заключается в том, что , вообще говоря, не сравнимы между собой. Для преодоления этой трудности рассмотрим множество



Множество

---

Смотрите также файлы

• Определите обозначенные периоды, относящиеся ко времени отдыха.doc

• Локальные компьютерные сети Компьютерная сеть.docx

• В принадлежности лица к категории вероятных объектов преступного посягательства в в чем проявляется ролевая виктимность в принадлежности.docx

• There is an even greater in light of all the things.docx

• Внешнее строение корневища, клубня и луковицы.docx