Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

Учебное пособие
2016
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
Е.С. Воробьев, В.Е. Воробьева
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Основы численных методов и приемы
построения математических моделей
и их решения в различных пакетах

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
Е.С. Воробьев, В.Е. Воробьева
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Основы численных методов и приемы
построения математических моделей на их
основе и эти решения в различных пакетах
Учебное пособие
Казань 2017

УДК 007:66.01(075)
ББК 32.81:35.11
Воробьев Е. С.
Численные методы и математическое моделирование. Основы чис- ленных методов и приемы построения математических моделей на их основе и эти решения в различных пакетах / Е. С. Воробьев, В. Е. Воро- бьева; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т –
Казань:
Изд-во КНИТУ, 2016. – 105 с.
ISBN
В пособие представлены основы реализации численных методов при решении различных математических задач. Показаны способы реализа- ции этих методов для математического моделирования различных си- стем как в MS Excel, так и в других пакетах.
Подготовлено на кафедре автоматизированных систем сбора и обра- ботки информации.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Казан- ского национального исследовательского технологического универси- тета.
Рецензенты:
Зав. каф. автоматизации технол. процессов и производств КГЭУ, проф, д.т н
К. Х. Гильфанов
Проф. каф. радиоэлектронных и телекоммуни- кационных систем КНИТУ (КАИ), проф, д.т н О. Ш. Даутов
 Воробьев Е.С., Воробьева Ф.И., 2016
 Казанский национальный исследова- тельский технологический универси- тет, 2016

4
От авторов
Любой исследователь должен уметь строить математические модели, которые позволяют ему делать прогнозы перед проведе- нием исследований, моделировать процессы в исследуемой си- стеме до проведения натурных испытаний, это позволит оптими- зировать число проводимых экспериментов или проверить досто- верность получаемых результатов.
Реализация таких решений обычно не может быть выполнено с использованием традиционных математических методов и тре- буется использовать численные методы решения математических задач. Они позволяют решать, как простейшие задачи нахожде- ния корней и экстремумов уравнений, так и более сложные реше- ния дифференциальных и интегральных уравнений. А решения задач, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных возможно только с использованием чис- ленных решений.
В настоящее время стремительное развитие вычислительной техники стремительно расширяет области применения числен- ных методов для самых различных задач во всех областях как науки, так и техники.

5
Введение
Обычно для решения большинства задач прикладной матема- тики формулируется математическая модель решения в виде ин- тегральных и дифференциальных уравнений функций на непре- рывном аргументе или их систем. Переход от данной постановки задачи к дискретной математической модели осуществляется за- меной функций непрерывного аргумента функциями дискретного аргумента. В результате модель превращается в систему конечно- разностных уравнений. Получившаяся модель представляет со- бой систему алгебраических уравнений, для решения которой с определённой точностью составляется вычислительный алго- ритм, который обычно реализуется на вычислительных машинах и сам метод называется вычислительным или численным.
Основными требованиями к вычислительному алгоритму яв- ляются: заранее заданная точность решения, его устойчивость к изменению начальных условий и экономичность в реализации.
При переходе к дискретным моделям появляются погрешности аппроксимации первоначальных функций, а при реализации вы- числений – погрешность округления, поэтому для реальных вы- числительных алгоритмов требуется проводить анализ погрешно- стей и устойчивости этого алгоритма. Необходимо помнить, что вычислительная машина выполняет основных операции с опреде- лённой точностью из-за разрядности чисел в памяти компьютера.
Поэтому точность любого вычислительного алгоритма должна быть несколько выше ожидаемой точности физического экспери- мента, который описывается этой моделью.
Необходимость гарантированных оценок точности реальных вычислений привела к возникновению интервального анализа, который показывает изменение точности расчётов по всему ин- тервалу исследования и в зависимости от ряда входных парамет- ров. Оптимальным алгоритмом считается алгоритм с минималь- ной погрешностью или с минимальным числом операций при за- данной погрешности.

6
Для многих классов задач разработаны разнообразные числен- ные методы решения. По способу дискретизации численные ме- тоды делятся на проекционные и конечно-разностные, по способу решения – на прямые и итерационные.
В методах конечных разностей задача сводится к определению значений функции в дискретном множестве заранее заданных то- чек, а в проекционных методах функция представляется линей- ной комбинацией элементов. При этом дискретная функция также может рассматриваться как линейная комбинация полиномов.
Прямые методы решения обладают слабой устойчивостью, в то время как итерационные методы более устойчивы и обеспечи- вают быструю сходимость.
В рамках дисциплины «Численные методы и математическое моделирование» предполагается освоение основных математиче- ских методов, которые мы используем при решении наших задач.
Основной упор будем делать на численные решения, которые легко реализуются на компьютерах и могут быть просто исполь- зованы при решении задач во время выполнения лабораторных и практических занятий, а также при подготовке курсовых и ди- пломных проектов.
Многие наши задачи требуют нахождения корней уравнений или систем, поиски экстремумов функций. Мы не можем обхо- диться без умения находить интегралы и дифференциалы функ- ций. При решении прямых и обратных задач химической кине- тики, построенных на основе дифференциальных уравнений, тре- буется восстановление первообразных функций на основании их дифференциальных уравнений. В данном пособии будут рассмот- рены методы нахождения:
 корней уравнений и систем уравнений;
 экстремумов различных функций;
 дифференциалов функций;
 интегралов функций;
 решения дифференциальных уравнений.
Построение данных решений с использованием программных

7 средств VBA связано с необходимостью решения более общих за- дач, в которых эти методы могут использоваться как вспомога- тельные функции, и Excel к ним будет обращаться автоматически по мере необходимости. Такой подход существенно ускоряет сами решения и позволяет решать задачи более высоких уровней сразу же, а не поэтапно.
Для удобного восприятия текста в нем приняты следующие форматы:
 текст, набранный курсовом – общепринятый термин, курсивом также оформлены все математические формулы, за исключе- нием стандартных функций в них;

[Enter]
– названия клавиш на клавиатуре компьютера;

Книга1, А1, Лист1
– названия объектов MS Excel;
 «
Главная
» – «
Заполнить (
)
» – команды MS Excel, как они за- писаны на ленте;
 текст в кавычках «
Sin(
» требует ввода с клавиатуры;

Public Function My_fun()
– код программы в VBA;
Прежде чем перейти к основным задачам, познакомимся с чис- ленными методами. Все они основаны на итерационных процеду-
рах, которые повторяют простые вычисления с подбором какого- либо из параметров, пока не будет достигнуто решение с заданной точностью. Не надо считать, что эти решения приближенные, мы вправе задать любую точность (даже очень высокую), но это по- требует большего числа итераций и, как следствие, больших за- трат машинного времени.
Что же такое точности решения? Обычно требования по точ- ности наших результатов выбираются из требований ГОСТ в за- висимости и типа наших исследований (лабораторные исследова- ния, макетные, полупромышленные и промышленные установки и т.п.). Например, для наших научных исследований это 95%, как и требуется по ГОСТ для обычных научно-исследовательских ра- бот. Однако при выполнении расчётов мы накапливаем погреш- ности как за счёт ошибок в исходных данных, так и за счёт их
(ошибок) накопления во время расчётов и округления результатов

8 вычислений. Реально мы можем разделить наши ошибки на не- сколько групп:
 Ошибки модели – математические модели обычно являются приближенными описаниями реальных процессов, поэтому параметры, вычисленные в рамках принятой модели, могут отличаться от истинных значений. Их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
 Ошибки данных – исходные данные, в свою очередь, содержат погрешности, связанные с их измерениями или вспомогатель- ными вычислениями.
 Ошибки метода – применяемые для решения задач методы обычно являются приближенными, так как найти решение практической задачи в виде конечной формулы возможно крайне редко.
 Ошибки вычислений и округления – при вводе исходных дан- ных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.
Поэтому полная погрешность при решении задачи на ЭВМ складывается из трёх составляющих:
 Неустранимая погрешность складывается из ошибок матема- тической модели, которую приняли, и ошибок при получении исходных данных. Они не могут быть устранены на этом этапе. Единственный способ уменьшения этой погрешности – переход к более точным математическим моделям и методи- кам измерения.
 Погрешности методов позволяют осознанно выбирать наилучший метод для решения поставленной задачи и ра- зумно задать его точность. Необходимо, чтобы величина по- грешности метода была в 2 – 10 раз меньше неустранимой по- грешности. Большие значения (менее 2) сильно снижают точ- ность результата, а меньшие (более 10) увеличивают затраты машинного времени и практически не влияют на значение полной погрешности.

9
 Вычислительная погрешность определяется характеристи- ками используемой ЭВМ, её разрядной сеткой действитель- ных чисел. Желательно всегда использовать переменные двойной точности.
Рассмотрим, как возникают погрешности в арифметических вычислениях. Примем для рассмотрения этого вопроса следую- щую форму записи:


 X
X
, где X – реальное значение, ̅X – за- писанное значение, ε – ошибка. Тогда можно построить все по- грешности для основных арифметических операций:
 Сложение и вычитание имеют следующие погрешности:

 



2 1
*
2 2
1 1













X
X
X
X
, в результате чего по- грешность операции не превышает суммы погрешностей опе- рандов. Однако при вычитании чисел одного знака ошибки могут сильно возрастать. Если числа близки, то не исключена полная или почти полная потеря точности. Это называется ка-
тастрофической потерей точности. При реализации чис- ленных методов решения задач следует избегать вычитания близких чисел одного знака.
 Умножение: если построить показанное в предыдущем абзаце выражение для суммы, сменив знак на умножение, то можно вычислить точность умножения в виде
2 1
2 1










 Деление при подобных расчётах даёт зависимость для точно- сти в виде:
2 2
1 1








Как видим, любые вычисления приводят к потере точности, но самые опасные возникают при вычитании.
Для оценки погрешностей в расчётах используются:
 Абсолютная погрешность приближенного значения опреде- ляется разницей между реальным и замеренным значениями измеряемой величины. Данное значение может быть, как по- ложительным, так и отрицательным. Качество данной оценки

10 существенно зависит от принятых единиц измерения и мас- штабов величин, что создаёт много проблем при её использо- вании. Поэтому целесообразно соотнести погрешность вели- чины и её фактическое значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.
 Относительная погрешность приближенного значения опре- деляется отношением абсолютной величины разности между реальным и замеренным значениями к значению самого изме- рения. Относительную погрешность часто выражают в про- центах. Она не зависит от масштабов величин и единиц изме- рения.
В расчётах удобнее использовать относительные погрешности, что обеспечивает получение примерно одинаковых погрешностей по всей вещественной оси чисел.
Контрольные вопросы к разделу
1.
Цели и задачи дисциплины.
2.
Понятие численных методов, основные пути их реализации.
3.
Область применения численных методов.
4.
Погрешности вычислений, основные понятия.
5.
Ошибки косвенных вычислений.
6.
Относительные и абсолютные погрешности.

11
Численные методы решения математических задач
Все численные методы предполагают определённый алгоритм решения поставленной задачи. Обычно решение сводится к вы- бору оптимального набора дискретных точек, которые ведут к ре- шению или к построению вектора движения, который так же при- водит к решению. Первые из них имеют название – конечно-раз- ностные, а вторые проекционные.
Чаще всего все численные методы реализуются через итераци- онные процедуры, которые выполняются до тех пор, пока не до- стигнута заданная точность решения.
Все эти методы не позволяют получить абсолютно точное ре- шение, но всегда можно задаться какой-либо точностью решения.
Во всех этих методах требуется возможность вычисления ис- следуемой функции и её производных в заданной точке. В зави- симости от максимальной степени производной, которая требу- ется в вычислениях эти методы можно разделить на различные порядки:
- нулевой – необходимо вычислять только саму функцию и ме- тоды являются линейными;
- первый и выше – необходимо вычисление функции и первой производной и т.д. Решения становятся нелинейными.
Иногда номер порядка в методе указывает номер первого от- брасываемого члена последовательности (ряда) на который раз- лагается наша функция, чем выше порядок метода, тем выше его точность и больше вычислительных операций требуется.
Рассмотрим два эти подхода для решения простейшей матема- тической задачи – нахождение корней уравнения и его экстрему- мов.

12
Нахождение корней уравнения
Основные понятия
Корнем уравнения считается число, при котором уравнение превра- щается в нуль. Существуют аналитические и численные методы нахож- дения корней уравнения. Первые из них позволяют получить алгебраи- ческое выражение для вычисления корня, что бывает невозможно для ряда уравнений, которые называются трансцендентными. Вторые поз- воляют находить сами корни для любых уравнений с заданной точно- стью, но они часто требуют боль- шого объёма вычислений. Разви- тие вычислительной техники поз- волило в настоящее время ши- роко использовать последние ме- тоды.
В графическом представлении корень показан на рис. 1. К дан- ной задаче можно привести и нахождение точки пересечения двух уравнений, используя их разность как функцию, корень ко- торой надо найти или нахождение конкретного значения функции отниманием его из уравнения.
Уравнения могут содержать несколько корней. В этом слу- чае для их поиска надо выде- лить области, в каждой из кото- рых находится только один ко- рень. Чтобы понять этот про- цесс, рассмотрим уравнение с двумя корнями (квадратное уравнение), график которого показан на рис. 2. Как видно из графика, корни, если они суще- ствуют у уравнения, лежат справа и слева от экстремума
Y
X
0
X
к
Рис. 1. Корень уравнений
Y
X
0
X
к1
X
к2
X
э
Рис. 2. Корни квадратного уравнения