Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

166
μ – вязкость,

тензор деформации, ρ – плотность,
u

– вектор скорости и р – давления. Предполагаем, что значения плотно- сти и вязкости постоянные.
4.2. Решение задачи
Загружаем сеточный файл step.grd из соответствующего ката- лога, проверяем построение сетки и переходим в режим настройки модели, как было показано в предыдущих задачах.
Рисунок 4.2. Сетка для решения задачи.
По команде Model  Setup проверяем значения, которые должны быть установлены по умолчанию:
- Simulation Type = Steady state
- Coordinate system = Cartesian
В разделе Equation выбираем соответствующие уравнения и параметры, связанные с их решением. В нашем случае это урав- нение Навье-Стокса:
Командой Model  Equation  Add создаем уравнение для нашей задачи, присваиваем ему имя Name = Navier-Stokes и при- вязываем его к телу Apply to Bodies = Body 1. На закладке Navier-
Stokes устанавливаем галочку Active = on
Заходим в редактирование параметров расчета Edit Solver Set- ting и на закладке Nonlinear System устанавливаем параметры:
- Max. iterations = 20 – максимальное число итераций;
- Newton after iterations = 3 – используем метод Ньютона после каждой 3 итерации;
Кнопкой Add добавляем уравнение в задачу и кнопкой Ok за- крываем окно.
Командой Model  Material  Add создаем материал потока, присваиваем ему имя Name = Ideal и привязываем к телу Apply to

167
Bodies = Body 1. На закладке General устанавливаем его плотность
Density = 1.0 (Плотность). На закладке Navier-Stokes задаем вяз- кость Viscosity = 0.01 (Вязкость). Кнопкой Add добавляем урав- нение в задачу и кнопкой Ok закрываем окно.
В нашей задаче внутри тела отсутствуют дополнительные силы, поэтому следующую команду меню Model мы пропускаем.
Конвергенция может быть получена с использованием стандарт- ных начальных условий, которые устанавливают все значения по- лей в нуль. Поэтому не делаем настройку для начальных условий.
Мы должны построить три граничных условия, что следует из представленных выше уравнений. Только одно граничное усло- вие может быть применено к каждой границе, поэтому все гра- ницы боковых стенок должны быть сгруппированы вместе, как это делалось в первой задаче. Принимаем, что на боковых стенках процессы передачи тепла адиабатические.
Входной профиль температуры зададим в виде параболы с мак- симальной скоростью в центре по- тока (рисунок 4.2). Для этого ис- пользуем встроенный язык MATC.
Для того, чтобы ввести или отредак- тировать содержимое входного па- раметра нажмите клавишу Enter и в открывшемся окне отредактируйте выражение. Данное выражение бу- дет интерпретироваться во время выполнения расчета и выглядит сле- дующим образом V
X
= 6 (у – 1) (2 – у), где y – координата по оси Y. Чтобы получить такое выражение достаточно знать значения координат по оси Y, где значения ско- рости должны превращаться в нуль и их поставить в выражение в двух скобках. Среднее значение имеет координату по Y 1.5 и если мы подставим это значение в y то получим скорость 6·0.5·0.5=1.5 м/с.
Начинаем строить граничные условия. По команде Model 
Рисунок 4.2. Схема параболического профиля.
2
1
0
Y
X

168
BoundaryCondition  Add создаем первое условие для входа по- тока. Даем ему имя Name = Inlet. Переходим на закладку Navier-
Stokes и вводим данные двух параметров:
- Velocity 1 = Variable Coordinate 2; Real MATC "6*(tx-1)*(2-tx)"
– задаем скорость по координате Х в виде математического уравнения, где tx – текущая координата Y;
- Velocity 2 = 0.0 – задаём скорость по оси Y;
Кнопкой Add добавляем условие в задачу и кнопкой New со- здаём новое условие для выхода. Даём ему имя Name = Outlet и на закладке Navier-Stokes вводим данные только для одного пара- метра
- Velocity 2 = 0.0 – задаем скорость по оси Y;
Опять кнопкой Add добавляем третье условие и кнопкой New создаём третье для стенок с именем Name = Walls, на закладке
Navier-Stokes ставим галочку Noslip wall BC = on – без прилипа- ния к стенкам.
Кнопкой Add добавляем последние граничное условие в задачу и кнопками Ok закрываем все окна граничных условий.
Теперь надо привязать наши граничные условия к самим гра- ницам, сделаем это в режиме выбора границ. Установим галочку в строке меню Model Set boundary properties (Установить свойства границ).
Выделяем вход потока и в выпавшем окне выбираем условие
Inlet, для выхода выбираем условие Outlet и для стенок – условие
Walls.

169

170

Приложения
Приложение 1
Порядок построения 3d-диаграммы
Для получения графических представлений двухпараметрических зависимостей надо использовать изометрию или график кривых рав- ного потенциала, которые находятся в разделе диаграмм
«
Поверхности
».
Построение диаграмм поверхностей реализуется на основании мат- рицы узлов следующего вида: верхняя строка и левый столбец должны быть заполнены значениями параметров от их минимального до макси- мального значения с помощью арифметической прогрессии. Остальные ячейки, кроме первой содержат результаты вычисления функции, по ко- торой строится график, для значений параметров из соответствующих ячеек первой строки и первого столбца таблицы (рис. 76). Чем больше будет строк и столбцов, тем более плавными будут кривые на диа- грамме.
Рис. 76. Матрица для построения диаграммы
Существует два пути построения такой матрицы, используя фор- мулы с абсолютно-относительной адресацией по всем ячейкам таблицы или воспользовавшись стандартной командой Excel
«
Таблица данных
», для которой в первую ячейку должна быть внесена формула расчёта функции, гра- фик которой надо построить, с известными ячейками откуда берутся параметры для этой функции.
Построим матрицу по команду Excel «
Таблица дан- ных
». Сначала готовим заготовку матрицы, где верх- няя строка и левый столбец должны стать заголовками для соответствующих столбцов и строк диаграммы и содержать значения параметров, как видно на рис. 76.
Принимаем размер матрицы 10 х 10 ячеек и начинаем
X
11
X
12
X
13
…
X
1n
X
21
Y=F(X
11
, X
21
) Y=F(X
12
, X
21
) Y=F(
X13
, X
21
) … Y=F(
X1n
, X
21
)
X
22
Y=F(X
11
, X
22
) Y=F(X
12
, X
22
) Y=F(X
13
, X
22
) … Y=F(X
1n
, X
22
)
X
23
Y=F(X
11
, X
23
) Y=F(X
12
, X
23
) Y=F(X
13
, X
23
) … Y=F(X
1n
, X
23
)
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
X
2n
Y=F(X
11
, X
2n
) Y=F(X
12
, X
2n
) Y=F(X
13
, X
2n
) … Y=F(X
1n
, X
2n
)
Рис. 77. Ко- манда «Про- грессия...»

171 построение матрицы с ячейки
D15
. В ячейку
D16
вводим минимальное значение Х
1
, отсчитываем вправо десять столбцов и вводим максималь- ное значение Х
1
. Промежуточные ячейки заполняем данными в задан- ном интервале с равным шагом, используя команду заполнения «
Глав- ная
» – «
Заполнить
» – «
Прогрессия
» (Рис. 77).
Выделяем диапазон данных от минимального до максимального зна- чений и вызываем команду. В открывшемся окне команды
(рис. 78) видим шаг, который программа автоматически рас- считала. Если этого нет, то что-то сделано не так. Нажи- маем кнопку «
Ok
» и получаем заполненную строку с дан- ными.
По такой же процедуре от ячейки
D16
вниз по столбцу строим набор данных по дав- лению от минимального до максимального значения. Для построения матрицы в ячейку
D15
помещаем формулу, по которой вычисляются значения в узлах созданной таблицы. Копируем формулу для вычисле- ния функции из последней строки таблицы экспериментальных и рас- чётных данных и вставляем её в ячейку
D15
. В режиме редактирования формулы мы видим, что данные в формуле берутся из ячеек
А15
и
В15
, а формула имеет следующий вид:
=$L$2+$L$3*A15+$L$4*B15+$L$5*A15*B15+$L$6*A15^2+$L$7*B15^2
Теперь все готово для заполнения матрицы, выделяем область буду- щей матрицы вызываем команду «
Данные
» – «
Анализ "что-если"
» – «
Таб- лица данных
» (рис. 79).
Рис. 78. Окно заполнения прогрессии

172
Рис. 79. Построение таблицы данных
В открывшемся окне указы- ваем, куда надо подставлять значения из заголовков столб- цов и строк таблицы для рас- чета по заданной в ячейке
D15
формуле (рис. 80) значения нашей функции. Нажимаем
«
Ok
» и получаем заполненную таблицу с дан- ными.
Выде- ляем её внут- реннюю об- ласть (рис. 81) без заголовков и на основании этих данных строим диа- грамму поверх- ности, коман- дой «
Вставка
» –
«
Диаграмма
» –
«
Другие
» – «
Поверхность
».
Рис. 80. Источники данных
Рис. 81. данные для построения поверхности

173
Получаем диаграмму в виде объекта на нашем ли- сте (рис. 82).
Как видим, диаграмма наглядна, но на ней нет никаких информацион- ных надписей, нумерация по осям выполнена набо- ром целых чисел, а не ре- альными значениями, ис- правим этот недостаток.
Сначала перенесем диаграмму на отдельный лист, как делали это раньше, и повернем диа- грамму для лучшего обзора, если это надо, как в данном случае. Поворот диаграммы осуществляется командой с ленты «
Макет
» из группы «
Работа с диаграммами
»
или через кон- текстное меню диаграммы с тем же име- нем. В открывшемся окне (рис. 83) изме- няем значения углов с помощью стрелок.
Теперь нанесём заголовки к самой диаграмме и к её осям. Информа- ция по заголовкам у нас имеется на рабочем листе. Вторая горизонталь- ная ось представляется на диаграмме как ось Z. Направление надписей надо брать обычное и в конце мы их повернём параллельно осям.
Изменим оцифровку горизонтальных осей, сейчас они нумеруются по основной оси номерами узлов (
1; 2 ... 10
), а по оси Z номерами рядов
(
Ряд1 ... Ряд10
). Чтобы изменить эти данные на значения по оси темпера- туры задаём данные из горизонтального заголовка матрицы узлов, а для каждого рядов указываем в его имени значением из ячейки вертикаль- ного заголовка матрицы. Для этого вызываем команду управления дан- ными на диаграмме «Выбрать данные ...» (рис. 84). В открывшемся окне нажимаем
Рис. 83. управление поворотом диаграммы.
Рис. 82. Диаграмма поверхности

174
Рис. 84. Окно выбора данных для диаграммы кнопку «
Изменить
» над правой панелью «
Подписи горизонтальной оси
(категории)
» и на панели «
Подписи оси
» (см. схему на рис. 84) в поле «
Диа- пазон подписей оси:
» вносим данные температур из заголовка матрицы узлов.
Чтобы установить значения давлений надо над левой панелью «
Эле- менты легенды (ряды)
» со списком рядов диаграммы, нажимаем кнопку
«
Изменить
» и в открыв- шемся окне (рис. 85) вно- сим в поле «
Имя ряда:
» со- ответствующее ряду дав- ление из заголовка ряда.
Для всех рядов в адресе будет стоять буква
D
, а номер строки должен рав- няться номерам в поле
«
Значение:
».
Для ускорения ввода лучше начинать исправления с послед- него ряда и при первом вводе ско- пировать адрес введённой ячейки используя команды контекстного меню для поля ввода (рис. 86) и в дальнейших операциях просто вставляем скопированный адрес и потом исправляем номер строки, согласно значению, из поля «
Значе- ния:
».
Рис. 85. Задание имени первого ряда
Рис. 86. Контекстное меню

175
Теперь настроим шрифты для названий и нумерации, подберём оп- тимальные размеры для всех элементов диаграммы, как это делали при построении однопараметрических зависимостей.
Остаётся выронить названия осей парал- лельно самим осям. Эта операция выполняется в настройке формата оси, на закладке «
Выравнива- ние
» (рис. 87). Если из- менение угла наклона притушено, то выбрано направление текста не горизонтальное.
Изменение наклона текста для вертикальной оси более чем на 90 гра- дусов недопустимо в программе, поэтому заголовок этой оси оставляем просто повёрнутым.
В результате настроек должна быть получена следующая диаграмма
(рис. 88).
Как альтернативный вариант диаграммы для двухмерных поверхно- стей можно использовать плоское представление линиями равного по- тенциала (как наши географические карты) (рис. 89), которое строится диаграммой «
Поверхность
» – «
Контурная
» или «
Проволочная контурная
».
На данном представлении проще указать характерные точки (экстре- мумы) и показать оптимальные пути движения к ним при динамическом процессе управления объектом.
Рис. 87. Изменение угла наклона надписи для заголовка оси

176
Рис. 88. Диаграмма поверхности для нашей модели
Рис.89. Контурная диаграмма в виде линий равного потенциала.

177
Приложение 3
Теплоёмкость материалов
Наименование материала
ρ, кг/м
3
λ,.
Вт/(м·°С)
Ср, кДж/(кг·°С)
α·10 6
, м
2
/с
Алюминий
2670 204,0 0,92 91,3
Бронза
8000 64,0 0,381 20,8
Латунь
8600 85,5 0,378 26,4
Медь
8800 384 0,381 114,5
Никель
9000 58,2 0,462 14,01
Олово
7230 64,0 0,921 39,2
Ртуть
13600 4,9 0,138 4,25
Свинец
11400 34,9 0,129 23,6
Серебро
10500 458 0,234 186,5
Сталь
7900 45,4 0,462 12,5
Цинк
7000 116,3 0,394 42,3
Чугун
7220 63,0 0,504 17,4

178
Литература
1. Морозов В. К. Моделирование информационных и динамиче- ских систем : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений /
В. К. Морозов, Г. Н. Рогачев. – М.: Издательский центр «Ака- демия», 2011. – 384 с.
2. Воробьев Е. С. Методы кибернетики в химической техноло- гии: реализация основных вычислительных методов в пакете
MS Excel и средствами MS VBA учебное пособие / Е. С. Во- робьев, Ф. И. Воробьева; М-во образ. и науки России, Казан, нац. исслед. технол. ун-т - Казань: Изд-во КНИТУ, 2015. - 105 с.
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_конечных_разностей
– ад- рес страницы на сайте Wikipedia.
4. ELCUT® Моделирование электромагнитных, тепловых и упругих полей методом конечных элементов. Версия 6.2 Ру- ководство пользователя. ООО «Тор», Россия, Санкт-Петер- бург, http://www.elcut.ru/demo/manual.pdf
5.