Лекция: Уравнение плоскости в пространстве

1. 
   Общее уравнение плоскости
   

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют уравнению Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.Возможны следующие частные случаи:А = 0 – плоскость параллельна оси ОхВ = 0 – плоскость параллельна оси ОуС = 0 – плоскость параллельна оси ОzD = 0 – плоскость проходит через начало координатА = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОуА = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОzВ = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOzА = D = 0 – плоскость проходит через ось ОхВ = D = 0 – плоскость проходит через ось ОуС = D = 0 – плоскость проходит через ось OzА = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОуА = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOzВ = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

2. 
   Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору
   

Если в пространстве задана точка М₀(х₀, у₀, z₀), то уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

3. 
   Уравнение плоскости в отрезках
   

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: . Ч исла a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями

---

х, у, z.

4. 
   Уравнение плоскости в векторной форме (нормальное уравнение)
   

Пусть - радиус-вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0, где .Из общего уравнения можно перейти к нормальному уравнению, если умножить обе части уравнения на множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения.

5. 
   Уравнение плоскости, проходящей через три точки
   

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы были компланарны. Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки , ,. . Воспользуемся выше предложенной формулой:

---

Получаем уравнение плоскости

6. 
   Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
   

Пусть заданы точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и вектор . Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М₁ и М₂ и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы и вектор должны быть компланарны. Уравнение плоскости:

7. 
   Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
   

Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости: .Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор

---

(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0

8. 
   Расстояние от точки до плоскости
   

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно

9. 
   Угол между плоскостями
   

Угол между двумя плоскостями в пространстве  - это двугранный угол образованный этими плоскостями. Этот угол связан с углом между нормалями к этим плоскостям, где (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: . Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле: Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупойПример:Найти угол между плоскостями и .Находим нормали к плоскостям:

---

, По формуле Ответ: .

10. 
    Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
    

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: . Плоскости параллельны, если векторы нормалей коллинеарны:  .Это условие выполняется если: .Задания для самостоятельной работы:1. Даны уравнения плоскостей

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.

---

Смотрите также файлы

• Занятие для обучающихся 811 классов и спо по теме Александр Николаевич Островский хозяин русской сцены.pdf

• Лабораторная работа 4 По дисциплине Системы хранения данных Фамилия Сидоров Имя.docx

• 1 социальная роль классный.docx

• Организация определения безопасных ресурсов среди представленных фишинговых электронных писем и сайтов.docx

• Министерство образования республики мордовия.docx