1. Каково минимальное время, в течение которого можно завершить проект?

2. Какова соответствующая минимальная дополнительная стоимость?

Решение

Минимальное время можно найти, рассчитав для всех, как критических, так и некритических операций, критическое время их выполнения. Ниже изображен стрелочный граф, построенный в примере 2. На граф нанесены значения ЕЕТ и LЕТ, найденные на основе критических значений времени выполнения операций.

Нетрудно заметить, что ЕЕТ узла 8 равно 28 дням, поэтому минимальное время выполнения проекта также составляет 28 дней. Критический путь остается неизменным: В-Е-G-Н.
Общую стоимость можно найти из следующего уравнения:

Общая стоимость = Критическая стоимость операций + 28 х

х Стоимость строительной площадки в день = 102 750 руб. +

+ 28 х 1000 руб. = 130750 руб.

Таблица 9. Значения стандартных и критических сроков и соответствующих издержек выполнения операций для примера 7

ОПЕРА-ЦИЯ	НЕПОСРЕДСТ-ВЕННО ПРЕДШЕ-СТВУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ	СТАНДАРТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ			Критическое значение
		ВРЕМЕ-НИ, ДНЕЙ		СТОИМО-СТИ, РУБ.	Времени, дней	Стоимости, руб.
A B C D E F G H	- - - A,B B,C C D,E F,G	8 10 6 8 9 14 14 6		7500 8500 6000 13000 14000 14500 13500 5500	4 8 5 5 6 11 10 4	9000 11000 7000 16000 16500 18000 18750 6500
ОБЩИЕ ИЗДЕРЖКИ ВЫ-ПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ				82500			102750

0

A

4

8

9



4 - наиболее ранний - наиболее поздний срок события, дней срок события, дней


D

5

8



8
2


B

8

0

24

24



G

10

E

6

H

4

28

14

0

8

14




C

5

8

0
1 5 6 7 8


0

F

11

28






5

8
3
Рис. 14. Стрелочный граф для примера 7 с указанием критического времени
Между тем найденное значение стоимости выполнения проекта в указанное время не является минимальным, поскольку необходимости использовать критические значения для некритических операций нет. Некритическими являются операции А, С, D и F. Поэтому необходимо найти эффект от использования соответствующих этим операциям некритических значений показателей. В случае, если существует возможность восстановить их стандартную продолжительность, не увеличивая при этом общую продолжительность выполнения проекта, можно будет одновременно достичь и экономию стоимости в результате использования ее некритических значений.

Критические значения для операции А можно не использовать, поскольку увеличение продолжительности ее выполнения до 8 дней не меняет ЕЕТ узла 4, и, следовательно, не оказывает воздействия на выполнение остальных операций календарного плана. Использование некритических значений для операции А позволяет достичь экономии, составляющей 1500 руб.

Увеличение продолжительности операции С с 5 до 6 дней приведет к увеличению значения ЕЕТ узла 3 до 6, однако не окажет воздействия на ЕЕТ узлов 5 и 7. Вследствие этого продолжительность выполнения проекта останется неизменной. Использование некритических значений, соответствующих операции С, позволит получить экономию 1000 руб.

Если использовать некритические значения показателей операции D, то ЕЕТ узла 6 возрастет до 16 дней. Узел 6 принадлежит критическому пути, поэтому для того, чтобы достичь минимального общего времени выполнения проекта, составляющего 28 дней, необходимо применять критические значения времени и стоимости операции D.

Использование некритических значений для операции F не изменит ЕЕТ узла 7 и не приведет к увеличению продолжительности проекта в целом. Используя для F некритические значения, мы сможем достичь экономии, составляющей 3500 руб.

Минимальная стоимость выполнения проекта за 28 дней составит:

130750 - 1500 (А) - 1000 (С) - 3500 (Р) = 124750 руб.

Стоимость выполнения проекта в стандартные сроки равна:

82500 (стоимость операций) + 39000 (стоимость строительной площадки)= = 121500 руб

Следовательно, дополнительная стоимость, связанная с завершением выполнения проекта на 11 дней раньше, будет равна:

124750 - 121500 = 3250 руб.

Пример 8. Обратимся к данным примера 1. В табл. 10 приводится дополнительная информация о стоимости операций и возможном сокращении времени их выполнения.

Переменные накладные расходы составляют 300 руб. в неделю в течение всего времени выполнения проекта.

1. Определить стандартные значения общего времени выполнения и общей стоимости проекта.

2. Найти минимальное время, за которое можно выполнить данный проект, и соответствующее ему минимальное значение стоимости.
Таблица 10. Стандартные и критические значения сроков выполнения и стоимости операций для примера 8

Операция	Стандартное значение		Возможное сокращение времени, недель	Критичес-кое время, недель	Дополнительные издержки сокращения времени на неделю, руб.
	Времени, недели	Стои-мость, руб.
A B C D E F G H I J K L	2 1 4 6 3 3 4 2 3 8 2 2	400 0 200 450 700 200 600 0 250 600 450 200	1 0 2 4 2 2 3 0 1 4 1 1	1 1 2 2 1 1 1 2 2 4 1 1	400 0 125 175 250 200 125 0 200 100 250 150
Стоимость операций 4050

A

2

0

0

B

1

C

4

F

3

G

4

K

2

L

2

2

3

13

16

20

2

3

12

15

20



J

8

D 6

E

3

24
1 2 3 5 8 9 10 11


I

3

22

24

22



H

2

9
4 7


0

9

12

12


6


12

11




12

11



Рис. 15. Стрелочный граф для примера 8 с указанием стандартных сроков




- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (стандартный срок, дней)
Решение

На рис. 15 воспроизведен стрелочный граф, построенный в примере 1. Для каждой операции на графе указаны значения ЕЕТ и LЕТ. Стандартный срок выполнения проекта составляет 24 недели, а соответствующий ему критический путь имеет следующий вид:

А-B-D-1-]-К-L.

Общая стоимость проекта составляет:

4050 (стоимость операций) + 24х300 (переменные накладные расходы) = 11250руб.

Чтобы определить минимальное время, требующееся для выполнения проекта в целом, каждой операции поставим в соответствие минимальный срок ее завершения. На рис. 16 показаны значения этих сроков и итоговые значения ЕЕТ и LЕТ.

Минимальная продолжительность проекта составляет 12 недель. В данном случае критическими оказываются следующие пути:

А-B-D-1-]-К-L и А-B-D-Н-]-К-L.

Проверим, можно ли, используя некритические значения для некоторых некритических операций, получить экономию денежных средств.
Таблица 11. Использование некритических значений показателей для некритических операций из примера 8

Опера-ция	Изменение продолжитель-ности	Эффект
Е F G С	Увеличение на 2 недели Увеличение на1 неделю Увеличение невозможно Увеличение на 2 недели	ЕЕТ узла 5 становится равным 7 неделям; ЕЕТ узла 8 становится равным 8 неделям, не влияя при этом на ЕЕТ узла 9, принадлежащего критическому пути; других воздействий нет. Е выполняется в стандартный срок ЕЕТ узла 8 становится равным 9 неделям. Операции Е, F и G становится критическими. На узел 5 не оказывается никакого воздействия. С выполняется в стандартный срок.

Некритическими являются операции С, Е, F и G. Продолжительность операций в данном примере можно изменять по интервалам в одну неделю, так как единицей измерения продолжительности является неделя. В первую очередь рассмотрим операции, которые, если использовать их некритические значения, |могут принести наибольшую экономию денежных средств. Операции будем рассматривать в следующем порядке: Е (250 руб.), F (200 руб.), и С (125 руб.) или G (125 руб.).

Минимальная стоимость выполнения проекта за 12 недель составила:

(4050 (стандартная стоимость операций) + 1 • 400 (А) + 4 • 175 (В) + 1 • 200 (F) + 3 • 125 (G) + 1 • 200 (I) + 4 • 100 (J) + 1 • 250 (К) + 1 • 150 (L) (предельные издержки) + 12 • 300 ( переменные накладные расходы) = 4050 + 2675 + 3600 = 10325 руб.


A

1

0

0

B

1

C

2

F

1

G

1

K

1

L

1

1

2

8

9

10

1

2

5

6

10



J

4

D 2

E

1

12
1 2 3 5 8 9 10 11


I

2

11

12

11



H

2

4
4 7


0

4

6

6


6


6

6



Рис. 16. Стрелочный граф для примера 8 с указанием критических сроков



- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (стандартный срок, дней)
1.8 Выполнение проекта с минимальными издержками
Если выполнение проекта требует оплаты переменных накладных расходов, таких, например, как расходы, связанные с оборудованием строительной площадки, то может оказаться выгодным снижение продолжительности выполнения проекта. Поскольку сами эти сокращения влекут за собой определенные издержки, необходимо подвести баланс. Экономия времени может быть достигнута только в том случае, если сократить продолжительность критических операций. Критические значения должны использоваться только по тем критическим операциям, по которым величина экономии накладных расходов превышает стоимость выполнения операции за критическое время.

Пример 9. Обратившись к данным примера 7, определим минимальную стоимость проекта и соответствующее время его выполнения. Предполагается, что операции можно выполнять либо в стандартные, либо в критические сроки, но не в промежутке между ними.

Решение

Используя граф, построенный в примере 5 для стандартных сроков выполнения операций, перечислим все критические операции и соответствующие им показатели максимально возможной экономии времени и чистой экономии стоимости.
Таблица 12. Расчет минимальной стоимости проекта для примера 9

Опера-ция	Число дней экономии для критиче-ского времени	Дополни-тельная стоимость критичес-кого времени, руб.	Экономия, руб.	Чистая экономия, руб.	Комментарии
В Либо Е Либо Е и D G Н	2 1* 3 4 2	2500 2500 5500 5250 1000	21000 11000 31000 41000 21000	-500 -1500 -2500 -1250 +1000	Критические значения не используются Критические значения не используются Критические значения не используются Критические значения не используются Используются критические значения. Снижение продолжительности проекта с 39 до 37 дней

*Достичь экономии, равной 3 дням, нельзя, поскольку в этом случае путь А-D-G-Н становится критическим. Поэтому общая продолжительность снижается только на один день. Если же использовать критические значения одновременно для Е и О, достигается экономия времени, равная 3 дням. Однако соответствующая стоимость становится равной: 2500 руб. + 3000 руб., т.е. такая экономия времени не целесообразна.

Минимальная стоимость проекта равна: 121500 - 1000 = 120500 руб. Соответствующее время его выполнения составляет 37 дней.
1.9 Неопределённость времени выполнения операций
В приведенных выше методах анализа предполагалось, что время выполнении операций точно известно. Однако на практике сроки выполнения операций обычней являются довольно неопределенными. Управляющий производством может выдвинуть некоторые предположения о том, сколько времени потребуется для выполнения каждой работы, но не может предусмотреть возможные трудности или задержки выполнения. Неопределенность сроков выполнения операций означает, что общая продолжительность проекта также подвержена неопределенности.

Выбор метода, позволяющего учесть эту неопределенность, зависит от типа проекта и природы неопределенности. Если можно определить минимальную и максимальную продолжительности каждой операции, то их рассчитывают с помощью показателей ожидаемой (средней) продолжительности и ожидаемого времени выполнения проекта. Алгоритм, получивший наиболее широкое применение, называется методом оценки и пересмотра проектов (Project Еvа1uation and Reiew Technique -- PERT). При вычислении ожидаемого времени выполнения проекта методом РЕRТ используются показатели ожидаемого времени выполнения операций. Оставшаяся часть алгоритма аналогична описанным выше алгоритмам, применяемым в случаях, когда время выполнения операций является фиксированной величиной.

Если время выполнения операций подвержено влиянию неопределенности, то большое значение приобретают некритические пути в графе, когда могут изменяться сроки выполнения всех операций. На практике может оказаться, что путь, который на основе ожидаемых значений сроков считался некритическим, становится критическим в соответствии с результатами метода определения критического пути.

В основу метода РЕRТ положена предпосылка о проведении продолжительности операции. Предполагается, что время выполнения каждой отдельно взятой операции аппроксимируется p-распределением. Если это верно, то распределение времени выполнения проекта в целом является нормальным. Метод РЕRТ может применяться при анализе конкретного проекта только в случае выполнения данной предпосылки. График р-распределения изображен на рис. 17. Возможное наименьшее время выполнения операции называют оптимистическим сроком (а), а возможное наибольшее время ее выполнения - пессимистическим сроком (b).

Пику распределения соответствует наиболее вероятное время выполнения операции (m). Необходимо произвести оценку каждого из этих трех сроков для всех операций, входящих в граф.

Исходя из этих трех значений можно найти ожидаемую продолжительность операции (t) и ее дисперсию. Ожидаемая продолжительность операции определяется следующим образом:



Соответствующая дисперсия ожидаемой продолжительности определяется по формуле:


П лотность

вероятности




Срок выполнения

а m b

Оптимистический Пессимистический

Наиболее вероятный
Рис. 17. Стандартное -распределение для времени выполнения операций
Время выполнения проекта можно найти непосредственно из графа, используя для этого ожидаемые значения продолжительности операций. Предполагается, что время выполнения проекта в целом распределено по нормальному закону.

В предположении, что сроки выполнения операций не зависят друг от друга, среднее значение нормального распределения определяется как сумма математических ожиданий продолжительности критических операций, а дисперсия - как сумма их дисперсий. Полученное нормальное распределение можно использовать для оценки вероятности завершения проекта к заранее установленной дате.

Алгоритм метода РЕRТ аналогичен анализу сетевого графа с фиксированными значениями продолжительности операций.

1.Составить список всех операций, входящих в проект, с указанием непосредственно предшествующих операций, а также оптимистического, наиболее вероятного и пессимистического сроков их выполнения.

2. Построить сетевой граф.

3.В предположении, что время выполнения любой операции аппроксимируется р-распределением, оценить для каждой операции ожидаемое время ее выполнения и его дисперсию.

4. Используя ожидаемые значения сроков выполнения операций, найти продолжительность проекта в целом.

5. Определить критические операции и критический путь.

6. С помощью значений дисперсии для критических операций оценить дисперсию ожидаемой продолжительности всего проекта.

Пример: Процесс создания и серийного производства нового вида продукта компаний "НЕВА" включает в себя следующие операции (см. табл. 13).

1. Определим ожидаемое число недель, необходимое для выполнения проекта.

Какие операции являются критическими?

2. Какова вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель?
Таблица 13. Таблица операций и сроков их выполнения для примера 10

Опера-ция	Непосред-ственно, предшест-вующие операции	Сроки выполнения операций, недель
		Оптимисти-ческий, a	Наиболее вероятный, m	Пессимисти-ческий,b
A B C D E F G H I	- A - C B,D E B,D G F,H	1,5 2 1 1,5 0,5 1 3 3 1,5	2 2,5 2 2 1 2 3,5 4 2	2,5 6 3 2,5 1,5 3 7 5 2,5

Решение

Ожидаемые сроки выполнения операций и соответствующие дисперсии приведены в таблице 14.

Ниже приведен сетевой граф с указанием ожидаемой продолжительности каждой операции (см. рис. 18).

Расчет ожидаемого срока выполнения проекта в целом производится обычным способом. Как показано на рис. 18, выполнение проекта предполагается осуществить за 15 недель. Критическими являются операции А, В, G, Н и I. Приведем для сравнения другие возможные пути в графе:


2

6

2

11







0

A

2

5

13

15

0

5

13

15

E

1

B

3

F

2
2 5


I

2



1
D

2

H

4

C

2

G

4
4 7 8





2

9

3

9
3 6


Рис. 18. Стрелочный граф с указанием ожидаемых сроков выполнения операций для примера 10



- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (ожидаемый срок, дней)

А, В, Е, F, I - занимает 10 недель,

С, D, Е, F, I - занимает 9 недель,

С, D, G, H, I - занимает 14 недель.
Следует отметить, что путь - С,D,G,Н, I - занимает время, которое меньше выполнения критического пути всего на одну неделю. Поэтому небольшие изменения времени выполнения некоторых операций могут привести к изменению критического пути.

Дисперсия ожидаемого времени выполнения всего проекта определяется как сумма дисперсий критических операций:

²=²_A+²_B+²_G+²_H+²_I

следовательно,

²= 1/36 + 16/36 + 6/36 +4/36 + 1/36 = 38/36 =1,11 недель²

Стандартное отклонение времени выполнения проекта составит:

=1,03 недель

Вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель, можно найти следующим образом: Шестнадцать недель составляют z стандартных отклонений от среднего, где:



По таблице стандартного нормального распределения находим:

Р (z > 0,97) =0,166.

Следовательно, вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель, равна 16,6%.
Таблица 14. Расчет ожидаемых сроков выполнения операций и их дисперсий по данным примера 10

Операция	Ожидаемый срок выполнения	Дисперсия, недель2
A B С D E F G H I	2 1 2 4 4 2	=1/36 =1/36 =4/36 =16/36 =4/36 =1/36

f(T)












15 16 T,недель

---

Рис. 19. Распределение времени выполнения проекта для примера 10

1.10 Распределение ресурсов

Сетевой граф отражает логическую последовательность выполнения операций, входящих в проект. Ни в одном из видов анализа, рассмотренных нами выше, не принимались во внимание какие-либо ограничения на обеспечение ресурсами. Исходный календарный план выполнения операций составлялся при условии, что все необходимые ресурсы имеются в достаточном количестве. Однако такая ситуация имеет место далеко не всегда, а если это так, то использование ресурсов в соответствии с потребностями, указанными в исходном календарном плане, может оказаться неэкономичным.

Метод составления календарного плана с учетом обеспечения ресурсами зависит от конкретных целей лиц, осуществляющих контроль за ходом выполнения проекта. Например, вопросом первостепенной важности может оказаться завершение проекта к определенному сроку безотносительно к затратам ресурсов - такие планы ограничены по времени. И наоборот, в условиях ограниченности в денежных средствах на выполнение проекта отводится определенное количество ресурсов, тогда как срок выполнения не принимается в расчет - такие планы ограничены по ресурсам. В данном контексте к ресурсам можно отнести рабочую силу, оборудование, сырье, денежные средства, производственные площади и т.д.

Перед тем как приступить к выполнение проекта, управляющий производством должен четко сформулировать критерий, в соответствии с которым будет осуществляться распределение ресурсов. В качестве такого критерия можно выбрать:

1. Максимальное использование ресурсов. Оценить использование ресурсов можно через соответствующий коэффициент:
Коэффициент использования = Общее количество используемых ресурсов

Общее количество наличных ресурсов
2. Минимизацию максимальных потребностей в ресурсах.

3. Минимизацию максимальных изменений потребностей в ресурсах.
Кроме названных, существует множество других критериев. Существует также множество возможных методов решения проблемы распределения ресурсов

---

, таких, как, например, эвристические методы, методы линейного и других видов математического программирования. Рассмотрим один из простейших алгоритмов, в котором используются графики ресурсов и "метод проб и ошибок".
1.11 Графики ресурсов
Если общая потребность в некотором ресурсе определяется на основе постоянных интервалов, например, за один день или за одну неделю, то можно построить график ресурса. Ресурсы, требуемые для осуществления каждой работы, складываются по всем работам, выполняемым одновременно, в предположении, что каждая работа начинается в наиболее ранний срок ее выполнения. Необходимо построить отдельные графики по каждому виду ресурса. На рис. 20 схематично изображен график ресурса "рабочая сила". Как следует из приведенного графика, иногда потребности в рабочей силе превышают ее наличие, но в то же время общее число требуемых человеко-часов не превосходит их наличного количества.

Если потребность в ресурсе превысила его лимит, необходимо либо вложить в проект дополнительное количество ресурса, либо пересмотреть календарный план выполнения операций. Иногда в таких ситуациях необходимо задержать срок выполнения проекта. Несмотря на то, что некоторые операции проекта не имеют явной логически последовательной взаимосвязи, одновременное их выполнение часто оказывается невозможным вследствие ограничений на ресурсы. Это ограничение можно отразить на графике ресурса, если провести линию, соответствующую наличному количеству данного ресурса. Такой прием позволит не планировать выполнение определенных операций на один и тот же период.




Потребности

в рабочей силе

20

15

10 Наличие

---

5




5 10 15 20 Время, недели
Рис. 20. График ресурса "рабочая сила"
Пример 11. Компания с ограниченной ответственностью "ТРАСТ" заключила контракт на проведение работ по асфальтированию стоянки автомобилей. Менеджер проекта установил, что данная работа состоит из восьми основных операций. Приведем детальное описание этих операций:

Таблица 15. Операции для примера 11, с указанием сроков выполнения и потребностей в рабочей силе

Операция	Предшествующие Операции	Время, дней	Число человек, требуемое для выполнения операции
A B C D E F G H	- - - A C B,E C F,G	3 6 7 8 4 3 10 3	1 1 2 2 1 2 2 1

Ввиду необходимости срочного выполнения работ на других участках, "ТРАСТ" может выделить только четырех человек для проведения работ на автомобильной стоянке. Определим, сколько времени займет проведение работ и как следует распределить рабочих. Предположим, что каждый из рабочих может выполнять любую операцию.

Решение

Предположив, что все операции начинаются в наиболее ранний срок, построим соответствующий график "рабочей силы". После этого можно составить календарный план выполнения операций, удовлетворяющий ограничению на количество работников. Сначала построим сетевой граф и определим критический путь.


3

12




A

3

D

6
4


11

14




B

6

---

F

3

H

3

20

0

20




0

G

10

C

7
1 3 5 6


E 4

17

17







7

7
2
Рис. 21. Стрелочный граф для примера 11



- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (стандартные сроки, дней)
Время выполнения проекта в целом, если не принимать во внимание обеспечение ресурсами, составляет 20 дней. Критический путь выглядит следующим образом: С - G - Н.

В предположении, что выполнение всех операций начинается в наиболее ранние сроки, посмотрим график Ганта и соответствующий график ресурса. График Ганта отражает распределение резерва времени на момент окончания каждой операции. С его помощью мы можем определить, какие операции выполняются одновременно и по каким операциям можно изменить календарный план их выполнения таким образом, чтобы эти изменения не привели к задержке выполнения проекта в целом.

A D

(1) 3 (2) 11

B

(1) 6

E F

(1) 11 (2) 14

C G H

(2) 7 (2) 17 (1) 20
операции рабочая сила










5 10 15 20 день

---

Смотрите также файлы

• Календарнотематическое планирование киноуроков на 20222023 учебный год месяц Тема класс ответственный сентябрь Киноурок Мандарин (понятие радость за другого).docx

• Институт строительства и архитектуры Направление строительство зданий, сооружений и развитие территорий Внутренняя политика Александра 3.docx

• Использование методики кластерной оценки для оптимизации образовательного процесса в моу сош 37.docx

• Превращение и сохранение энергии.docx

• Федор Емельяненкою. Достижение.docx