Файл: Теория и устройство судна.pdf

194 и продольной. Рассматривая наклонения в поперечной плоскости, определяемые углами крена судна, изучают его поперечную остой-
чивость. Наклонения в продольной плоскости, определяемые уг- лами дифферента, характеризуют его продольную остойчивость.
В зависимости от характера внешних сил остойчивость делят на статическую и динамическую. Областью статической остой-
чивостью являются случаи постепенного наклонения судна, когда силами инерции и сопротивления воды можно пренебречь. К обла- сти динамической остойчивости относятся быстрые наклонения судна, когда необходимо учитывать действие сил инерции и сопро- тивления воды.
9.2 Теорема Эйлера
Изучение остойчивости судна проводится в условиях его вер- тикального равновесия, при которых удовлетворяется первое урав- нение равновесия (Δ=
γ
∙ ). Таким образом, предполагается, что объёмное водоизмещение судна при его наклонениях остаётся неизменным в силу неизменности веса судна Δ и плотности забор- ной воды
γ
. Наклонения, при которых подводный объём судна не изменяется, называются равнообъёмными наклонениями, а ватер- линии, отсекающие одинаковые подводные объёмы, – равнообъём-
ными ватерлиниями.
Согласно теореме Эйлера, в общем случае при равнообъ-
ёмном наклонении плавающего
тела на бесконечно малый угол
dφ его ватерлинии до и после
наклонения пересекаются по
прямой, проходящей через их
общий центр тяжести F
(Рис.113).
Другая формулировка теоремы Эйлера гласит: ось бесконечно
малого равнообъёмного наклонения плавающего тела лежит в
плоскости ватерлинии и проходит через центр тяжести её пло-
щади.
Рис. 113 К формулировке теоремы
Эйлера

195
Заметим, что, изображая на рисунке наклонения судна, мы бу- дем, как правило, наклонять не само судно, а след ватерлинии (в обратном направлении), как показано на Рис. 113. Это не меняет существа задачи, так как во всех задачах статики судна нас будет интересовать не положение судна в пространстве, а его положение относительно поверхности воды, которая условно принимается наклонной.
В практических расчётах теорему Эйлера считают справедли- вой не только при бесконечных малых, но и при конечных, но ма- лых наклонениях. Если судно прямобортное, то в пределах его прямобортности теорема Эйлера справедливо для любого угла наклонения.
9.1 Схема образования восстанавливающего момента
9.3.1 Поперечное наклонение судна
Момент внешних сил, вызывающий поперечное наклонение
(крен) судна, называется кренящим моментом (Мкр).
При воздействии момента судно наклоняется, но обычно не опрокидывается. Более того, как только прекращается действие момента, оно возвращается в исходное положение.
Восстанавливающий момент (Мв) – это момент сил тяжести и поддержания поперечным и продольным наклонениям соответ- ствуют поперечный и продольный восстанавливающие моменты.
Рассмотрим малое поперечное равнообъёмное наклонение суд-
на (наклонение, в процессе которого водоизмещение судна не из- меняется). Схема образования восстанавливающего момента при наклонении судна показана на Рис. 114.
Предположим, что в исходном положении крен отсутствует, а для простоты изображения на схеме показываем наклонение ВЛ.
В начальный момент судно находилось в равновесии под дей- ствием сил тяжести и поддержания g
Δ=
g
γ
, находившихся на од- ной линии. Под воздействием внешнего кренящего момента Мкр судно наклонилось на угол крена θ, при этом центр величины ЦВ сместился в сторону наклонения, и сила поддержания совместно с силой тяжести создали восстанавливающий момент Мв, равный по велечине кренящему моменту Мв = Мкр. Равенство кренящего и

196 восстанавливающего моментов выражает основной закон статиче- ского наклонений. Смещение ЦВ в сторону наклонения обусловле- но тем, что при наклонении судна один борт (в приведенной схеме
– правый) погружается в воду, а другой (левый) выходит из воды.
Это приводит к перераспределению погруженного объёма корпуса судна и, как следствие, – к смещению центра тяжести объёма.
Согласно теореме Эйлера, ось малого равнообъёмного накло- нения проходит через ЦТ площади действующей ВЛ. Поскольку на приведенной схеме в начальный момент крен отсутствовал, то в силу симметрии корпуса ЦТ площади действующей ВЛ находился в ДП. В этой точке пересекаются ватерлинии судна ВЛ и ВЛ
θ
. При малых наклонениях кривую центра величины СС
θ
можно заменить
дугой окружности радиуса r, называемого начальным поперечным
метацентрическим радиусом. Центр этой окружности находится в точке т,которая называется начальным поперечным метацентром.
Возвышение метацентра над центром тяжести называется
начальной поперечной метацентрической высотой (МЦВ) h=z
m
-
z
g
. Возникший при наклонении восстанавливающий момент как момент пары сил (тяжести и поддержания) равен произведению одной из сил на плечо, равное кратчайшему расстоянию между ли- ниями действия этих сил. Это плечо обозначается l
сm
и называется
плечом статической остойчивости, или плечом восстанавливаю-
щего момента. Восстанавливающий момент M
в
=l
с m
g
Δ (кНм) или в размерности [тм] M
в
=l
с m
Δ. Из прямоугольного треугольника при
m l
c m
= h s in
θ
. В итоге получаем метацентрическую формулу попе- речной остойчивости, тм:
Мв=Δhsin
θ .
(22)
Поскольку наклонения малы, что соответствует малым значе- ниям угла крена θ, можно воспользоваться известными математике соотношениями, справедливыми для малых углов, выраженных в радианах (радиан – единица безразмерная) sinθ≈θ=θ
0
/57 ,3
0
;
c o sθ≈1 , 0 и получить метацентрическую формулу поперечной
остойчивости в окончательном виде, тм:
(23)

197
Рис. 114 Схема образования восстанавливающего момента при наклонении
судна: а – судно в прямом положении; б – в наклонном положении; в – схема наклоне- ния

198
Приведенное выражение показывает линейную зависимость
восстанавливающего момента от угла крена. При положительных значениях МЦВ (точка m расположена выше точки G) восстанавли- вающий момент положителен; при h=0 (точки m и G совпадают) восстанавливающий момент равен нулю, и судно остойчивостью не обладает; при отрицательных значениях МЦВ (точка m расположе- на ниже точки G) возникающий при наклонении судна момент уве- личивает кренящий момент. Таким образом, знак и величина вос- станавливающего момента определяются знаком и величиной
МЦВ, и поэтому МЦВ используется в качестве показателя началь- ной остойчивости судна. Произведение Δh называется коэффици-
ентом поперечной остойчивости.
9.3.2 Продольное наклонение судна
Момент внешних сил, вызывающий продольное наклонение
(дифферент) судна, называется дифферентующим моментом
(М
диф
).
Схема образования восстанавливающего момента при про- дольном наклонении показана на Рис. 115. В общем случае в силу большой величины отношения длины судна к его осадке любые продольные наклонения можно считать малыми, поэтому все до- пущения, примененные при рассмотрении поперечных наклонений, применимы для продольных наклонений. Продольный метацентр обозначается М, его координаты – х
M
и z
М
, МЦ радиус – R, про- дольная МЦВ – Н=z
M
– z
g
. Точкой F на схеме обозначен ЦТ пло- щади действующей ВЛ. Выражение (22) для продольных наклоне- ний записывается в виде, тм:
Поскольку на практике в качестве параметра продольного наклонения используются велечина дифферента, а не его угол, то по Рис. 115 можно определить, что tgψ=D
f
/L . Поскольку угол ψ мал, то в силу свойств малых углов sinψ≈tgψ, а выражение про- дольного восстанавливающего момента имеет вид, тм:
(25)
(24)

199
Основной закон статических наклонений для продольных наклонений выражается равенством дифферентующего момента
М
диф
и продольного восстанавливающего момента М
вψ
Выражение (25) называется метацентрической формулой про-
дольной остойчивости, а произведение ΔH – коэффициентом
продольной остойчивости.
Рис. 115 Схема продольного наклонения
Если в выражении (25) принять дифферент равным одному метру D
f
= 1 , 0 м, то получим выражение момента, дифферентую- щего на 1 метр
Если при расчёте координат ЦТ судна получено x g
≠х
с
, то суд- но будет иметь дифферент, создаваемый продольным моментом сил тяжести и поддержания, равным Δ(x
g
–х
с
). Величина диффе- рента определяет выражением
Осадки носом и кормой определяются по формулам где d – осадка по грузовому размеру.
(26)

200
9.4 Метацентрические радиусы
Рассмотрим равнообъёмное наклонение плавающего тела про- извольной формы (Рис. 116). Тело имеет погружённый объём V, площадь ватерлинии S, ЦТ площади ватерлинии находится в точке
F, ось ординат 0
y
лежит в плоскости ВЛ. При бесконечно малом наклонении тела на угол dφ центр величины тела – точки С – сме- щается в сторону наклонения по дуге окружности радиуса ρ, центр этой окружности находится в точке m.
Рис. 116 Схема наклонения тела произвольной формы
Пусть ВЛ – начальная ватерлиния плавающего тела, соответ- ствующая его прямому положению, а В
1
Л
1
– близкая к ней равно- объёмная ватерлиния после наклонения тела на бесконечно малый угол dφ. Согласно теореме Эйлера, ось рассматриваемого равно- объёмного наклонения проходит через точку F – ЦТ площади ва- терлинии ВЛ (по нормали к плоскости чертежа). В результате входа в воду клина FЛ
1
Л и выхода из воды равновеликого ему клина
FB
1
B центр величины переместится из точки С в точку С
1
с орди- натой dy
С
. Статический момент погруженного объёма тела изме-

201 нится на величину dM
V
= V dy
C
. Поскольку dφ бесконечно малый,
dy
C
можно считать равной дуге СС
1
, тогда dy
C
=ρdφ, а
d МV =V ρd φ . Изменение статического момента погруженного объ-
ёма тела равно статическому моменту объёма, вызвавшему это изменение – объёма тела, заключенного между ватерлиниями ВЛ и
В
1
Л
1
Для определения последнего выделим элементарный объём, представляющий собой призму с основанием dS и вертикальными образующими. Объём призмы равен dS(y – y
f
)d φ , а статический момент объёма – dSy(y–yf)dφ. Проинтегрировав полученный эле- ментарный статический момент по площади ватерлинии S, получим искомое значение dМ
V



−
=
−
=
S
S
S
f
f
ydS
y
dS
y
d
dS
y
y
y
d
d
V
]
[
)
(
2




(27)
В полученном выражении – момент инерции площа- ди ватерлинии относительно ее продольной оси 0
х
;
Следовательно, выражение (27) принимает вид
,
где I
F
– момент инерции площади ватерлинии относительно оси наклонения.
В итоге получаем выражение для начального метацентриче- ского радиуса
Перейдя от плавающего тела произвольной формы к судну, имеющему строгую ориентацию ватерлинию относительно осей 0
х
и 0
у
, наклонениям судна относительно главных центральных осей ватерлинии будут соответствовать два главных метацентра m и М и два главных метацентрических радиуса r и R, один из которых бу- дет наименьшим, а другой – наибольшим. В частном случае, когда судно сидит прямо и на ровный киль, проекция на ОП главной про- дольной оси совпадает с осью 0
х
, а проекция главной поперечной
(29)
(28)

202 оси 0
yf
параллельна оси 0
y
. Соответственно этому выражения для поперечного r и продольного R метацентрических радиусов имеют вид где I
x
– момент инерции площади ватерлинии относительно главной продольной оси; I
yf
– момент инерции площади ватерлинии относительно главной поперечной оси (оси, параллельной 0
y
, про- ходящей через ЦТ площади ватерлинии – точку F).
Момент инерции площади плоской фигуры, имеющей размеры
I вдоль оси 0
х
и b вдоль оси 0
у
, определяются выражением где k
x
и k
y
– коэффициенты, зависящие от формы фигуры; для прямоугольника k
х
=k
y
= 1 / 1 2 .
Для судна выражения (31) имеют вид
l
x
=k
x
L B
3
; l