Файл: Ципилева Т.А_Геоинформационные системы_Учебное пособие_Томск_ТМЦДО_2004.pdf

109

Рисунок 3.7 – Поликоническая проекция

Для каждого конкретного задания выбирают ту или иную зависимость полярных координат от широты до долготы.

Д) Видоизмененная простая поликоническая проекция

В 1913 г. на Mеждународной конференции в Париже были приняты «Основные положения по созданию Международной миллионной карты мира». Карту было предложено создать на

1:1 000 000.

Земная поверхность, принимаемая за поверхность эллипсоида вращения, делится линиями меридианов и параллелей на трапеции. Трапеции изображаются на отдельных листах в одной и той же проекции (для масштаба 1:1 000 000 в видоизмененной простой поликонической). Листы Международной карты мира масштаба 1:1 000 000 имеют определенные размеры сторон трапеций – по меридианам 4°, по параллелям 6°; на широте от 60° до 76° листы сдваивают, они имеют размеры по параллелям 12°; выше 76° листы счетверяют, их протяжение по параллелям 24°. Номенклатура сдвоенных и счетверенных листов карты складывается из обозначений широтного пояса и соответственно двух

110

или четырех колонн, например Р 39,40. Особенности видоизмененной простой поликонической проекции и распределение искажений в пределах отдельных листов карты масштаба 1:1 000 000 следующие. Меридианы изображаются прямыми линиями. Длина двух меридианов, отстоящих от среднего на ±2° по долготе (на ±4° на сдвоенных листах и на ±8° – на счетверенных), искажений не имеет. Крайние параллели каждого листа (северная и южная) являются дугами окружностей, центры этих параллелей находятся на среднем меридиане, длина их не искажается.

20

10

Рисунок 3.8 − Трапеция в простой поликонической проекции

Картографическая сетка строится через 1° по широте и по долготе, на сдвоенных листах по долготе через 2°, на счетверенных – через 4°. Таким образом, все листы карты масштаба 1:1 000 000 имеют пять параллелей и семь меридианов. Криволинейные меридианы простой поликонической проекции заменяются в видоизмененной поликонической проекции прямыми, соединяющими соответственные точки крайних параллелей, поэтому масштабы на внутренних параллелях будут меньше единицы. Минимальный масштаб получим на средней параллели каждого листа карты.

Достоинством видоизмененной простой поликонической проекции является небольшая величина искажений. Анализ в пределах листа карты показал, что искажения длин не превы-

111

шают 0,10%, площади 0,15%, углов 5′ и являются визуально практически неощутимыми. Недостатком этой проекции считают появление разрывов при соединении листов по меридианам и параллелям.

Е) Псевдоцилиндрические проекции

Рисунок 3.9. – Псевдоцилиндрическая проекция

Параллели в этих проекциях изображаются в виде параллельных линий, меридианы – в виде кривых (дуг, синусоид, гипербол, парабол или эллипсов.), симметричных относительно среднего прямолинейного меридиана. Полюс изображается точкой или полярной линией. Длина линии устанавливается или получается из задания. Сетка не совпадает с направлением меридианов и параллелей, за исключением среднего меридиана и экватора. Псевдоцилиндрическая проекция используется при изображении всей поверхности или ее большей части в мелких масштабах.

Ж) Проекция Гаусса-Крюгера

В 1825 г. К. Гаусс впервые решил задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Частным случаем этой задачи является отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. В 1912 г. А. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой поверхности. После этого проекция получила название Гаусса-

112

Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодези- ческих работах.

В проекции Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается в виде совокупности меридианных зон, ширина которых равна 6° (для карт масштабов 1:500 000 – 1:10 000) и 3° (для карт масштабов 1:5 000 –1:2 000). Меридианы

ипараллели изображаются кривыми, симметричными относительно осевого меридиана зоны и экватора, однако их кривизна настолько мала, что западная и восточная рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с северной

июжной рамками карт, изображаются прямыми на картах крупных масштабов (1:2 000–1:50 000), на картах мелких масштабов они изображаются кривыми. Начало прямоугольных координат каждой зоны находится в точке пересечения осевого меридиана зоны с экватором.

Рисунок 3.10 − Общий вид проекции Гаусса-Крюгера

Территорию бывшего СССР, например, покрывают 29 шестиградусных зон с номерами от 4 по 32. Изоколы в проекции Гаусса-Крюгера имеют вид овалов, вытянутых вдоль осевого меридиана; в пределах отдельных листов карт они имеют вид прямых. Максимальные искажения в каждой зоне будут при значениях широт 0° и ±3°, в этих точках они достигают 0,14%. На расстоянии около 200 км по обе стороны от осевого меридиана и параллельно ему находятся две изоколы с нулевыми искажениями длин. При дальнейшем удалении от осевого меридиана масштаб длин становится больше единицы и достигает максимума на пересечении крайних меридианов зоны с эквато-

ром (+0,05%) .

113

Осевые меридианы трехградусных зон совпадают попеременно то с осевыми меридианами шестиградусных зон, то с крайними меридианами этих зон.

Номер зоны N и долгота осевого меридиана L0 в градусах связаны между собой равенством L0 = 6N – 3.

Чтобы исключить из обращения отрицательные ординаты и облегчить пользование прямоугольными координатами на топографических картах, ко всем координатам Y добавляют постоянное число 500 000 (метров). Точка пересечения осевого меридиана и экватора (начало координат) имеет значения: X = 0 км;

Y = 500 км.

Чтобы знать, к какой зоне относятся координаты, необходимо к значению Y слева приписать номер зоны. Например, запись координаты Y =30 766 789 м означает, что точка находится в 30-й зоне, ее реальная координата равна 266 789 м. Территория РСФСР находится в Северном полушарии, следовательно, все координаты Х – положительные. Координаты Y будут отрицательными, если точка находится левее осевого меридиана, и положительными, если правее.

3.3 Преобразования цифровых карт в ГИС

Функции преобразования плоскости предназначены для аналитического трансформирования изображения с использованием математического преобразования плоскости по набору опорных точек (тиков). Опорные точки выбираются исходя из особенностей изображения (узловые точки, сетки, узлы пересечения параллелей и меридианов, углы рамки, характерные точки контура и т.п.).

Для осуществления геометрического преобразования определяются две системы координат:

- первая система координат связана с исходным изображением (до преобразования), обозначим координаты некоторой точки в этой системе xс, yс ;

- вторая система связана с трансформированным изображением (после преобразования), обозначим координаты точки в

этой системе xс1 , yс1 .

114

Рисунок 3.11 – Пример совмещения карт разных масштабов

После задания соответствующих опорных точек в первой и второй системах координат (ТИКов) определяется закон преобразования, по которому и происходит преобразование координат всех точек и в конце – всей цифровой карты.

1.Преобразование подобия характеризуется тем, что все фигуры на плоскости переводятся в геометрически подобные им фигуры. Все углы между пересекающимися прямыми сохраняют свои значения, а все линейные размеры увеличиваются или уменьшаются в одинаковое число раз. Практически преобразование подобия решает задачу перехода от одной декартовой системы координат к другой. Чтобы задать преобразование, достаточно выбрать в качестве опорных точек любые две точки плоскости и указать старые и новые координаты этих точек. Удобно принять в качестве опорных точек начало координат и какую-либо точку, лежащую на оси X или Y.

2.Аффинное преобразование, которое называют также линейным преобразованием. Это преобразование, которое всегда переводит прямые линии в прямые, при этом параллельные прямые остаются параллельными. Углы между пересекающимися прямыми могут изменяться или оставаться прежними. Рассмотренное выше преобразование подобия является частным случаем аффинного преобразования. Можно сказать также, что произвольное аффинное преобразование переводит заданный квадрат в любой заданный параллелограмм, в то время как преобразование подобия переводит квадрат в любой другой заданный квадрат. Чтобы задать аффинное преобразование, доста-

115

точно выбрать в качестве опорных точек три любые точки, не лежащие на одной прямой, и указать старые и новые координаты этих точек. Удобно принять в качестве опорных точек начало координат и две точки, лежащие соответственно на осях X и Y. Данный тип преобразования не может обеспечить точность преобразования опорных точек, но зато сохраняет все прямые линии прямыми.

3. Полиномиальное преобразование. Это один из типов не-

линейных преобразований, т.е. таких, которые гарантируют точное преобразование для любого количества опорных точек, расплачиваясь за это искривлением прямых линий. Как известно из математического анализа, если заданы значения некоторой функции вещественного или комплексного переменного в N различных точках, то можно единственным образом построить полином степени N–1, принимающий в этих точках заданные значения (интерполяционный полином Лагранжа). Именно таким образом строится закон преобразования координат для полиномиального типа преобразования. Точки плоскости рассматриваются как комплексные числа. Для любого количества опорных точек гарантируется точное (в пределах погрешности вычислений) преобразование их координат в заданные новые значения. Интересной особенностью этого преобразования является то, что, несмотря на искривление линий, все углы пересечения линий сохраняют неизменное значение.

К сожалению, полиномиальное преобразование как средство решения задачи уточнения координат имеет ряд недостатков, основной из которых − чрезмерное искривление линий, резко усиливающееся по мере удаления от опорных точек.

4. Локальное преобразование. В отличие от полимиально-

го типа преобразования, данное преобразование основано не на строгих математических предпосылках, а скорее на соображениях здравого смысла. Идея заключается в следующем. Для каждой из опорных точек можно тем или иным способом построить такую нелинейную функцию, которая преобразует старые координаты этой точки в ее новые координаты, а для остальных точек изменяет координаты тем менее, чем дальше точка отстоит от опорной. На большом расстоянии от опорной точки изменение координат должно стремиться к нулю. Построив подоб-