Файл: л17-18_МС_осадка темпер.doc

17.2. Пример расчёта статически неопределимой рамы на температурное воздействие в обычной форме

Со стороны внутренних волокон стержней левого контура рамы (рис. 17.2,а) температура повысилась на = 30С, со стороны наружных волокон левой стойки и верхних волокон ригеля температура понизилась на= -50С. Поперечные сечения элементов рамы прямоугольные размеромbh(h = 0,2 м). Коэффициент линейного температурного расширения материала, из которого изготовлены стержни рамы, известен и равен. Требуется построить эпюры внутренних усилий от заданного температурного воздействия.

1. Определение степени статической неопределимости рамы:

n_st= 3К – Н = 32 – 5 = 1.

2. Выбор статически определимой основной системы метода сил. Лишнюю связь заданной рамы удалим путём введения цилиндрического шарнира в её верхний левый узел (рис. 17.2,б). Читателям предлагается произвести кинематический анализ полученной основной системы и убедиться в её геометрической неизменяемости.

3. Построение эпюры изгибающих моментов М₁и эпюры продольных силN₁в основной системе от Х₁= 1 (рис. 17.2,в).

4. Построение условных эпюр, связанных с перепадами приращений температур по высоте поперечного сечения и приращениями температур на уровне центров тяжести поперечных сечений(рис. 17.2,г,д). При построении этих эпюр учтено, чтоh= 0,2 м, и приняты во внимание следующие численные значения величини:

– для левого ригеля и левой стойки:

= 30 – (–50) = 80С,== –10С;

– для правого ригеля:

= 0 – (–50) = 50С,== –25С;

– для правой стойки:

= 30 – 0 = 30С,== 15С.

Ординаты эпюры отложены со стороны более "тёплых" волокон, на эпюре жезафиксирован знак "плюс" на элементах с положительными приращениями температур на уровне центров тяжести поперечных сечений и знак "минус" – с отрицательными (см. п. 12.2 и пример 12.2.1 второй части настоящего курса лекций).

5. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения метода сил

₁₁Х₁+_1t= 0. (17.1,а)

Как и при силовом воздействии, в рамных системах коэффициент ₁₁вычисляется без учёта влияния на величину искомого перемещения деформаций сдвига и растяжения–сжатия.

где .

Перемещение по направлению Х₁от заданного изменения температуры в основной системе определим по формуле (17.2), вычисляя определённые интегралы сопряжением эпюры М₁с эпюройи эпюрыN₁с эпюрой.

6. Вычисление неизвестного метода сил из уравнения (17.1,а):

7. Определение изгибающих моментов в сечениях заданной рамы от температурного воздействия и построение эпюры M_t(рис. 17.3,а). Из первого выражения соотношений (17.3) имеем:

M_t=M₁X₁,

где Х₁= –15EJ.

8. Кинематическая проверка решения задачи. Для этой проверки используем формулу (17.4), в которой сохраним только первый член, ибо коэффициент ₁₁выше нами был определён только с учётом деформаций изгиба.

Результат сопряжения эпюр M_tи М₁практически совпал с численным значением правой части разрешающего уравнения (17.1,а)

₁₁ X₁= –_1t,

что подтверждает правильность решения поставленной задачи.

9. Построение обычным порядком эпюры поперечных сил Q_t(рис. 17.3,б) и эпюры продольных силN_t(рис. 17.3,в). В нашей задаче окончательную эпюру продольных силN_tможно также получить, используя последнее выражение соотношения (17.3), которое для рассматриваемой задачи примет вид:

N_t=N₁ Х₁.

Обращаем внимание читателя на то, что ординаты окончательных эпюр внутренних усилий (М_t,Q_t,N_t) зависят от абсолютного значения изгибной жёсткости поперечного сечения элементов рамыEJ.

17.3. Пример расчёта статически неопределимой рамы на температурное воздействие в матричной форме

Встатически неопределимой раме (рис. 17.4,а) возможны следующие независимые друг от друга варианты температурных воздействий: первый – повышение температуры со стороны внутренних волокон стержней левого контура на= 120С, второй – повышение температуры со стороны внутренних волокон элементов среднего контура на= 80С, третий – понижение температуры со стороны наружных волокон левой стойки и ригелей на= –40С. Ширина прямоугольных поперечных сечений стоек и ригелей рамы одинакова и равнаb; высота поперечного сечения стойкиh_c = h, ригеля –h_p= 1,587h(h = 0,3 м). Коэффициент линейного температурного расширения материала, из которого изготовлены элементы рамы, равен. Требуется построить эпюры внутренних усилий в заданной раме от каждого из вышеперечисленных вариантов температурных воздействий.

Размеры прямоугольных поперечных сечений рамы заданы так, что сохраняется соотношение изгибных жесткостей поперечных сечений ригелей и стоек, принятое для расчёта этой же рамы, в матричной форме на силовое воздействие в п. 16.8 шестнадцатой лекции, а именно: EJ_p:EJ_c = 2 : 0,5. ПринявEJ_p= 2EJ,EJ_с= 0,5EJ, получим численное значение жесткостного параметраEJ:

.

Каждое из этих соотношений даёт

.

Для расчёта рамы на температурное воздействие в матричной форме используем соотношение (17.10), в котором примем L = M,B = B_M,S_t = M_t, так как вычисление матрицы внешней жёсткости принятой основной системы метода сил (рис. 17.4,б) будем производить только с учётом изгибных деформаций. В этом случае матричное выражение (17.10) перепишется:

M_t = –M(M^T B_M M)^-1 (L^T_t B_t T).

1. Определение степени статической неопределимости рамы и выбор основной системы метода сил (рис. 17.4,б). Основная система для расчёта рамы на температурное воздействие будет такой же, как и при её расчёте на силовое воздействие в матричной форме (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

2. Построение эпюр изгибающих моментов и продольных сил в основной системе метода сил от Х₁= 1 и Х₂= 1 (рис. 17.5,а). Эпюры изгибающих моментов М₁и М₂от этих воздействий были получены ранее (см. п. 16.8, рис. 16.14,в,г).

3. Формирование матрицы изгибающих моментов М от Х₁= 1 и Х₂= 1 в основной системе и матрицы внутренней упругой податливости В_Мв соответствии с принятой на рис. 16.16 нумерацией грузовых участков и сечений (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

5. Вычисление элементов матрицы внешней податливости принятой для расчёта основной системы метода сил (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

.

6. Обращение матрицы внешней податливости рамы (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

.

7. Нумерация участков и сечений для формирования матрицы изгибающих моментов и продольных сил от Х₁= 1, Х₂= 1 в основной системеL_t, матрицы температурной податливости сооруженияB_tи матрицы приращений температур Т (рис. 17.5,б). Заметим, что при расчёте рамы на температурное воздействие номера участков и их срединных сечений совпадают.

8. Формирование матрицы L_tпо эпюрам внутренних усилийM₁,N₁,M₂,N₂(рис. 17.5,а) в соответствии с принятой нумерацией срединных сечений.

9. Формирование матрицы температурной податливости сооружения B­_tв соответствии с принятой нумерацией участков (рис. 17.5,б).

,

где ,

;

.