Файл: л17-18_МС_осадка темпер.doc

. (17.20)

Матричное выражение (17.20) с учётом соотношения (17.19) в окончательной форме примет вид:

. (17.21)

Кинематическая проверка правильности вычисления элементов матрицы S_cпроизводится с помощью следующей матричной формулы:

L^T B S­_c = –_c. (17.22)

17.5. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в обычной форме

В раме, показанной на рис. 17.9,а, горизонтальная связь левой опоры получила перемещение влево на ₍₁₎= 2 см, вертикальная связь этой же опоры – вниз на₍₂₎= 1 см. Изгибная жёсткость поперечных сечений стержней рамы известна и равна постоянной величинеEJ. Требуется построить эпюры внутренних усилий от заданного смещения опорных связей.

В п. 17.2 эта же рама была рассчитана на температурное воздействие. Некоторыми результатами этого расчета воспользуемся в рассматриваемом примере.

1. Определение степени статической неопределимости и выбор статически определимой основной системы метода сил (см. п. 17.2, рис. 17.9,б).

2. Построение эпюры изгибающих моментов М₁и вычисление реакций в смещаемых связяхв основной системе от Х₁= 1 (рис. 17.9,в).

3. Вычисление коэффициентов разрешающего уравнения метода сил

₁₁Х₁+_1с= 0.

(см. п. 17.2).

Перемещение по направлению Х₁от заданного смещения опорных связей определим по формуле (17.13).

(рад).

4. Решение уравнения метода сил:

.

5. Определение изгибающих моментов в характерных сечениях рамы от заданных смещений горизонтальной и вертикальной связей левой опоры и построение эпюры М_с(рис. 17.9,г). Из первого выражения группы соотношений (17.14) следует:

M_c=M₁X₁, гдеX₁= 7610^-5EJ.

6. Кинематическая проверка эпюры М_спо формуле (17.15). В этой формуле сохраним только первый член, учитывающий изгибные деформации элементов рамы.

Результат сопряжения эпюр М_си М₁совпадает с численным значением правой части разрешающего уравнения метода сил₁₁Х₁= –_1с= –(-0,66710^-2) = 66710^-5с относительной погрешностью вычислений:

 = = 2,55 %,

что подтверждает правильность вычисления ординат эпюры М_с.

7. Построение эпюры поперечных сил Q_cпо эпюре изгибающих моментов М_си эпюры продольных силN_cпо эпюреQ_c. Читателям предлагается самостоятельно выполнить построение эпюрQ_c и N_c.

17.6. Пример расчёта статически неопределимой рамы на смещение опорных связей в матричной форме

В раме, показанной на рис. 17.10, возможны следующие независимые друг от друга кинематические воздействия: первое – перемещение вертикальной связи левой опоры вниз на ₍₁₎= 2 см, второе – перемещение горизонтальной связи вправо на₍₂₎= 1,5 см и вертикальной вверх на₍₃₎= 1 см опоры центральной стойки, третье – перемещение правой опоры вверх на₍₄₎= 3 см. Численные значения изгибных жесткостей поперечных сечений ригеляEJ_pи стоекEJ_срамы заданы:EJ_p= 2EJ,EJ_с= 0,5EJ(EJ– известное число). Требуется вычислить элементы матрицы изгибающих моментов М_сдля характерных сечений заданной рамы от каждого из вышеперечисленных кинематических воздействий.

Для расчёта рамы в матричной форме с учётом только изгибных деформаций её элементов используем соотношение (17.21). В этом случае L= М, В = В_М,S_c = M_cи матричное выражение (17.21) примет вид:

.

В дальнейшем воспользуемся некоторыми результатами расчёта этой же рамы на силовое воздействие (см. п. 16.8 шестнадцатой лекции).

1. Выбор основной системы метода сил (рис. 16.14,б, рис. 17.10), построение в ней эпюр изгибающих моментов от Х₁= 1, Х₂= 1 (рис. 16.14,в,г), нумерация участков и сечений (рис. 16.16), формирование матриц изгибающих моментов в основной системе от Х₁= 1, Х₂= 1 и внутренней упругой податливости рамы М и В_М, вычисление элементов матрицы внешней податливости= М^ТВ_ММ, обращение этой матрицы.

Примечание. Для расчёта рамы на температурное воздействие (см. п. 17.3) и в настоящем примере количество сечений на грузовых участках ригеля сохранено таким же, как и при расчёте рамы на силовое воздействие (рис. 16.16). Это обусловлено тем, что расчёт статически неопределимых систем на температурные и кинематические воздействия с помощью вычислительной техники производится вместе с расчётом на силовое воздействие. В частности, на кафедре строительной механике НГАСУ для расчёта статически неопределимых систем методом сил на все виды независимых друг от друга воздействий (силовые, температурные и кинематические) используется программа "Mefor", разработанная профессором В.Г. Себешевым.

2. Формирование матрицы реакций в связях, получивших перемещение, от Х₁= 1, Х₂= 1 в основной системе (рис. 17.11).

.

В первой строке этой матрицы сначала от Х₁= 1 (первый столбец), затем от Х₂= 1 (второй столбец), зафиксированы реакции вертикальной связи левой опоры, во второй – реакции горизонтальной связи опоры центральной стойки, в третьей – вертикальной связи опоры центральной стойки, в четвёртой – правой опорной связи. Напоминаем, что реакция в смещаемой связи вносится в матрицуR_cсо знаком "плюс", если её направление совпадает с направлением смещения связи, и со знаком "минус", – если не совпадает.

3. Составление матрицы величин перемещений опорных связей (в м) по вариантам воздействий.

4. Вычисление матрицы перемещений по направлениям Х₁и Х₂от заданных кинематических возмущений в основной системе, или матрицы свободных членов системы канонических уравнений (17.16).

_с==

5. Определение элементов матрицы неизвестных метода сил.

X = –^-1_c = –(M^T B_M M)^-1 (R_c E ­_(c)) =

=

.

6. Получение матрицы изгибающих моментов М_св заданной раме по вариантам кинематических воздействий (рис. 17.10) в соответствии с принятой нумерацией участков и сечений (рис. 16.16).

Читателям предлагается (используя соотношение (17.22), самостоятельно произвести кинематическую проверку правильности вычисления элементов матрицы М_си построить для заданной рамы сначала эпюры изгибающих моментов, а затем и эпюры поперечных и продольных сил от упомянутых выше смещений опорных связей.

17.7. Вопросы для самопроверки

1. Задана статически неопределимая система (балка, рама, ферма или комбинированная система). Требуется произвести её расчёт на конкретное температурное или кинематическое воздействие. Определите степень статической неопределимости системы, выберите один из вариантов статически определимой основной системы и запишите в общем виде систему канонических уравнений метода сил для расчёта сооружения на заданное воздействие. Какой смысл имеет i-я строка системы канонических уравнений? Поясните смысл коэффициентов_itи_icэтой системы уравнений. Запишите формулы для определения этих коэффициентов. Что означают параметрыM_ik(s),_k,h_k, ,N_ik(s), , ,_(k), входящие в эти формулы?

2. Как определяются внутренние усилия в заданном статически неопределимом сооружении от температурных или кинематических воздействий, если известны усилия в лишних связях X₁,X₂, …,X_j, …,X_n?

3. Как производится проверка правильности эпюр внутренних усилий, полученных для заданного сооружения от температурных или кинематических воздействий?

4. Почему усилия в лишних связях X₁,X₂, …,X_j, …,X_nи ординаты эпюр внутренних усилий в статически неопределимом сооружении при его расчёте на температурные или кинематические воздействия зависят от абсолютного значения жесткостей поперечных сечений элементов сооружения?

5. Задано статически неопределимое сооружение, подверженное fнезависимым друг от друга температурным воздействиям или, также независимым друг от друга, кинематическим воздействиям. Запишите в общем виде в матричной форме систему канонических уравнений метода сил для расчёта этого сооружения на температурные или кинематические воздействия. Сколько строк и столбцов содержится в матрицах_tи_сзаписанной системы уравнений?

6. Запишите матричные соотношения, используемые при расчёте статически неопределимых сооружений в случае температурных или кинематических воздействий:

а) для получения элементов матриц свободных членов _tи_ссистемы канонических уравнений метода сил;