ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14539
Скачиваний: 146
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
81
3
. Канонические системы ДУ высших порядков
Система ДУ высших порядков, разрешенная относительно
старших производных, называется канонической. Она имеет вид
1
(
)
(
1)
(
1)
1
1
1
( ,
,
, ...,
, ...,
,
, ...,
) (
1, )
i
n
m
m
m
i
i
n
n
n
y
f x y y
y
y
y
y
i
n
. (10.77)
Число
1
2
...
n
m
m
m
называется порядком системы (10.77). Кано-
ническая система (10.77) [в частном случае – одно уравнение n-го
порядка
( )
(
1)
( , ,
, ...,
)]
n
n
y
f x y y
y
приводится к соответствующей
ей нормальной системе уравнений, если принять все производные,
стоящие справа, за новые неизвестные функции.
З а м е ч а н и е. Обратное, вообще говоря, неверно: не всякую
систему ДУ можно свести к одному уравнению. Например, система
;
y
y z
z
распадается на два независимых уравнения.
Задача Коши для канонической системы (10.77) состоит в на-
хождении решения (10.70), в котором искомые функции
1
2
,
, ...,
n
y
y
y
вместе со своими производными до порядков соответ-
ственно
1
2
1,
1, ...,
1
n
m
m
m
принимают наперед заданные число-
вые значения при заданном значении x. Общее решение канониче-
ской системы (10.77) содержит
1
2
...
n
m
m
m
произвольных посто-
янных.
4
. Примеры
Пример 1. Привести каноническую систему дифференциаль-
ных уравнений
1
1
2
2
1
2
2
3
,
2
y
y
y
y
y
y
к нормальному виду.
Положим
1
3
,
y
y
2
4
y
y
. Тогда данную систему можно за-
писать в виде:
1
3
2
4
3
1
2
4
1
2
;
;
2
3
;
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
, которая
и является нормальной системой четвертого порядка. #
Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное
уравнение
2
0
y
k y
.
Положим y
z
; тогда y
z
и уравнение приводится к
нормальной системе уравнений:
2
,
y
z z
k y
. #
Пример 3. Свести систему
,
4
y
y
z z
y
z
(1) к одному
уравнению и найти решение системы.
Найдем z из первого уравнения: z
y
y
. Отсюда имеем
z
y
y
. Подставив значения z и z
во второе уравнение системы,
получим уравнение
2
3
0
y
y
y
– ОЛДУ с постоянными коэф-
фициентами; его общее решение:
3
1
2
x
x
y
C e
C e
. Из равенства
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
82
z
y
y
находим:
3
1
2
2
2
x
x
z
C e
C e
и
1
2
,
C C
система функций
3
1
2
x
x
y
C e
C e
,
3
1
2
2
2
x
x
z
C e
C e
(2) является решением исход-
ной системы. #
Пример 4. Показать, что решение (2) системы (1) (см. при-
мер 3) является общим решением.
1. Подставляя функции
1
2
( ,
,
)
y x C C
и
1
2
( ,
,
)
z x C C
из (2) в
систему (1), убеждаемся, что система функций (2)
1
2
,
C C
являет-
ся решением системы (1) (превращает каждое уравнение в тождест-
во по x, справедливое
1
2
и
C
C
). 2. Проверим выполнение усло-
вия 2) определения (10.72). В качестве области D системы (1) можно
взять область D:
,
,
x y z
; при этом
0
0
0
,
,
x
y
z
выполнены
условия теоремы существования и единственности решения задачи
Коши. Подставив
0
0
0
,
,
x
y
z в систему (2), получим алгебраическую
систему для определения постоянных:
0
0
0
0
3
1
2
0
3
1
2
0
;
2
2
.
x
x
x
x
C e
C e
y
C e
C e
z
(3)
Определитель этой системы
0
2
4
0
x
e
при
0
x
и, следователь-
но,
0
y
и
0
z
можно получить любое частное решение задачи Коши
для системы (1). #
Пример 5. Найти частное решение системы (1) (пример 3),
удовлетворяющее начальным условиям:
0,
4
y
z
при
0
x
.
Подставляя начальные данные
0,
0,
4
x
y
z
в систему (3),
получаем:
1
2
1
2
0, 2
2
4
C
C
C
C
. Решая ее, находим
1
2
1,
1
C
C
.
Искомое частное решение
3
3
,
2
2
x
x
x
x
y
e
e
z
e
e
. #
Пример 6. Показать, что функция
( , , )
z
x y z
y
x
, опреде-
ленная в области
:
,
0;
;
D x
R x
y z
, является первым
интегралом системы уравнений
1
y
y
x
,
1
z
y
z
x
(1).
Дифференцируем:
2
2
2
0
x
z
z
y
z
z
y
y
x
x
x
x
x
x
. Следовательно,
( , , )
const
x y z
C
, если ( )
y x и ( )
z x – решения системы (1). #
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
83
Пример 7. Показать, что функция
( , , )
arctg
y
x y z
x
z
(3)
является первым интегралом системы уравнений
2
2
,
y
z
y
z
z
y
(1).
В данном случае
2
2
1
2
( , , )
,
( , , )
y
z
f x y z
f x y z
z
x
(2).
Найдем частные производные данной функции (3):
1;
x
2
2
;
z
y
y
z
2
2
y
z
y
z
(4).
Подставляя (2) и (4) в левую часть (10.73
), получаем
1
2
f
f
x
y
z
2
2
2
2
2
2
1
1 1 0
y
z
z
y
z
y
y
z
y
z
в об-
ласти
:
,
D
x
0,
0
y
z
и функция (3) есть первый инте-
грал системы (1): arctg
y
x
C
z
, где С – произвольная посто-
янная. #
10.7.2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В общем случае мы располагаем очень ограниченными воз-
можностями интегрирования систем в квадратурах. Для линейных
систем эти возможности несколько шире; но фактически всегда уда-
ется найти в квадратурах общее решение или общий интеграл лишь
в случае, когда коэффициенты линейной системы являются посто-
янными.
СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДУ К ОДНОМУ
ИЛИ НЕСКОЛЬКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Одним из методов решения систем ДУ является метод исклю-
чения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному
или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каж-
дом (см. пример 3, разд. 10.7.1). Это приведение системы n-го по-
рядка к одному уравнению n-го порядка [если оно возможно (см.
замечания в п. 3
, разд. 10.7.1)] достигается последовательным диф-
ференцированием одного из уравнений системы и исключением
всех неизвестных функций, кроме одной (метод исключения). Про-
интегрировав полученное уравнение, находят общее решение дан-
ной системы уже без новых квадратур. Заметим также, что во мно-
гих случаях этим методом удается проинтегрировать каноническую
систему (10.77).
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
84
Пример 1. Для системы
1
1
1
,
y
z
z
y
x
(1) найти общее
решение и выделить решение, удовлетворяющее начальным услови-
ям: (0)
1,
(0) 1
y
z
.
Найдем общее решение системы (1) методом исключения.
По этому методу дифференцирование начинают с того уравнения,
которое содержит производную сохраняемой функции. Пусть мы
хотим получить уравнение для функции z. Дифференцируем второе
уравнение (1):
2
1
(
1)
(
)
z
y
y x
. Для исключения y и y
из полу-
ченного уравнения заменим в нем
1
y x
и
1
y
их значениями из дан-
ной системы. Получим
2
1
z
z
z
– уравнение второго порядка, до-
пускающее понижение порядка. Подстановкой
( ),
dp
z
p z
z
p
dz
уравнение сводится к
0
z
и
dp
p
dz
z
, откуда
z
C
и
1
z
C z
и,
таким образом,
1
2
C x
z
C e
. Функцию y определим из второго урав-
нения (1):
1
1
2
1
,
C x
e
y
x
y
x
z
C C
, откуда
1
1
2
C x
e
y
x
C C
. Общее ре-
шение системы (1) имеет вид:
1
1
2
C x
e
y
x
C C
,
1
2
C x
z
C e
. Решим по-
ставленную задачу Коши. Подставляя в общее решение вместо
,
x y
и
z
их начальные значения 0, –1 и 1, получаем систему для опреде-
ления постоянных:
2
1
2
1
1,
1
C
С С
, откуда
1
2
1,
1
C
C
, так что
искомым решением будет
,
x
x
y
x e
z
e
. Других решений,
удовлетворяющих заданным начальным условиям, нет. #
МЕТОД ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
По этому методу решения из системы (10.68) выделяют такое
уравнение (интегрируемую комбинацию), которое можно проинтег-
рировать и получить первый интеграл системы. В таком случае уда-
ется понизить порядок системы. Если для системы, состоящей из n
уравнений, найдено n независимых первых интегралов, то тем са-
мым найден и общий интеграл этой системы и ее интегрирование
окончено.
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
85
Для нахождения интегрируемых комбинаций иногда бывает
полезно предварительно переписать данную систему в симметриче-
ской форме (10.74) и использовать свойство равных отношений: ес-
ли
1
2
1
2
...
n
n
u
u
u
v
v
v
, то
1
2
,
, ...,
n
имеет место соотношение:
1 1
2 2
1 1
2 2
...
...
n n
n n
u
u
u
v
v
v
. (10.78)
Числа
1
2
,
, ...,
n
подбираются обычно таким образом, чтобы
числитель в (10.78) был полным дифференциалом или же знамена-
тель был равен нулю, или же это отношение давало интегрируемую
комбинацию.
Пример 2. Проинтегрировать систему
,
dx
dy
y
x
dt
dt
(1).
Найдем общий интеграл методом интегрируемых комбина-
ций и понижения порядка системы. Умножая почленно уравнения
системы (1) соответственно на x и y и складывая полученные урав-
нения, получаем интегрируемую комбинацию
0
dx
dy
x
y
dt
dt
, отку-
да
2
2
2
1
x
y
C
.
Заметим, что этот же первый интеграл можно найти из интег-
рируемой комбинации
dy
x
dx
y
, которая получается из (1) делени-
ем уравнений системы. Пользуясь найденным первым интегралом,
понизим порядок системы (1):
2
2
1
y
C
x
и подставим это зна-
чение y в первое из уравнений системы (1):
2
2
1
dx
C
x
dt
– имеем
уравнение первого порядка, интегрируя которое, находим
2
1
arcsin
x
t
C
C
– еще один первый интеграл системы (1). Эти ин-
тегралы независимы. #
Пример 3. Решить систему
2
(
)
dy
z
dx
z
y
,
2
(
)
dz
y
dx
z
y
(1).
Для нахождения интегрируемых комбинаций перепи-
шем (1) в симметрической форме
2
2
1
(
)
(
)
dy
dz
dx
z
y
z
y
z
y
или
2
(
)
dy
dz
dx
z
y
z
y
. Одна из интегрируемых комбинаций:
dy
dz
z
y
,
откуда
2
2
2
1
y
z
C
. Используя свойство пропорции (10.78), нахо-