ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14550
Скачиваний: 146
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
86
дим вторую интегрируемую комбинацию:
2
(
)
(
)
d y
z
dx
z
y
z
y
, отку-
да находим еще один первый интеграл:
2
2
2
(
)
x
y
z
C
. Совокуп-
ность их образует общий интеграл системы (1). #
Пример 4. Найти общее решение системы уравнений
mz lx
y
ly
nz
,
nx my
z
ly nz
.
Запишем систему в симметрической форме
dx
ly
nz
dy
dz
mz lx
nx my
и воспользуемся соотношением (10.78). Выби-
раем
1
2
,
m
n
и
3
l
, получим
(
)
0
d mx
ny lz
, т.е.
(
)
0
d mx ny lz
, откуда
1
mx ny lz
C
. Аналогично, выбирая
1
2
2 ,
2
x
y
и
3
2z
, приходим к равенству
2
2
2
(
)
0
d x
y
z
,
откуда
2
2
2
2
2
x
y
z
C
. Их совокупность неявно определяет общее
решение. #
Пример 5. Найти частное решение системы
1
1
dx
dt
y
,
1
dy
dt
x t
, удовлетворяющее начальным условиям:
(0) 1,
(0) 1
x
y
.
Запишем данную систему в виде
(
)
1
d x t
y
dt
,
(
)
1
dy
x t
dt
. Складывая эти уравнения, получаем:
(
)
(
)
0
d x t
dy
y
x t
dt
dt
или [(
) ]
0
d x t y
.
Отсюда
1
(
)
x t y
C
– первый интеграл. Так как
1
/
x t C
y
, то вто-
рое уравнение системы примет вид:
1
dy
y
dt
C
, откуда
1
/
2
t C
y
C e
.
Таким образом,
1
(
)
x t y
C
,
1
/
2
t C
y
C e
– общий интеграл системы.
Найдем общее решение:
1
/
1
2
t
C
C
x
t
e
C
,
1
/
2
t C
y
C e
. Полагая
0
t
в этих равенствах, найдем, что
1
2
2
1
, 1=
C
C
C
, т.е.
1
2
1
С
С
;
искомое частное решение:
t
x
t
e
,
t
y
e
. #
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
87
Задачи для самостоятельного решения
Дифференциальные уравнения или канонические системы за-
менить нормальными системами дифференциальных уравнений.
247.
3
0
y
xyy
y
. 248.
2
IV
0
y
y
.
249.
,
,
y
y
z
z
z
u
u
u
y
.
250.
2
0,
z
z
y
y
z
y
x
.
251.
2
0,
,
y
z
u
z
uz
x
u
xy
.
Проверить, являются ли функции ( )
y x и ( )
z x решениями сис-
тем дифференциальных уравнений.
252.
/ 2
/ 2
1
,
1 / ;
,
2
x
x
y
z
y y
e
z
e
z
.
253.
2
2
2
2
1
1
1
,
1;
,
3
3
x
y
y
x
x
y
z
y
z
y
z
e
x
x
x
x
.
254.
2
2
,
;
,
x
x
z
y
z z
y
e
z
e
x
.
255.
2
2
1
2
,
(
);
,
ln
y
xy
z
z
x
y
x
z
x
x
x
.
Проверить, являются ли данные функции первыми интеграла-
ми данных систем ДУ.
256.
( , , )
;
,
z
y
x y z
x
y
z y
z
y
z
y
z
.
257.
2
2
2
3
4
4
2
( , , )
;
,
2
3
2
3
x
z
y
x
x y z
x
y
z
y
z
z
y
z
y
.
258.
1
1
( , , )
;
,
y
z
x y z
y
z
y
z
z
y
.
259.
2
( , , )
;
,
x
y
x y z
yze
y
z
z
y
z
.
260.
1
( , , )
(1
)
;
,
y
z
y
z
y
x y z
y e
e
y
e
z
e
x
x
.
261. a)
1
( , , )
;
x y z
x
y
z
б)
2
( , , )
x y z
x
y
z
.
z
x
y
y
z
,
y
x
z
y
z
.
Методом исключения решить следующие системы дифферен-
циальных уравнений.
262.
1
1
,
.
dx
dy
dt
y
dt
x
263.
2
2
,
(
)
(
)
z
y
y
z
z
y
z
y
.
264.
2
2
,
z
x
y
xy
z
x
. 265.
2
2
,
2
x y
z
y
e
z
x
z
.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
88
266.
2
2
,
.
1
xy
z
y
z
y
x
x
x
267.
2
2
xy
y
y
x
.
268.
2
,
.
z
y
z z
y
269.
,
x
x
y
z
z
y
.
270.
2
,
1.
y
y
z
y
z
x
271.
(
2
1)
,
(
1)
z
z y
z
y
z
x
x y
.
272.
1
1
2
2
3
3
3
4
1
4
5
4
5
4 ,
4
2 ,
4 ,
3 ,
3
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
.
Методом исключения найти общее решение системы диффе-
ренциальных уравнений, выделить затем частное решение, удовле-
творяющее заданным начальным условиям.
273.
1
1
,
;
(0)
1,
(0) 1.
z
y
z
y
z
z
y
x
274.
2
;
;
(0)
(0) 1.
x
x
y
z
y
z
yz
y
Решить системы методом интегрируемых комбинаций.
275.
2
2
,
2
.
dx
dy
x
y
xy
dt
dt
276.
,
.
dx
y
dy
x
dt
x
y
dt
x
y
277.
2
2
2
2
cos
cos
sin
sin
,
dx
x
y
x
y
dt
1
sin 2
sin 2 ,
(0)
(0)
0
2
dy
x
y x
y
dt
.
278.
.
dt
dx
dy
xy
yt
xt
279.
2
2
2
2
;
dx
tx
dt
t
x
y
2
2
2
2
dy
ty
dt
t
x
y
.
280.
.
cos
cos
cos
cos
dx
dy
dz
y
x
x
y
281.
dx
dy
dz
y
x
x
y
z
x
y
.
282.
.
dx
dy
dz
z
xz
y
283.
(
)
(
)
(
)
dx
dy
dz
x y
z
z z
y
y y
z
.
284.
2
.
(
)
(
)
dx
dy
dz
x z
y
y y
x
y
xz
285.
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
dx
dy
dz
x y
z
y z
x
z x
y
.
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений
89
10.8. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
10.8.1. ВВЕДЕНИЕ
1
. Однородные системы. Линейные системы (10.69) можно
интегрировать общими методами, изложенными в главе 4; но для
них существует специальная теория интегрирования. Введем опре-
деления.
Если
( ) 0 (
1, )
k
x f x
k
n
, то система (10.69) называется од-
нородной линейной системой ДУ (СОЛДУ). Иначе она называется
неоднородной (СНЛДУ).
Предполагается, что функции
( )
kl
p
x и
( ) ( ,
1, )
k
f
x
k l
n
опре-
делены и непрерывны в интервале (a, b). Тогда система (10.69) име-
ет единственное решение, определенное во всем интервале (a, b) и
удовлетворяющее начальным условиям (10.71). Всякое реше-
ние (10.69) является частным, так что особых решений она не
имеет. Интегрирование системы (10.69) приводит к интегрированию
СОЛДУ
1
( )
(
1, )
n
k
kl
l
l
dy
p
x y
k
n
dx
. (10.79)
Система (10.79) всегда имеет нулевое решение
1
0,
y
2
0, ...,
y
0
n
y
. Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям
1
0,
y
2
0, ...,
0
n
y
y
при
0
( , )
x
x
a b
; других решений, удовлетво-
ряющих этим условиям, нет. Чтобы построить общее решение
(10.79), достаточно знать n линейно независимых в интервале (a, b)
частных решений:
1
2
(
,
, ...,
) (
1, )
i
i
i
in
Y
y
y
y
i
n
. (10.80)
Такая система решений называется фундаментальной (ФСР).
Теорема 1. Для того чтобы система решений (10.80) была
фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель
Вронского
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
( )
............................
...
n
n
n
n
nn
y
y
y
y
y
y
W x
y
y
y
(10.81)
был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a, b).
Теорема 2. При условии непрерывности коэффициентов
( ) (
1, )
kl
p
x
k
n
существует бесчисленное множество фундамен-
тальных систем.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
90
Теорема 3. Линейная комбинация решений фундаментальной
системы (10.80)
1
(
1, )
n
k
i ik
i
y
C y
k
n
, (10.82)
где
i
С
– произвольно постоянные, представляет собой общее реше-
ние СОЛДУ (10.79) в области
1
,
, ...,
n
a
x
b
y
y
. (10.83)
З а м е ч а н и е. Все решения СОЛДУ содержатся в формуле
(10.82).
2
. Неоднородные системы. Чтобы найти общее решение
СНЛДУ (10.69), достаточно знать общее решение (10.82) соответст-
вующей СОЛДУ (10.79) и одно частное решение СНЛДУ (10.69):
(ч)
(ч)
(ч)
1
1
2
2
,
, ...,
n
n
y
y
y
y
y
y
. (10.84)
Теорема 3. Сумма решений (10.82) и (10.84) есть общее реше-
ние СНЛДУ (7.2) в области (10.83):
(ч)
1
n
k
k
i ik
i
y
y
C y
(
1, )
k
n
. (10.85)
З а м е ч а н и е. Все решения системы (10.69) содержатся в
формуле (10.85). Метод вариации произвольных постоянных (метод
Лагранжа) позволяет найти общее решение СНЛДУ, зная лишь
фундаментальную систему решений (10.80) СОЛДУ (10.79). По
этому методу решение ищем в виде
1
( )
(
1, )
n
k
i
ik
i
y
C x y
k
n
, (10.86)
где
( )
i
C x – непрерывно дифференцируемые функции от x, подле-
жащие определению из системы
1
( )
( ) (
1, )
n
i
ik
k
i
C x y
f
x
k
n
. (10.87)
Решая ее алгебраически, находим
( )
( ) (
1, )
i
i
C x
x
i
n
, откуда
квадратурами определяем
( ):
( )
( )
(
1, )
i
i
i
i
C x
С x
x dx C
i
n
.
Подставляя эти значения в (10.86), получаем общее решение систе-
мы (10.69).
10.8.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейная система (10.69), у которой все коэффициенты
const ( ,
1, )
kl
p
k l
n
, всегда интегрируется в квадратурах, ибо со-
ответствующая СОЛДУ (10.79) имеет фундаментальную систему
решений, состоящую из элементарных функций. ФСР СОЛДУ строит-