ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14534
Скачиваний: 146
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений
91
ся по методу Эйлера: решение системы (10.79) ищем в виде
1
1
2
2
,
, ...,
x
x
x
n
n
y
e
y
e
y
e
, (10.88)
где
1
2
,
, ...,
n
и
– подлежащие определению величины. Под-
ставляя (10.88) в (10.79) и сокращая на
x
e
, получаем систему
11
1
12
2
1
21 1
22
2
2
1 1
2
2
(
)
...
0;
(
)
...
0;
...............................................................
...
(
)
0.
n
n
n
n
n
n
nn
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(10.89)
Чтобы система (10.89) имела решение, отличное от тривиального,
необходимо и достаточно, чтобы число
было корнем уравнения
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
0
................................
...
n
n
n
n
nn
p
p
p
p
p
p
p
p
p
, (10.90)
называемого характеристическим уравнением. Каждому из корней
(10.90) соответствует хотя бы одно частное решение вида (10.88).
Здесь возможны три случая.
1. Все корни
1
2
,
, ...,
n
уравнения (10.90) различны и дейст-
вительны. Полагая в системе (10.89)
(
1, )
i
i
n
, получаем
систему
11
1
12
2
1
21 1
22
2
2
1 1
2
2
(
)
...
0;
(
)
...
0;
...............................................................
...
(
)
0.
i
n
n
i
n
n
n
n
nn
i
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(10.89
)
Решая ее, находим ненулевое решение
1
1
2
2
,
, ...,
i
i
n
in
.
Подставляя
(
1, )
k
ik
k
n
и
i
в (10.88), находим решение
СОЛДУ, соответствующее корню
:
i
1
1
2
2
,
, ...,
i
i
i
x
x
x
i
i
i
i
in
in
y
e
y
e
y
e
. (10.88
)
Построив решения, соответствующие всем корням
1
2
,
, ...,
n
, по-
лучим фундаментальную систему решений (ФСР)
1
2
(
,
, ...,
) (
1, )
i
i
i
x
x
x
i
i
i
in
Y
e
e
e
i
n
. (10.80
)
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
92
Общее решение системы запишется в виде
1
(
1, )
i
n
x
k
i
ik
i
y
C
e
k
n
. (10.82
)
2. Корни характеристического уравнения (10.90) различны, но
среди них имеются комплексные. Если
a ib
– корень (10.90), то
a ib
тоже будет корнем. Построив решение вида (10.88
), соответ-
ствующее корню
a ib
и отделив в нем действительную и мнимую
части, получим два действительных линейно независимых частных
решения СОЛДУ (10.79). Построив частные решения, соответст-
вующие всем парам комплексно сопряженных корней и всем дейст-
вительным (если они имеются), получим ФСР (10.80). Общее реше-
ние запишется по формуле (10.82).
3. Среди корней характеристического уравнения (10.90) име-
ются кратные. Корню
1
кратности k соответствует решение вида
1
1
1
1
1
2
2
( )
,
( )
, ...,
( )
x
x
x
n
n
y
P x e
y
P x e
y
P x e
, (10.91)
где
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
P x P x
P x – многочлены от x степени не выше k – 1
(они могут вырождаться в числа), причем среди коэффициентов
всех этих многочленов k коэффициентов произвольны, а остальные
выражаются через них. Полагая поочередно один их этих произ-
вольных коэффициентов равным единице, а остальные равными ну-
лю, построим k линейно независимых частных решений. Если
1
действительное, то эти частные решения тоже действительные. Если
1
– комплексный корень,
1
a ib
, то
a ib
тоже корень и при-
том той же кратности k. Определив указанным выше методом k ли-
нейно независимых комплексных частных решений, соответствую-
щих корню
a ib
, и отделив в них действительные и мнимые части,
получим 2k линейно независимых действительных частных реше-
ний. Напомним, что решения, соответствующие корню
a ib
, ли-
нейно зависимы с решениями, соответствующими корню
a ib
.
Пример 1. Проинтегрировать систему
2 ,
3
4
dy
dz
y
z
y
z
dx
dx
(1)
по методу Эйлера.
Ищем частное решение системы (1) в виде (10.88):
,
x
x
y
e
z
e
(2). Составляем характеристическое уравнение
(10.90):
2
1
2
0,
3
2
0
3
4
.
Оно имеет корни
1
2
1,
2
. Построим частное решение вида (2),
соответствующее корню
1
1
. Подставляя
1
в систему (10.89
),
получим уравнение 2
2
0
(другое есть следствие первого).
В этом уравнении одна неизвестная – свободная неизвестная. Пола-
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений
93
гая
1
, получаем
1
. Таким образом, корню
1
1
соответст-
вует частное решение
1
1
,
x
x
y
e
z
e
. Аналогично находим част-
ное решение, соответствующее корню
2
2
2
2
2
2 :
2
,
3
x
x
y
e
z
e
.
Общее решение системы (1):
2
1
2
2
,
x
x
y
C e
C e
2
1
2
3
x
x
z
C e
C e
(3).
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
(0)
1
y
,
(0)
2
z
. Полагая в (3)
0,
1,
2
x
y
z
, получаем
1
2
2
1
C
C
,
1
2
3
2
C
C
, откуда
1
2
1,
1
C
C
и искомое част-
ное решение:
2
2
x
x
y
e
e
,
2
3
x
x
z
e
e
. Других решений, удовле-
творяющих этим начальным условиям, нет. #
Пример 2. Найти общее решение системы
2
,
2
y
y z z
y
z
(1).
Характеристическое уравнение
2
1
0
1
2
, или
2
4
5
0
,
имеет корни
1, 2
2 i
. Строим комплексное решение, соответст-
вующее корню
(2
)
(2
)
1
2
:
,
i x
i x
i y
e
z
e
. Числа
и
оп-
ределяем из уравнения
0
i
. Полагая
1
, находим
i
,
так что
(2
)
2
(cos
sin )
i x
x
y
e
e
x i
x
,
(2 )
2
(sin
cos )
i x
x
z
ie
e
x i
x
.
Отделяя действительные и мнимые части, получаем два действи-
тельных линейно независимых частных решения
(
(
,
)):
i
i
i
Y
y
z
2
2
1
(
cos ,
sin )
x
x
Y
e
x e
x
;
2
2
2
(
sin ,
cos )
x
x
Y
e
x
e
x
. Общее реше-
ние (1):
2
1
2
(
cos
sin )
x
y
e
C
x C
x
,
2
1
2
(
sin
cos )
x
z
e
C
x C
x
. #
Пример 3. Найти общее решение системы (1):
4
2
5 ;
6
6 ;
8
3
9 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
Характеристическое уравнение
4
2
5
6
1
6
0
8
3
9
или
3
2
4
5
2
0
имеет корни
1
2
3
2,
1
. Найдем частное решение, соответ-
ствующее простому корню
2
. Числа , ,
определяем из сис-
темы
6
2
5
0
,
6
3
6
0
. Сложив эти уравнения,
придем к равенству
0
. Полагая
2
, найдем
2,
1
,
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
94
так что искомое частное решение:
2
1
,
t
x
e
2
1
2
t
y
e
,
2
1
2
t
z
e
. По-
строим два линейно независимых частных решения, соответствую-
щие кратному корню
2
3
1
. Согласно формуле (10.91) ему от-
вечает решение вида
1
2
1
2
1
2
(
) ,
(
) ,
(
)
t
t
t
x
A t
A e
y
B t
B e
z
C t
C e
. (2)
Коэффициенты
1
2
2
,
, ...,
A A
C определяются подстановкой (2) в сис-
тему (1). Подставляя (2) в (1) и сокращая на
t
e , получаем систему
1
1
2
1
1
1
2
2
2
( 4
2
5
)
4
2
5
A t
A
A
A
B
C t
A
B
C
;
1
1
2
1
1
1
2
2
2
(6
6
)
6
6
B t
B
B
A
B
C t
A
B
C
;
1
1
2
1
1
1
2
2
2
( 8
3
9
)
8
3
9
C t
C
C
A
B
C t
A
B
C
.
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем
систему
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
2
5
0;
6
2
6
0;
8
3
8
0;
A
B
C
A
B
C
A
B
C
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
5
2
5
;
6
2
6
;
8
3
8
,
A
B
C
A
A
B
C
B
A
B
C
C
откуда
1
1
1
,
0
A
C
B
(из уравнений 1-го столбца при свободной пе-
ременной
1
C
),
2
1
2
2
1
,
3
A
C
C
B
C
(из уравнений 2-го столбца,
2
C
– свободная). Решение (2) принимает вид:
1
1
2
(
) ,
t
x
C t
C
C e
1
3
t
y
C e
,
1
2
(
)
t
z
C t
C e
. В качестве линейно независимых част-
ных решений, соответствующих корню
2
3
1
, можно взять
(
( ,
,
)):
i
i
i
i
Y
x y z
2
((
1) , 3 ,
)
t
t
t
Y
t
e
e te
,
3
( , 0,
)
t
t
Y
e
e
. Общее реше-
ние системы (1):
2
1
2
2
3
(
)
t
t
x
C e
C t
C
C e
,
2
1
2
2
3
,
t
t
y
C e
C e
2
1
2
3
2
(
)
t
t
z
C e
C t
C e
. #
Пример 4. Найти общее решение СНЛДУ
2
2
x
y
y
z
e
,
3
4
x
z
y
z
e
(1) методом вариации произвольных постоянных.
Соответствующая однородная система рассмотрена в при-
мере 1. Общее решение системы (1) ищем в виде (10.86):
2
1
2
( )
2
( )
x
x
y
C x e
C x e
,
2
1
2
( )
3
( )
x
x
z
C x e
C x e
(2). Функции
1
( )
C x
и
2
( )
C x находим из системы (10.49):
2
1
2
( )
2
( )
2
x
x
x
C x e
C x e
e
,
2
1
2
( )
3
( )
x
x
x
C x e
C x e
e
,
откуда
2
1
( )
8
,
x
C x
e
3
2
( )
3
x
C x
e
и
2
1
1
( )
4
,
x
C x
e
C
3
2
2
( )
x
C x
e
C
. Запишем общее решение (1):
2
1
2
2
2
x
x
x
y
e
C e
C e
,
2
1
2
3
x
x
x
z
e
C e
C e
. #
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений
95
Задачи для самостоятельного решения
Проинтегрировать следующие системы последовательным ин-
тегрированием или методом исключения.
286.
2 ,
.
dy
dz
y
z
dx
dx
287.
0,
.
dx
dy
y
dt
dt
288.
2 ,
2 ,
.
dx
dy
dz
x
y
y
z
dt
dt
dt
289.
2
,
2
,
2
dx
dy
dz
x
y
y
z
z
dt
dt
dt
.
290.
2
,
2 .
dx
dy
x
y
x
y
dt
dt
291.
2 ,
.
dx
dy
x
y
x
y
dt
dt
292.
5
6
,
,
6
dx
dy
dz
x
y
z
x
z
z
dt
dt
dt
.
293.
,
,
dx
dy
dz
y
z
z
x
z
dt
dt
dt
.
Найти общее решение методом Эйлера и, где указано, выде-
лить решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
294.
,
2
4 ;
(0)
0,
(0)
1.
y
y
z z
y
z y
z
295.
3
,
10
4 ;
(0) 1,
(0)
5.
y
y
z z
y
z y
z
296.
,
4
4 .
y
y z
z
y
z
297.
2
3 ,
3
2 .
y
y
z
z
y
z
298.
4
5 ,
4
4 .
dx
x
y
dt
dy
x
y
dt
299.
3
12
4 ,
3
,
12
6 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
300.
1
1
,
,
; (0) 1,
(0)
, (0)
.
2
2
dx
dy
dz
y z
z
x z x
y
z
dt
dt
dt
301.
21
8
19 ,
18
7
15 ,
16
6
15 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
302.
,
3 .
dy
y
z
dt
dz
y
z
dt