ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 9012
Скачиваний: 110
14.6. Поверхностные интегралы
187
113.
dx dy dz
du
x
y z
. 114.
2
2
1
1
.
y
x
x
xy
du
dx
dy
dz
y
z
z
y
z
С помощью формулы Грина вычислить КИ-2.
115.
2
2
l
xy dy
x ydx
-
т
С
, где l – окружность
2
2
2
x
y
R
.
116.
(
)
(
)
l
x
y dx
x
y dy
+
-
-
т
С
, где l – эллипс
2
2
2
2
/
/
1
x
a
y
b
.
117. Вычислить
l
xdy
ydx
-
т
С
, где l – простой замкнутый кон-
тур, пробегаемый в положительном направлении.
У к а з а н и е. Рассмотреть случаи: 1) начало координат нахо-
дится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.
118. В каждой точке эллипса
2
2
2
2
/
/
1
x
a
y
b
приложена
сила
F
, равная по величине расстоянию от точки M до центра эл-
липса и направленная к центру эллипса. Найти работу
F
при пере-
мещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в
первом октанте; б) вдоль всего эллипса.
119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию
точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и на-
правлена к ней. Найти работу этой силы по окружности
cos ,
1,
sin
x
t y
z
t
от точки
(1; 1; 0)
M
до точки
(0; 1; 1)
N
.
У к а з а н и е.
2
2
2
2
,
, 0
kx
ky
F
x
y
x
y
.
14.6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.6.1. ДВУСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ОРИЕНТАЦИЯ
Гладкая поверхность
называется двусторонней поверхно-
стью, если при возвращении в исходную точку после обхода замк-
нутого контура, лежащего на
и не имеющего общих точек с ее
границей, направление нормали к поверхности не меняется.
Совокупность всех точек поверхности с приписанными в них
по указанному правилу нормалями называется определенной сторо-
ной поверхности.
Выбор определенной стороны поверхности называется ориен-
тацией поверхности. Выбранная сторона – это положительная сто-
рона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной счи-
тается внешняя сторона.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
188
Если
задана неявным уравнением
( , , )
0
F x y z
, то сторона
характеризуется одним из единичных нормальных векторов
2
2
2
/
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
n
n
n
n
F
F
F
n
F
F
F
. (14.31)
Если
задана явным уравнением
( , )
z
z x y
,
( , )
xy
x y
S
, то сторона
характеризуется одним из векторов
o
n :
/
,
{
,
, 1}
x
y
n
n
n
n
z
z
,
2
2
1
x
y
n
z
z
. (14.32)
14.6.2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА (ПИ-1)
Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-
гладкой) поверхности
из пространства
3
, ,
R
x y z
, ограни-
ченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная ска-
лярная функция ( , , )
f x y z ; 2)
1
2
,
, ...,
n
– произвольное раз-
биение
на n частей
i
с площадями
i
и диаметрами
i
d
;
3)
( ,
,
)
i
i
i
i
i
M
(
1, 2, .., )
i
n
– произвольный набор точек;
4)
1
( ,
,
)
n
n
i
i
i
i
i
I
f
– интегральная сумма, соответствующая
данному разбиению поверхности
и выбору точек
i
M .
Определение. Конечный предел интегральной суммы
n
I
при
0
(
sup
)
i
d
, не зависящий ни от способа разбиения по-
верхности
, ни от выбора точек
i
M , называется поверхностным
интегралом первого рода от функции ( , , )
f x y z по поверхности
:
lim
( , , )
n
n
I
f x y z d
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ-1
Теорема 14.10. Если: 1) поверхность
задана неявным урав-
нением
( , , )
0
F x y z
и
( , )
z
z x y
есть решение этого уравнения
при
( , )
xy
x y
S
или
( , )
y
y x z
– решение уравнения при
( , )
yz
y z
S
,
или
( , )
x
x y z
– решение уравнения при ( , )
yz
y z
S
, где
,
,
xy
xz
yz
S
S
S
– проекции
на плоскости
,
,
Oxy Oxz Oyz соответственно; 2) между
точками
и ее соответствующей проекцией установлено взаимно
однозначное соответствие, то
14.6. Поверхностные интегралы
189
( , ,, )
( , , ( , ))
cos
xy
S
dxdy
f x y z d
f x y z x y
( , ( , ), )
cos
xz
S
dxdz
f x y x z z
,
( ( , ), , )
cos
yz
S
dydz
f x y z y z
(14.33)
причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двой-
ные интегралы. Здесь cos , cos , cos
– координаты вектора
n
и находятся по формулам (14.31). ПИ-1 не зависит от выбора сто-
роны поверхности.
Следствие. При явном задании
:
( , ), ( , )
xy
z
z x y
x y
S
в си-
лу (14.32) из (14.33) получим
2
2
( , , )
( , , ( , )) 1
xy
x
y
S
f x y z d
f x y z x y
z
z dxdy
(14.34)
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПИ-1
1. Масса материальной поверхности. Пусть
( , , )
x y z
–
поверхностная плотность материальной поверхности
площади s.
Тогда масса этой поверхности
( , , )
m
x y z d
.
2. Площадь искривленной поверхности
. Если принять в пре-
дыдущей формуле ( , , ) 1
x y z
, то масса поверхности
численно
равна площади s , т.е.
s
d
.
3. Статические моменты материальной поверхности
с по-
верхностной плотностью
( , , )
x y z
и массой m относительно
плоскостей
,
,
Oxy Oxz Oyz соответственно равны:
xy
M
zd
,
xz
M
yd
,
yz
M
xd
.
4. Координаты центра тяжести материальной поверхности
:
/ ,
/ ,
/
c
yz
xz
c
xy
x
M
m y
M
m z
M
m
.
Задания. 1. Записать линейные свойства ПИ-1.
2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
190
Пример 23. Вычислить ПИ-1 I
zd
, где
– часть плоско-
сти
/
/
/
1
x a
y b
z c
, вырезанная цилиндром
2
2
2
x
y
R
(рис. 14.26).
x
y
о
a
b
z
C
x
y
o
R
-R
Рис. 14.26
Поверхность
проектируется на плоскость Oxy в круг
2
2
2
:
S
x
y
R
. По формуле (14.34)
2
2
( , )
1
x
y
S
I
zd
z x y
z
z dxdy
.
Из уравнения
следует:
(1
/
/ )
z c
x a y b
,
/ ,
x
z
c a
/ ,
y
z
c b
2
2
2
2
2
2
1
1
/
/
x
y
z
z
c
a
c
b
k
; тогда
(1
/
/ )
S
I
ck
x a
y b dxdy
=
2
2
2
переходим к полярным координатам:
0
2 ,
cos , ,
sin ,
:
0
,
,
x
y
S
P
R
dxdy
d d
x
y
R
R
=
=
1
1
1
cos
sin
P
ck
d d
a
b
=
2
0
0
1
1
1
cos
sin
R
ck
d
d
a
b
14.6. Поверхностные интегралы
191
=
2
0
0
1
1
(
sin
cos )
R
ck
d
a
b
2
2
2
2
2
0
2
1
/
/
R
c k
d
R c
c
a
c
b
.
Пример 24. Вычислить ПИ-1
I
xd
, где
– полная поверхность
тетраэдра, отсекаемого от первого ок-
танта плоскостью
1
x
y
z
.
Полная поверхность
тетра-
эдра складывается из его граней:
1
2
3
4
,
где
1
2
3
,
,
,
AOB
AOC
BOC
4
ABC
(рис. 14.27).
Выпишем уравнения поверхно-
стей
i
и вычислим для них элемен-
ты
d
:
а)
2
2
1
:
0,
1
x
y
z
d
z
z dxdy
dxdy
;
б)
2
2
2
:
0,
1
x
z
y
d
y
y dxdz
dxdz
;
в)
2
2
3
:
0,
1
y
z
x
d
x
x dydz
dydz
;
г)
2
2
4
:
1
,
1
3
y
z
x
z
y d
x
x dydz
dydz
.
Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем са-
мым плоскости проектирования их;
i
D – области, на которые проек-
тируются
i
.
1
2
3
4
I
xd
1
2
3
4
0
(1
)
D
D
D
D
xdydx
xdxdz
dydz
y
z dydz
.
По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной
функции
( , , )
f x y z
независимые переменные (переменные из об-
ласти
i
D ) оставлять без изменения, зависимую переменную заме-
нить из явного уравнения соответствующей поверхности, а
d
за-
менить выражением, полученным выше, причем
3
4
D
D
.
Рис. 14.27
x
y
z
o
1
1
1
A
B
C