ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 9013
Скачиваний: 110
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
182
14.5.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (КИ-2)
Пусть: 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства
3
{( , , )}
R
x y z
определены ограниченные скалярные функции
( , , ),
( , , ),
( , , )
P x y z
Q x y z
R x y z ; 2)
1
2
{ ,
, ...,
}
n
l l
l
– произвольное
разбиение кривой AB на элементарные дуги
i
l
с длинами
i
l
и про-
екциями
1
i
i
i
x
x
x
,
1
i
i
i
y
y
y
,
1
i
i
i
z
z
z
на соответст-
вующие оси координат; 3)
( ,
,
)
(
1, 2, ..., )
i
i
i
i
i
M
l
i
n
– произ-
вольный набор точек; 4)
1
( ,
,
)
( ,
,
)
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
I
P
x
Q
y
( ,
,
)
i
i
i
i
R
z
– интегральная сумма, соответствующая данному
разбиению и данному выбору точек.
Определение. Конечный предел интегральной суммы
n
I
при
sup
i
l
, не зависящий ни от способа разбиения AB, ни
от выбора точек
i
M , называется криволинейным интегралом вто-
рого рода от функций , ,
P Q R по пути AB:
0
lim
( , , )
n
AB
I
P x y z dx
( , , )
( , , )
Q x y z dy
R x y z dz
.
Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы
,
,
F
P Q R
, точка приложения которой описывает кривую AB.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КИ-2
Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической фор-
ме:
1
2
( ),
( ),
( ),
x
x t
y
y t
z
z t
t
t
t
, где ( ), ( ), ( )
x t
y t
z t – непре-
рывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t
от
1
t
к
2
t кривая описывается именно от точки A к точке B, то
2
1
( , , )
( , , )
( , , )
[ ( ( ), ( ), ( ))
( ( ), ( ), ( ))
( ( ), ( ), ( )) ]
AB
t
t
t
t
t
P x y z dx Q x y z dy
R x y z dz
P x t y t z t x
Q x t y t z t y
R x t y t z t z dt
, (14.28)
причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.
14.5. Криволинейные интегралы
183
Следствия. а) Для плоской линии AB:
1
2
( ),
( ),
x
x t
y
y t
t
t t
и функций
( , ),
( , )
P x y Q x y
,
( , )
x y
AB
:
( , )
( , )
AB
P x y dx
Q x y dy
2
1
( ( ), ( ))
( ( ), ( ))
t
t
t
t
P x t y t x
Q x t y t y dt
.
б) Для заданной явно плоской линии
:
( ),
AB y
y x
a
x
b
( , )
( , )
[ ( , ( ))
( , ( ))
]
b
x
AB
a
P x y dx Q x y dy
P x y x
Q x y x y dx
. (14.29)
НЕЗАВИСИМОСТЬ КИ-2 ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Теорема 14.8. Если функции ( , , ),
( , , ),
( , , )
P x y z
Q x y z
R x y z
непрерывны вместе со своими частными производными первого по-
рядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвяз-
ной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:
1)
0
l
Pdx Qdy
Rdz
+
+
=
т
, где l – замкнутый контур, лежащий
внутри V;
2)
l
Pdx Qdy
Rdz
не зависит от выбора пути интегрирования;
3) Pdx qdy
Rdz
есть полный дифференциал некоторой од-
нозначной функции ( , , )
x y z
, заданной в точках V;
4) выполняются равенства:
,
,
P
Q
P
R
R
Q
y
x
z
x
y
z
.
Функция ( , , )
x y z
может быть найдена, например, по формуле
0
0
0
0
0
0
( , , )
0
(
,
,
)
0
0
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
(
,
, )
,
x y z
y
x
x y z
x
y
z
z
x y z
d
x y z
P x y z dx
Q x y z dy
R x y z dz
c
(14.30)
где
0
0
0
(
,
,
)
x
y
z
– некоторая фиксированная точка области V, c – про-
извольная постоянная.
СВЯЗЬ МЕЖДУ КИ-1 И КИ-2
Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB име-
ет в каждой точке касательную, положительное направление кото-
рой составляет с осями координат углы , ,
. Тогда
( cos
cos
cos )
AB
AB
Pdx Qdy
Rdz
P
Q
R
dl
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
184
СВЯЗЬ КИ-2 С ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ (ФОРМУЛА ГРИНА)
Теорема 14.9. Пусть: 1) функции ( , ), ( , )
P x y Q x y непрерывны
и имеют непрерывные частные производные в открытой односвяз-
ной области G
Oxy
; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничиваю-
щий область
S
G
, и при положительном обходе l ближайшая
часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива
формула
l
Pdx Qdy
S
Q
P
dxdy
x
y
.
Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограни-
ченной простым кусочно-гладким контуром l, равна
1
2
l
l
l
s
xdy
ydx
xdy
ydx
.
Пример 20. Вычислить КИ-2
2
(
)
l
I
ydx
y
x dy
, где L –
дуга параболы
2
2
y
x
x
, проходимая от точки (2; 0)
A
до точки
(0; 0)
O
.
Кривая l представлена на рис. 14.24. По формуле (14.29) име-
ем
2
(
)
l
I
ydx
y
x dy
0
2
2
2
2
(2
)
(2
)(2 2 )
O
A
x
x
x
x dx
x
x
x
x dx
=
0
2
3
2
(
)
4
x
x
.
Пример 21. Вычислить КИ-2
l
I
ydx
xdy
zdz
, где l –
замкнутый контур, полученный пересечением сферы
2
2
2
2
x
y
z
R
и цилиндра
2
2
x
y
Ry
(
0,
0)
R
z
, обходимый против часовой
стрелки, если смотреть из начала координат (рис. 14.25).
Рис. 14.24
y
0
x
z
Рис. 14.25
. . . .
у
A
1
0
1
2
14.5. Криволинейные интегралы
185
Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической
форме. Поверхность
2
2
x
y
Ry
запишем в виде
2
2
(
/ 2)
x
y
R
2
(
/ 2)
R
. Последнее равенство выполнится тождественно,
если положить, например,
(
/ 2) sin
x
R
t
,
(
/ 2)(1 cos )
y
R
t
,
0
2
t
. Тогда из уравнения сферы имеем
2
2
2
2
z
R
x
y
=
=
2
2
2
2
2
(
/ 4) sin
(
/ 4)(1 cos )
R
R
t
R
t
2
(
/ 2)(1 cos )
R
t
=
2
2
sin ( / 2)
R
t
.
Отсюда, помня, что
0,
z
0
2
t
, имеем
sin( / 2)
z
R
t
. Итак,
:
sin ,
(1 cos ),
sin
,
[0; 2 ]
2
2
2
R
R
t
l x
t y
t
z
R
t
;
cos
2
t
R
x
t
,
sin
2
t
R
y
t
,
cos
2
2
t
R
t
z
. По формуле (14.28)
l
I
ydx
xdy
zdz
=
2
0
(1 cos )
cos
sin
sin
2
2
2
2
R
R
R
R
t
t
t
t
sin
cos
2 2
2
t R
t
R
dt
=
2
2
2
2
2
0
0
(1 cos
sin )
(
sin
cos )
4
4
2
R
R
R
t
t dt
t
t
t
.
Пример 22. Найти первообразную функции ( , , )
u x y z , если
(6
7
)
(6
7
)
(6
7
)
du
x
yz dx
y
xz dy
z
xy dz
.
По формуле (14.30) при
0
o
o
o
x
y
z
получим
0
0
0
( , , )
(6
7
)
6
6
y
x
z
u x y z
x
yz dx
ydy
zdz
c
2
2
2
0
0
0
(3
7
)
3
3
y
z
x x
x
x
xyz
y
z
c
2
2
2
3(
) 7
x
y
z
xyz c
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить криволинейные интегралы второго рода.
97.
l
xdy
, где l – отрезок прямой /
/
1
x
a
y
b
от точки пе-
ресечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.
98.
2
2
(
)
l
x
y dy
, где l – контур четырехугольника с вершинами
(0; 0),
(2; 0),
A
B
(4; 4),
(0; 4)
C
D
, указанными в порядке обхода l.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
186
99.
(1;1)
(0;0)
(
)
xydx
y
x dy
вдоль линий: 1)
y
x
, 2)
2
y
x
,
3)
2
y
x
, 4)
3
y
x
.
100.
l
ydx
xdy
, l – эллипс
cos ,
sin
x
a
t y
b
t
, обходимый
в положительном направлении.
101.
(2
)
(
)
l
a
y dx
a
y dy
, где l – первая от начала координат
арка циклоиды
(
sin )
x
a t
t
,
(1 cos )
y
a
t
.
102.
(
1)
l
xdx
ydy
x
y
dz
, где l – отрезок прямой от точки
(1; 1; 1) до точки (2; 3; 4).
103.
l
yzdx
zxdy
xydz
, где l – дуга винтовой линии
cos ,
sin ,
/
x
R
t y
R
t z
at
(0
2 )
t
.
104.
2
2
2
l
y dx
z dy
x dz
, где l – линия пересечения сферы
2
2
2
2
x
y
z
R
и цилиндра
2
2
x
y
Rx
(
0,
0
R
z
), обходимая
против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть
кривой Вивиани).
Убедиться, что подынтегральное выражение является полным
дифференциалом, и вычислить КИ-2.
105.
(2; 1)
2
(0; 0)
2xydx x dy
. 106.
(5;12)
2
2
(3; 4)
xdx ydy
x
y
.
107.
(3; 2;1)
(1; 2;3)
yzdx zxdy xydz
. 108.
(5; 3; 1)
2
(7; 2; 3)
(
)
zxdy
xydz
yzdx
x
yz
(кон-
турное интегрирование не пересекает поверхность
/ )
z
x y
.
Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу.
109.
2
2
4(
)(
)
du
x
y
xdx
ydy
.
110.
2
2
(2 cos
sin )
(2 cos
sin )
du
x
y
y
x dx
y
x
x
y dy
.
111.
2 2
2
2 (1
)
1
(1
)
1
y
y
x
e
e
du
dx
dy
x
x
.
112.
2
2
2
(
2
)
(
2
)
(
2
)
du
x
yz dx
y
xz dy
z
xy dz
.