ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14632
Скачиваний: 146
14.5. Криволинейные интегралы
177
73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если
плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию
этой точки от одной из вершин и равна
0
в центре квадрата.
Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ог-
раниченных кривыми:
74.
2
,
2
(
0)
ay
x
x
y
a a
. 75.
,
0,
0
x
y
a y
x
.
76.
2
2 2
2
(
)
2
(
0,
0)
x
y
a xy
x
y
. 77.
(1 cos )
a
– кар-
диоида,
0
.
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограни-
ченных поверхностями/
78.
0,
0,
0,
2,
4,
8
x
y
z
x
y
x
y
z
(усеченный па-
раллелепипед).
79.
2
/ 2,
0,
0, 2
3
12
0
z
y
y
z
x
y
.
80.
2
2
2
2
2
2
(
) / 2 ,
3
(
0)
z
x
y
a x
y
z
a
z
.
14.5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.5.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА (КИ-1)
Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения),
спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства
3
, ,
R
x y z
определена ограниченная скалярная функция
( , , );
f x y z
2)
1
2
, , ...,
n
l l
l
– произвольное разбиение кривой l на эле-
ментарные дуги
i
l
с длинами
i
l
; 3)
( ,
,
)
(
1, 2, ..., )
i
i
i
i
i
M
l
i
n
–
произвольный набор точек; 4)
1
(
,
,
)
n
n
i
i
i
i
i
I
f
l
– интеграль-
ная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору
точек
i
M .
Определение. Конечный предел интегральной суммы
n
I
при
(
sup{
})
i
l
, не зависящий ни от способа разбиения
кривой l, ни от выбора точек
i
M , называется криволинейным
интегралом первого рода от функции ( , , )
f x y z по кривой l:
lim
( , , )
n
n
l
I
f x y z dl
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
178
ВЫЧИСЛЕНИЕ КИ-1
Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими урав-
нениями:
1
2
( ),
( ),
( ),
x
x t
y
y t
z
z t
t
t
t
, где ( ), ( ), ( )
x t y t z t – не-
прерывно дифференцируемые по t функции и возрастание длины L
дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении су-
ществования определенного интеграла имеет место равенство
2
1
2
2
2
( , , )
( ( ), ( ), ( ))
t
t
t
t
l
t
f x y z dl
f x t y t z t
x
y
z dt
. (14.24)
Следствия. а) Если плоская кривая l задана явно:
( ),
y
y x
a
x
b
, и
( , )
f
f x y
, то
. (14.25)
б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах:
1
2
( ),
, то
2
1
2
2
( , )
( ( ) cos , ( ) sin )
l
f x y dl
f
d
. (14.26)
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КИ-1
1. Масса материальной линии. Пусть
( , , )
x y z
,
( , , )
x y z
l
–
линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой
линии есть
( , , )
l
m
x y z dl
. (14.27)
2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L:
l
L
dl
.
3. Статические моменты и координаты центра тяжести.
а) Для плоской линии l
Oxy
c плотностью
( , )
x y
и массой
m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:
y
l
M
x dl
,
x
l
M
y dl
;
координаты центра тяжести:
/
c
y
x
M
m
,
/
c
x
y
M
m
.
2
( , )
( , ( ))
1
( )
b
l
a
f x y dl
f x y x
y
x dx
;
14.5. Криволинейные интегралы
179
б) Для пространственной линии l c плотностью
( , , )
x y z
и массой m статические моменты относительно плоскостей
,
Oyz Oxz и Oxy:
yz
l
M
x dl
,
xz
l
M
y dl
,
xy
l
M
z dl
;
координаты центра тяжести:
/
c
yz
x
M
m
,
/
c
xz
y
M
m
,
/
c
xy
z
M
m
.
Пример 17. Вычислить КИ-1
2
2
(
2
)
l
I
x
y dl
, где l – прямо-
линейный отрезок, соединяющий точки (0; 2)
A
и (3; 4)
B
.
Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме:
A
A
B
A
B
A
x
x
y
y
t
x
x
y
y
,
2
3
2
x
y
t
или
3 ,
2
2, 0
1
x
t y
t
t
.
Тогда
2
2
13
t
t
dl
x
y dt
dt
и из (14.24) имеем
2
2
(
2
)
AB
I
x
y dl
=
1
2
2
0
(3 )
2(2
2)
13
t
t
dt
1
2
0
13 (
16
8)
t
t
dt
=
1
3
2
0
13 ( / 3 8
8 )
47 13 / 3
t
t
t
.
З а м е ч а н и е. В случае явного задания отрезка прямой
:
2 / 3 2,
AB y
x
0
3
x
следует воспользоваться формулой (14.25).
Пример
18.
Вычислить
КИ-1
2
2
l
I
x
y dl
, где l – кривая, задан-
ная уравнением
2
2
2
x
y
y
при условии
0
x
.
Для построения кривой l преобра-
зуем уравнение ее к виду
2
2
(
1)
1
x
y
;
таким образом, l есть полуокружность
с центром в точке (0; 1)
C
радиуса 1, распо-
ложенная слева от оси Oy (рис. 14.22).
Наличие комбинации
2
2
x
y
в подын-
тегральной функции и в уравнении l наво-
дит на мысль провести вычисления в полярных координатах, кото-
рые связаны с декартовыми координатами формулами
cos ,
sin .
x
y
0
x
y
C
L
Рис. 14.22
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
180
Тогда из
2
2
2
x
y
y
получаем
2sin
– уравнение l в поляр-
ных координатах; из рис. 14.22 (или условий
0
x
,
0
y
,
0)
следует / 2
;
2
2
2sin
x
y
;
2
2
dl
d
=
2
2
4sin
4 cos
d
=
= 2d
, и из (14.26)
2
2
( )
L
I
x
y dl
=
/ 2
4
sin
d
/ 2
4 cos
4
.
Пример 19. Найти массу одного витка
материальной винтовой линии
:
cos
L x
R
t
,
sin
y
R
t
,
z
at
(рис. 14.23), если линейная
плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния
этой точки от начала координат.
По условию задачи плотность
2
2
2
1
(
)
k x
y
z
=
2
2
2
2
(
cos
sin
k R
t
R
t
2 2
1
)
a t
=
2
2 2
1
(
)
k R
a t
, где k – коэффициент
пропорциональности,
0
k
. Для одного витка
0
2
t
. Из формул
(14.27) и (14.24) имеем:
( , , )
L
m
x y z dl
dl
2
2
2
t
t
t
x
y
z dt
=
2
2
2
2
2
sin
cos
R
t
R
t
a dt
2
2
R
a dt
=
2
2
2
2
2 2
0
dt
k R
a
R
a t
2
2
2
0
arctg
k R
a
at
Ra
R
=
2
2
(
/
)arctg(2
/ )
k R
a
Ra
a R
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить криволинейные интегралы первого рода.
81.
l
dl
x
y
, где l – отрезок прямой
/ 2 2
y
x
, заключенный
между точками (0;
2)
A
и
(4; 0)
B
.
82.
l
xydl
, где l – контур прямоугольника с вершинами:
(0; 0),
(4; 0),
A
B
(4; 2),
C
(0; 2)
D
.
Рис. 14.23
x
y
z
0
L
14.5. Криволинейные интегралы
181
83.
l
ydl
, где l – дуга параболы
2
2
y
px
, отсеченная парабо-
лой
2
2
x
py
.
84.
2
l
ydl
, где l – первая арка циклоиды
(
sin ),
x
a t
t
(1 cos )
y
a
t
.
85.
2
2
l
x x
y dl
, где l – половина лемнискаты
2
2 2
(
)
x
y
2
2
2
(
)
a x
y
(
0)
x
.
86.
arctg
l
y
dl
x
, где l – часть спирали Архимеда
2
, заклю-
ченная внутри круга радиуса R с центром в точке (0;0)
O
.
87.
2
2
(2
)
l
z
x
y
dl
, где l – первый виток конической винто-
вой линии
cos
x
t
t
,
sin
y
t
t
, z
t
.
88.
(
)
l
x
y dl
, где l – четверть окружности
2
2
2
x
y
z
2
,
R
x
y
, лежащая в первом октанте.
89.
l
xydl
, где l – дуга гиперболы
ch
x
a
t
,
sh
y
a
t
0
(0
)
t
t
.
90.
4 / 3
4 / 3
(
)
l
x
y
dl
, где l – дуга астроиды
2 / 3
2 / 3
2 / 3
x
y
a
в первом квадранте.
91. Найти массу первого витка винтовой линии
cos ,
x
a
t
sin ,
y
a
t z
bt
, плотность которой в каждой точке равна квадрату
полярного радиуса этой точки.
92. Найти массу линии
cos
t
x
e
t
,
sin ,
t
t
y
e
t z
e
, от точки,
соответствующей t = 0, до произвольной точки, если плотность в
каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиу-
са и в точке (1; 0; 1) равна единице.
93. Найти массу дуги параболы
2
2
(0
/ 2)
y
px
x
p
, если
линейная плотность в текущей точке равна
y
.
Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой.
94.
ch( / )
y
a
x a
, от точки (0; )
A
a до точки ( ; )
B b h .
95.
(
sin ),
(1 cos ) (0
)
x
a t
t
y
a
t
t
.
96.
cos ,
sin ,
(0
)
x
a
t y
a
t z
bt
t
.