ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 9014
Скачиваний: 110
9.2. Предел функции
11
0
(
, )
M U M
выполняется условие
(
)
f M
N
. В этом случае пи-
шут
0
lim
(
)
M
M
f M
(или
0
lim
(
)
M
M
f M
).
4
. Практически, при вычислении
0
lim
(
)
M
M
f M
удобно задать
проходящую через точки M и М
0
линию в параметрической (или
иной) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела
функции одной переменной по известным правилам и теоремам.
Иногда при вычислении
0
0
( , )
(
,
)
lim
( , )
M x y
M x y
f x y
удобно от коорди-
нат х, у перейти к полярным координатам
,
по формулам
х =
cos
, у =
sin
.
Пример 2. Вычислить пределы:
а)
2
2
0
0
2
lim
x
y
xy
x
y
, б)
2
2
(
)
lim(
)
x y
x
y
x
y e
.
а) Не нарушая общности, будем считать, что точка M(x, y) из
окрестности точки M
0
(0, 0) стремится к точке М
0
по прямой y = kx
(проходящей через точки М
0
и М). Тогда из
0
x
следует
0
y
и
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
lim
lim
1
x
x
y
xy
x kx
k
x
y
x
k x
k
. Пределы получаются разными
при различных значениях k и не существует числа A, к которому
значения
2
2
2
( , )
(
)
xy
f x y
x
y
становились бы сколь угодно близки,
как только точка M(x, y) оказывается в достаточной близости от
точки M
0
(0, 0). Предел данной функции при M
M
0
(0, 0) не сущест-
вует.
б)
2
2
(
)
lim(
)
x y
x
y
x
y e
=
находим предел вдоль луча y = kx (k > 0,
[0;
)
x
) при x
=
2
2
2
(1
)
2
(1
)
lim
(1
)
(1
) lim
x
k
k x
x
x
x
x
k e
k
e
=
применим правило Лопиталя два раза
=
=
2
2
2
(1
)
(
)
2(1
)
(1
) lim
(1
)
x
k x
x
k
k
k
e
(1
)
lim
k x
x
x
e
2
2
(1
)
2(1
)
1
lim
0
0
(1
)
k x
x
k
k
k
e
– предел существует и равен нулю.
5
. Наряду с рассмотренным пределом функции в точке при
одновременном стремлении координат (
0,1,..., )
i
x i
n
точки M
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
12
к предельным значениям
0
i
x
(координатам точки
0
M ) для функции
многих переменных существует понятие повторного предела, свя-
занное с повторным переходом к пределу по различным координа-
там. В частности, для функции двух переменных
( , )
f x y можно
рассматривать два повторных предела в точке
0
0
(
,
)
x y
:
0
0
lim ( lim
( , ))
x
x
y
y
f x y
и
0
0
lim ( lim
( , ))
y
y
x
x
f x y
.
Например, для функции
2
2
( , )
x
y
x
y
f x y
x
y
имеем
2
2
0
0
0
lim lim
lim(1
) 1
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
,
2
2
0
0
0
lim lim
lim( 1
)
1
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
.
Отсюда следует, что изменять порядок следования предельных пе-
реходов по разным переменным, вообще говоря, нельзя.
Из одного лишь существования предела функции в точке не
следует существование повторных пределов в этой точке и, наобо-
рот, из существования повторных пределов не следует существова-
ние предела в соответствующей точке. Так, в примере 2а) не суще-
ствует предела функции в точке (0;0), но существуют оба повторных
предела в этой точке:
2
2
0
0
0
2
lim lim
lim 0
0
x
y
x
xy
x
y
,
2
2
0
0
0
2
lim lim
lim 0
0
y
x
y
xy
x
y
.
Теорема 9 (о связи между пределом функции в точке и по-
вторными пределами). Пусть существует предел
0
0
lim
( , )
x
x
y
y
f x y
A
и
при любом фиксированном y из некоторой окрестности точки
0
0
(
,
)
x y
существует
0
lim
( , )
( )
x
x
f x y
y
. Тогда существует повторный
предел
0
lim
( )
y
y
y
и
0
0
lim lim
( , )
y
y x
x
f x y
A
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить пределы функций, полагая, что независимые пере-
менные одновременно стремятся к своим предельным значениям.
9.
2
2
2
2
0
0
1 1
lim
.
x
y
x
y
x
y
10.
3
3
2
2
0
0
sin(
)
lim
.
x
y
x
y
x
y
11.
2
2
1 /(
)
4
4
0
0
lim
.
x
y
x
y
e
x
y
12. Найти 1)
0
0
lim lim
x
y
f
, 2)
0
0
lim lim
y
x
f
, 3)
0
0
lim
x
y
f
, если
9.3. Непрерывность функции
13
а)
3
3
x
y
f
x
y
, б)
2
2
2
2
x y
xy
f
x
xy
y
, в)
1
sin
f
x
y
x
,
г)
tg
y
x
f
x
x
y
.
13. Найти 1)
lim lim
x
y
f
, 2)
lim lim
y
x
f
, 3)
lim
x
y
f
, если
а)
3
2
3
3
x
y
f
x
y
, б)
2
2
2
sin
3
y
f
x
y
, в)
2
2
2
2 2
(
)
x
y
f
x
y
e
.
9.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1
. Функция f(M) называется непрерывной в точке
0
0
0
1
( , ...,
)
n
M x
x
,
если выполнены условия: 1) f(M) определена в точке M
0
; 2) сущест-
вует
0
lim
(
)
M
M
f M
; 3)
0
0
lim
(
)
(
)
M
M
f M
f M
.
2
. Функция f(M) называется непрерывной в области U, если
она непрерывна в каждой точке области U.
3
. Если в точке M
0
нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3)
непрерывности функции в точке, то M
0
называется точкой разрыва
функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образо-
вывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.
4
. Если функция ( , )
f x y непрерывна в точке
0
0
(
,
)
x y
и функ-
ции
( , )
x
u v
и
( , )
y
u v
непрерывны в точке
0
0
(
,
)
u v , причем
0
0
0
(
,
)
u v
x
,
0
0
0
(
,
)
u v
y
, то и комбинация функций (или сложная
функция) ( ( , ), ( , ))
f
u v
u v
также непрерывна в точке
0
0
(
,
)
u v .
Теорема 9.1. Пусть функция f определена и непрерывна в ог-
раниченной и замкнутой области D. Тогда: 1) она ограничена в D;
2) она принимает, по крайней мере в одной точке области D, наи-
меньшее и, по крайней мере в одной точке, наибольшее значения;
3) в односвязной области D функция принимает каждое значение,
заключенное между наибольшим и наименьшим значениями.
Пример 3. Найти точки разрыва функций:
а)
2
2
1 / ln(2
);
z
x
y
б)
2
2
2
1 /(
).
u
x
y
z
а) Область существования функции
2
2
ln(2
)
x
y
есть мно-
жество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют
условию
2
2
2
0
x
y
или
2
2
2
x
y
– внутренность круга радиуса
2 с центром в точке O (0; 0). Функция
2
2
1 / ln(2
)
x
y
не опреде-
лена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е.
2
2
ln(2
) 0
x
y
, отсюда
2
2
2
1
x
y
или
2
2
1
x
y
. Таким обра-
зом, функция z(x, y) разрывна на окружности
2
2
1
x
y
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
14
б) Функция u(x, y, z) не определена в точках, в которых знаме-
натель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки раз-
рыва функции образуют поверхность
2
2
2
0
x
y
z
– конус.
Задачи для самостоятельного решения
Найти точки разрыва функций двух переменных:
14.
2
2
1 /((
1)
(
1) ).
z
x
y
15.
1 / sin
sin .
z
x
y
16.
3
3
(
) /(
).
z
x y
x
y
Найти точки разрыва функций трех переменных:
17.
1 /
.
u
xyz
18.
2
2
2
2
2
2
1 /
1 .
x
y
z
u
a
b
c
19
. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:
1)
2
2
2
2
( , )
/(
),
(0, 0) 0
f x y
x y
x
y
f
.
2)
2
2
( , )
/(
),
(0, 0) 0
f x y
xy
x
y
f
.
3)
3 3
2
2
( , )
,
(0, 0) 0
x y
f x y
f
x
y
.
9.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
ФУНКЦИИ
1
. Пусть M(x
1
,…,x
k
,…,x
n
) – произвольная фиксированная
точка из области определения D функции
1
( , ...,
)
n
u
f x
x
и точка
1
( , ...,
, ...,
)
.
k
k
n
N x
x
x
x
D
Если существует предел
1
1
0
( , ...,
, ...,
)
( , ...,
, ...,
)
( )
(
)
lim
lim
k
k
k
n
k
n
N
M
x
k
f x
x
x
x
f x
x
x
f N
f M
MN
x
,
то он называется частной производной первого порядка данной
функции по переменной x
k
в точке M и обозначается
k
u
x
или
(
)
k
u
M
x
,
(
)
k
x
f
M
, или
1
( , ...,
)
k
x
n
f
x
x
.
Частные производные вычисляются по правилам дифференци-
рования функции одной переменной, при этом все переменные,
кроме x
k
, рассматриваются как постоянные.
2
. Частными производными второго порядка функции
1
( , ...,
)
n
u
f x
x
по соответствующим переменным называются ча-
стные производные от ее частных производных первого порядка,
они обозначаются:
9.4. Частные производные и дифференцируемость функции
15
2
2
k
u
x
k
k
u
x
x
=
2
1
( , ...,
, ... )
(
)
k k
k
x x
k
n
x
f
x
x
x
f
M
,
2
(
)
k l
x x
k
l
l
k
u
u
f
M
x x
x
x
и т.п.
Аналогично определяются частные производные порядка выше вто-
рого.
Теорема 9.2. Если смешанные производные
и
k l
l k
x x
x x
f
f
не-
прерывны, то они совпадают:
k l
l k
x x
x x
f
f
.
Таким образом, результат многократного дифференцирования
функции по различным переменным не зависит от порядка диффе-
ренцирования при условии, что возникающие при этом «смешан-
ные» частные производные непрерывны.
Пример 4. Найти частные производные первого и второго по-
рядков от функции
2
2
ln(
)
z
x
y
.
Считая последовательно постоянной y, затем x и применяя
правило дифференцирования сложной функции, получим:
2
2
2
2
2
2
1
2
(
)
(
)
x
z
x
x
y
x
x
y
x
y
,
2
2
2
2
2
2
1
2
(
)
(
)
y
z
y
x
y
y
x
y
x
y
.
Дифференцируя вторично, получаем:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
(
)
2
2
2
(
)
(
)
z
z
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
,
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
( 2 )
4
2
(
)
(
)
z
z
x
y
xy
x
x y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
,
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
4
2
(
)
(
)
z
z
y
x
xy
y
y x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
(
)
( 2 )
2
2
(
)
(
)
z
z
y
x
y
y
y
x
y
y
y
y
y
x
y
x
y
x
y
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных
функций.
20.
5
5
3 3
5
z
x
y
x y
. 21.
/
z
xy
y
x
. 22. а)
xy
z
xe
.
б)
2
(cos
) /
z
y
x
, в)
x
z
y
.
23. Найти
(3; 2),
(3; 2),
(3; 2),
(3; 2),
(3; 2)
x
y
xx
xy
yy
f
f
f
f
f
,
если
3
2
( , )
2
3
1
f x y
x y
xy
x
y
.