ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14519
Скачиваний: 146
9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций
21
9.6.2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
И НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
1
. Пусть дифференцируемая в точке x
0
функция y(x) задана не-
явно уравнением ( , ) 0
F x y
и y = y(x) – решение этого уравнения.
Если функция F дифференцируема, то производная функции y = y(x)
определяется формулой
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
x
y
x x
F x
y
dy
dx
F x
y
(9.10)
при условии, что
0
0
(
,
)
0
y
F x
y
, где y
0
= y (x
0
), F (x
0
, y
0
)
0.
2
. Пусть дифференцируемая в точке
0
0
0
1
(
, ...,
)
n
M
x
x
функ-
ция
1
( , ...,
)
n
u x
x
задана неявно уравнением
1
2
( ,
, ...,
, )
0
n
F x x
x
u
и u =
1
( , ...,
)
n
u x
x
– решение этого уравнения.
Если F дифференцируема, то частные производные функции
u =
1
( , ...,
)
n
u x
x
в точке М
0
определяются по формулам
0
0
0
0
0
(
,
)
(
1, 2,..., )
(
,
)
k
x
k
u
M M
F
M
u
u
k
n
x
F M
u
(9.11)
при условии, что
0
0
(
,
)
0
u
F M
u
, где
0
0
0
0
(
),
(
,
)
0
u
u M
F M
u
.
Пример 12. Найти (0)
y
, если
1
y
y
xe
.
( , )
1 0
y
F x y
y
xe
и по формуле (9.10) получаем
( , )
( )
( , )
x
y
F x y
y x
F x y
=
1
y
y
e
xe
. В нашем случае x
0
= 0. Непосредст-
венной подстановкой убедимся, что точка
0
0
( ,
)
(0; 1)
N x
y
N
принад-
лежит графику функции, т.е.
0
1
0
0
( ,
)
(0; 1)
(
1)
0
x
y
y
F x
y
F
x
xe
.
Поэтому
1
1
(0)
1 0
e
y
e
e
.
Пример 13. Найти
,
z
z
x
y
, если
3
3
3
2
3
2
3
0
x
y
z
xyz
y
.
Левую часть данного уравнения обозначим
( , , )
F x y z . По
формуле (9.11) получим:
2
2
2
2
( , , )
3
3
( , , )
3
3
x
z
F x y z
x
x
yz
x
yz
y
F x y z
z
xy
xy
z
,
2
2
( , , )
6
3
2
( , , )
3(
)
y
z
F x y z
z
y
xz
y
F x y z
z
xy
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
22
Задачи для самостоятельного решения
37. Найти
dz
dt
, если
2
3
,
x
y
z
e
где
tg
x
t
,
2
1
y
t
.
38. Найти
dz
dt
, если
y
z
x
, где x = ln t, y = sin t.
39. Найти
du
dt
, если
/ ,
u
yz x
где
2
,
ln ,
1
t
x
e
y
t z
t
.
40. Найти
z
x
и
dz
dx
, если
ln(
)
x
y
z
e
e
, где
3
/ 3
y
x
x
.
41. Найти
z
x
и
dz
dx
, если
1
arctg
x
z
y
, где
2
(
1)
x
y
e
.
42. Найти
,
x
y
z
z
, если
2
ln
z
u
v
, где
2
2
/ ,
u
y x v
x
y
.
43. Найти dz, если
2
2
z
u v v u
, где
sin ,
cos
u
x
y v
y
x
.
44. Найти ,
x
y
z
z
, если
( , )
z
f u v
, где
2
2 /(
),
3
u
y x
y
v
x
y
.
45. Найти dz, если
( , )
z
f u v
, где
sin( / ),
/
u
x y
v
x y
.
46 . Найти
dy
dx
, если:
а)
2 2
2 2
0
y
x
x e
y e
, б) sin
cos(
)
0
y
x
x
y
.
47. Найти
2
2
,
dy
d y
dx
dx
, если:
а)
x y
x
y
e
, б)
arctg
0
x
y
y
.
48. Найти
x
z
и
y
z
в точке (1; –2; 2), если
3
2
4
4
0
z
xz
y
.
49. Найти
x
z
и
y
z
, если:
а) ln(
)
/
0
z
x
z
xy z
, б)
2
2
2
(
,
)
0
F x
y
z x
y
z
.
Рекомендация. Ввести
2
2
2
,
u
x
y
z v
x
y
z
.
9.7. Приложения частных производных и дифференциала
23
9.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
9.7.1. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Для дифференцируемой функции
1
( , ...,
)
n
f x
x
при достаточно
малом
2
2
1
(
)
... (
)
n
x
x
из формул (9.1) – (9.3) следует
f
df
или, что то же самое,
1
1
1
1
(
, ...,
)
( , ...,
)
( , ...,
)
n
n
n
n
f x
x
x
x
f x
x
df x
x
. (9.12)
Пример 14. Вычислить приближенно
2
2
(4, 05)
(3, 07)
.
Искомое число будем рассматривать как значение функции
2
2
( , )
f x y
x
y
при
0
x
x
x
и
0
y
y
y
,
если
0
0
4,
3,
0, 05,
0, 07
x
y
x
y
. Точка
(4; 3)
M
выбрана из со-
ображений “близости” ее к точке (4, 05; 3, 07)
N
и простоты вычис-
ления значений функции f и ее частных производных в точке М.
По формуле (9.12) имеем
0
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
x
y
f x
x y
y
f x
y
f x
y
x
f
x
y
y
.
Находим
2
2
0
0
(4,3)
(
,
)
5
M
f x
y
x
y
,
0
0
2
2
(4,3)
4
(
,
)
,
5
x
M
x
f
x
y
x
y
0
0
2
2
(4,3)
3
(
,
)
5
y
M
y
f
x
y
x
y
.
Следовательно,
2
2
(4, 05)
(3, 07)
5 (4 0, 05 3 0, 07) / 5
= 5 0, 08
5, 08
.
9.7.2. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
1
. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке
0
M
(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все каса-
тельные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Уравнение касательной плоскости в точке касания
0
0
0
0
(
,
,
)
M
x
y
z
имеет вид:
а) к поверхности F(x, y, z) = 0:
0
0
0
0
0
0
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
0
x
y
z
F M
x
x
F M
y
y
F M
z
z
, (9.13)
б) к поверхности
( , )
z
f x y
:
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)(
)
(
,
)(
)
x
y
z
z
f x
y
x
x
f
x
y
y
y
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
24
2
. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендику-
лярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Параметрические уравнения нормали в точке касания
0
0
0
0
( ,
,
)
M x
y
z
имеют вид:
а) к поверхности ( , , ) 0
F x y z
:
0
0
0
0
0
0
(
) ,
(
) ,
(
)
x
y
z
x
x
F M t y
y
F M t z
z
F M t
; (9.14)
б) к поверхности
( , )
z
f x y
:
0
0
0
(
,
) ,
x
x
x
f x
y t
0
0
0
( ,
) ,
y
y
y
f
x
y t
0
z
z
t
.
Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и норма-
ли к поверхности
2
2
2
8
4
6
20 0
x
y
z
x
y
z
в точке М(2; 4; 6).
Обозначив через
( , , )
F x y z
левую часть уравнения поверхно-
сти, найдем
( , , )
2
8,
x
F x y z
x
( , , )
2
4,
y
F x y z
y
( , , ) 2
6,
z
F x y z
z
(2; 4; 6)
4,
x
F
(2; 4; 6) 12,
y
F
(2; 4; 6)
6.
z
F
По формуле (9.13) име-
ем уравнение касательной плоскости
4(
2) 12(
4) 6(
6)
0
x
y
z
или 2
6
3
38
0
x
y
z
. По формулам (9.14) находим уравнения
нормали в параметрической форме
2 4 ,
4 12 ,
6 6
x
t y
t z
t
,
отсюда можно получить канонические уравнения нормали
2
4
6
2
6
3
x
y
z
.
9.7.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть
0
0
0
(
,
)
M
x
y
– внутренняя точка области определения
функции ( , )
f x y . Точка
0
M называется точкой минимума (макси-
мума) функции f, если существует такая окрестность
0
V(
)
M
точки
0
M , что для любой точки
0
( , )
V(
)
M x y
M
выполняется
0
(
)
(
)
f M
f M
0
(
)
(
)
f M
f M
.
Точка
0
M называется точкой экстремума функции f, если она
является точкой минимума или точкой максимума этой функции.
Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если
0
0
0
(
,
)
M
x
y
– точка экстремума функции, то каждая частная произ-
водная
0
(
)
x
f M
и
0
(
)
y
f
M
либо равна нулю, либо не существует.
Точка
0
M называется критической точкой функции f, если в
ней выполняются необходимые условия экстремума функции f.
Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а)
0
M –
критическая точка функции f ; б) существуют и непрерывны произ-
водные
,
,
,
,
x
y
xx
xy
yy
f
f
f
f
f
в точках
0
0
0
(
,
)
M
x
y
и
0
( , )
V(
)
M x y
M
;
9.7. Приложения частных производных и дифференциала
25
в)
2
0
0
0
(
)
(
)
(
)
xx
yy
xy
f
M
f
M
f
M
. Тогда: 1) если
0
и
0
(
)
0
xx
f
M
0
(
)
0
yy
f
M
, то
0
M – точка минимума функции f ;
2) если
0
и
0
(
)
0
xx
f
M
0
(
)
0
yy
f
M
, то
0
M – точка макси-
мума функции f ; 3) если
0
, то
0
M не является точкой экстре-
мума; 4) если
0
, то требуется дополнительное исследование.
Отметим, что в случае
0
существуют такие две прямые,
проходящие через точку
0
M , что при движении точки M по первой
из этих прямых значения функции ( )
f M сначала уменьшаются, за-
тем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения
функции сначала возрастают, в точке
0
M достигают максимума, за-
тем уменьшаются. В этом случае
0
M называют седловой точкой.
Пример 16. Исследовать на экстремум функцию
3
3
3
z
x
y
xy
.
Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7)
имеем систему
2
2
3
3
0,
3
3
0,
x
y
z
x
y
z
y
x
решая которую получаем крити-
ческие точки
1
(0; 0),
M
2
(1; 1)
M
. Определим характер критических то-
чек по достаточным условиям экстремума (теорема 9.8). Находим
( , )
6 ,
xx
z
x y
x
( , )
3,
xy
z
x y
( , )
6
yy
z
x y
y
. В точке
1
(0; 0)
M
:
1
(
)
0
xx
z
M
,
1
(
)
3
xy
z
M
,
1
(
)
0
yy
z
M
,
1
2
(0;0)
(
)
xx yy
xy
M
z z
z
9
0
.
Следовательно,
1
(0; 0)
M
– седловая точка. В точке
2
(1; 1)
M
:
2
(
)
6,
xx
z
M
2
(
)
3
xy
z
M
,
2
(
)
6
yy
z
M
,
2
6 6 ( 3)
27
0
, поэтому
2
(1; 1)
M
– точка минимума функ-
ции z;
min
2
(
)
1
z
z M
.
9.7.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ
В разделе 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрас-
са (теорема 9.1), согласно которой всякая функция
( , )
f x y , не-
прерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной
Г =
1
2
...
m
, достигает в этой области своих наибольшего –
наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся сле-
дующим алгоритмом.
1. Находим критические точки, принадлежащие U.
2. На каждом звене
k
ломаной Г сводим функцию f к функции
k
f
одной переменной и выделяем на
k
критические точки функции
k
f
.