ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 9015
Скачиваний: 110
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
16
24. Вычислить частные производные второго порядка функции
( , )
f x y в заданной точке:
1)
2
ln(
)
f
x
y
, (0;1) . 2)
sin( / )
f
y
y x
, (2; )
.
3)
arctg( / )
f
x y
, (1;1) . 4)
(
)
x y
f
xy
, (1;1) .
25. Вычислить частные производные второго порядка функции
( , , )
f x y z в заданной точке:
1)
2
2
2
ln(
)
f
x
y
z
, (1;1;1) . 2)
z
y
f
x
, ( ;1;1)
e
.
9.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
1
. Полным приращением функции
1
( , ...,
)
n
f x
x
в точке
1
( , ...,
)
n
M x
x
,
соответствующим
приращениям
аргументов
1
2
,
, ...,
n
x
x
x
, называется разность
1
1
1
1
( , ...,
)
(
, ...,
)
( , ...,
)
n
n
n
n
f x
x
f x
x
x
x
f x
x
. (9.1)
2
.Функция f называется дифференцируемой в точке М, если
существуют такие числа
1
2
,
, ...,
n
A A
A , что всюду в окрестности точ-
ки М полное приращение функции можно представить в виде
1
2
1
1
2
2
( ,
, ...,
)
...
o( )
n
n
n
f x x
x
A
x
A x
A x
,
где
2
2
2
1
2
(
)
(
)
... (
)
n
x
x
x
.
Теорема 9.3. (Необходимое условие дифференцируемости
функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке
1
2
( ,
, ...,
)
( )
n
M x x
x
D f
, то существуют частные производные
(
),
1, 2, ..., .
i
i
f
M
i
n
x
Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функ-
ции.) Если частные производные
,
1, 2, ...,
i
f
i
n
x
существуют и
непрерывны во внутренней точке
1
2
( ,
, ...,
)
( )
n
M x x
x
D f
, то функ-
ция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в точке М
функции f полное приращение
1
1
(
)
(
)
...
(
)
( )
n
n
x
x
f M
f
M
x
f
M
x
О
. (9.2)
3
. Дифференциалом df первого порядка функции
1
( , ...,
)
n
f x
x
в
точке
1
2
( ,
...,
)
n
M x x
x
называется главная часть полного приращения
(9.2), линейная относительно
1
, ...,
n
x
x
:
1
1
(
)
(
)
...
(
)
n
n
x
x
df M
f
M
x
f
M
x
. (9.3)
9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции
17
Подставив
в
(9.2)
1
( , ...,
)
,
1, 2, ...,
n
k
f x
x
x
k
n
,
получим
0, если
,
1, если
,
l
l
k
f
l
k
x
l = 1,2,…,n и
1
( , ...,
)
n
k
df x
x
x
или
,
1, 2, ...,
k
k
dx
x
k
n
. Тогда дифференциал функции f выражается
через дифференциалы независимых переменных:
1
1
(
)
(
)
...
(
)
n
n
x
x
df M
f
M dx
f
M dx
. (9.4)
Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным
правилам дифференцирования:
(
)
d u
v
du
dv
, (
)
d uv
vdu udv
,
2
( / )
(
) /
d u
v
vdu udv
v
.
4
. Если
1
( , ...,
)
n
f x
x
дважды дифференцируема в точке M, то в
этой точке существуют все частные производные второго порядка
от f и дифференциалом 2-го порядка
2
d f
функции
1
( , ...,
)
n
f x
x
на-
зывается дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рас-
сматриваемого как функция переменных
1
, ...,
n
x
x при фиксирован-
ных (т.е. постоянных)
1
, ...,
n
dx
dx :
2
(
)
d f
d d f
.
Вообще, если функция f дифференцируема m раз в точке M, то
дифференциал m-го порядка функции f:
1
(
),
2, 3, ...
m
m
d f
d d
f
m
. (9.6)
Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функ-
ции
2
( , )
f x y
xy
в точке ( , )
x y .
По формуле (9.1)
( , )
(
,
)
( , )
f x y
f x
x y
y
f x y
=
2
2
(
)(
)
x
x y
y
xy
2
2
2
2
(
)
2
(
)
y
x
xy
y
x
y
y x y
x
y
.
Дифференциал df есть главная часть полного приращения, ли-
нейная относительно
и
x
y
:
2
( , )
2
df x y
y
x
xy y
.
Пример 6. Найти дифференциал функции
2
3
4
( , , )
/
f x y z
x y
z
.
Первый способ. По формуле (9.4):
3
2
2
2
3
4
4
5
2
3
4
,
,
f
xy
f
x y
f
x y
x
y
z
z
z
z
,
3
2
2
2
3
4
4
5
2
5
2
3
4
( , , )
3
(2
3
4
) /
.
xy
x y
x y
df x y z
dx
dy
dz
z
z
z
xy
yzdx
xzdy
xydz
z
.
(9.5)
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
18
Второй способ. Применяем правила дифференцирования (9.5):
2
3
2
3
2
3
4
4
4
1
1
1
( , , )
(
)
df x y z
d
x y
d x y
x y d
z
z
z
3
2
2
4
(
2
3
) /
y
xdx
x
y dy
z
+
2
3
5
( 4
/
)
x y
dz
z
2
5
(2
3
4
) /
xy
yzdx
xzdy
xydz
z
.
Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
для функции ( , )
f x y .
По формуле (9.4):
x
y
df
f dx
f dy
. По формуле (9.6) при
m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно нахо-
дим (смешанные частные производные не зависят от порядка диф-
ференцирования):
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
x
y
x
x
y
y
d f
d df
d f dx
f dy
f dx
f dy dx
f dx
f dy dy
=
2
2
(
)
2
(
) ;
xx
xy
yy
f
dx
f dxdy
f
dy
3
2
2
2
2
(
)
(
(
)
2
(
) )
(
(
)
xx
xy
yy
x
xx
d f
d d f
f
dx
f dxdy
f
dy
dx
f
dx
+
2
3
2
2
(
) )
(
)
3
(
)
xy
yy
y
xxx
xxy
f dxdy
f
dy
dy
f
dx
f
dx dy
2
3
3
(
)
(
) .
xyy
yyy
f
dx dy
f
dy
Задачи для самостоятельного решения
Найти полное приращение и дифференциал функции z:
26. а)
2
2
z
x
xy
y
, если x изменяется от 2 до 2,1, а y –
от 1 до 1,2.
б)
2
2
lg(
)
z
x
y
, если x изменяется от 2 до 2,1, а y –
от 1 до 0,9.
Найти дифференциал функций:
27.
2
2
ln(
)
z
y
x
y
. 28.
2
tg(
/ )
z
y
x
. 29.
ln cos( / )
z
x y
.
30. Найти df (1; 2; 1), если
2
2
( , , )
/(
)
f x y z
z
x
y
.
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.
31.
3
2
3
3
z
x
x y
y
. 32.
/
/
z
y x
x y
. 33.
2
2
z
x
xy
.
34.
(
)
xy
z
x
y e
. 35.
u
xy
yz
zx
. 36.
xyz
u
e
.
9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций
19
9.6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛОЖНЫХ
И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
9.6.1. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1
. Пусть
1
( , ...,
)
n
u
f x
x
и, в свою очередь,
1
1
( ), ..,
n
x
t
x
( )
n
t
.
Теорема 9.5. Если функции
1
( ), ...,
( )
n
t
t
дифференцируемы в
точке
1
1
( , ...,
)
( ), ...,
( )
n
n
M x
x
M
t
t
, то для производной слож-
ной функции одной переменной
1
( ), ...,
( )
n
u
f
t
t
справедлива
формула
1
1
( )
(
)
( )
...
(
)
( )
n
x
x
n
u t
f
M
t
f
M
t
или
3
1
1
2
...
n
n
dx
dx
du
u dx
u
u
dt
x
dt
x
dt
x
dt
. (9.7)
В частности, если t совпадает, например, с переменной
1
x , то
2
2
1
1
( ), ...,
( )
n
n
x
x
x
x
и «полная» производная функции и по
1
x равна
2
1
1
2
1
1
...
n
n
dx
du
u
u dx
u
dx
x
x
dx
x
dx
. (9.8)
2
. Пусть
1
( , ...,
)
n
u
f x
x
и, в свою очередь,
1
1 1
( , ...,
)
m
x
t
t
,
1
)
( , ...,
n
n
m
x
t
t
.
Теорема 9.6. Если функции
1
, ...,
n
дифференцируемы в
точке
1
( , ...,
)
m
N t
t
, а функция f дифференцируема в точке
1
1
( , ...,
)
( ), ...,
( )
n
n
M x
x
M
N
N
, то сложная функция m пере-
менных
1
1
1
( , ...,
), ...,
( , ...,
)
m
n
m
u
f
t
t
t
t
дифференцируема
в точке N и справедливы формулы:
1
2
1
2
...
n
l
l
l
n
l
x
u
u
x
u
x
u
t
x
t
x
t
x
t
(
1, 2, ...,
)
l
m
, (9.9)
при этом частные производные функции u по
(
1, 2, ..., )
k
x
k
n
вы-
числены в точке М, а частные производные функций
k
x
по
l
t
(l = 1, 2,…, m) вычислены в точке N.
Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид
(9.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Пример 8. Найти
du
dt
, если u xyz
, где
2
1,
ln ,
tg
x t
y
t z
t
.
По формуле (9.7) имеем
du
u dx
u dy
u dz
dt
x dt
y dt
z dt
=
2
(1 / )
yz
t
xz
t
2
sec
xy
t
=
2
2
2
2 ln
tg
(
1) tg /
(
1) ln sec
t
t
t
t
t
t
t
t
t
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
20
Пример 9. Найти производную функции
( )
t
u t
t
.
Первый способ – применить логарифмическое дифференци-
рование, как делалось для функции одной переменной.
Второй способ. Функция u(t) есть результат образования слож-
ной функции при подстановке в функцию
( , )
y
f x y
x
вместо x и y
двух одинаковых функций переменой t:
( )
,
x
t
t
( )
y
t
t
. То-
гда по формуле (9.7): ( )
( , ) ( )
x
u t
f x y
t
( , )
( )
y
f
x y
t
получаем
1
1
t
y
y
x
y
t
x
x
=
1
ln
y
y
yx
x
x
1
t
tt
ln
t
t
t =
(1 ln )
t
t
t
.
Пример 10. Найти
z
x
и
dz
dx
, если
x
z
y
, где y = sin2x.
Имеем
ln
x
z
y
y
x
. По формуле (9.8) получим
dz
z
z dy
dx
x
y dx
=
1
ln
2
cos 2
x
x
y
x
xy
x
.
Пример 11. Найти
,
,
z
z
dz
x
y
, если
( , )
z
f u v
,
где
2
2
ln(
)
u
x
y
,
2
v
xy
.
2
2
2
(ln(
),
)
z
f
x
y
xy
– сложная функция от независимых
переменных x и y. Тогда по формулам (9.9) получим:
2
2
2
2
u
v
z
z
u
z
v
x
f
f y
x
u
x
v
x
x
y
;
2
2
2
2
u
v
z
z
u
z
v
y
f
f
xy
y
u
y
v
y
x
y
;
u
v
z
z
dz
du
dv
f du
f dv
u
v
,
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
du
u dx u dy
dx
dy
x
y
x
y
,
2
2
x
y
dv
v dx v dy
y dx
xydy
,
2
2
2
2
2
2
2
(
2
)
u
v
x
y
dz
f
dx
dy
f y dx
xydy
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
u
v
u
v
x
y
f
y f
dx
f
xyf
dy
x
y
x
y
.