Файл: 753.pdf

6. От чего зависит коэффициент мощности в рассматриваемой цепи?

6.5. Электрический колебательный контур

Электрическим колебательным контуром называют замк-

нутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (рис. 6.8).

Wм=0

Рис. 6.8. Колебания тока, заряда конденсатора и превращения энергии в колебательном

контуре в течение одного периода колебаний

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воз-

действий называются свободными колебаниями.

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (рис. 6.8а) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля Wе заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля Wм. Мгновенной разрядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдерживающая процесс возрастания силы тока в катушке. В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (рис. 6.8б). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас направление индукционного тока таково, что он препятствует уменьшению магнитного потока. Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Ко-

111

гда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (рис. 6.8в). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (рис. 6.8г), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (рис. 6.8д). В верхней части рисунка показаны значения времени соответствующих состояний, выраженные в долях периода.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии We электрического поля заряженного конденсатора равно максимально-

СU 2 LI 2

му значению энергии магнитного поля Wм катушки: 2 m = 2m , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в ка-

имеет размерность сопротивления, поэтому величину LC назы-

вают волновым или характеристическим сопротивлением кон-

тура.

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей постепенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре ока-

зываются затухающими.

правление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2. В соот-

ветствии с формулой (2.13) получаем: iR = (ϕ1 −ϕ2 )− L dtdi . Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с

направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенци-

112

ал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (ϕ1− ϕ2) отрицательна:

(ϕ1 −ϕ2 )= −Cq ,

где q – заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому

i = dqdt .

Сучетомвышеизложенного законОмаможно записать ввиде:

где β=R/2L – коэффициент затухания, ω02 =1LC - собственная

частота.

Дифференциальное уравнение (6.8) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел «Механика»). Решение данного уравнения имеет вид:

− частота затухающих колебаний. Из (6.9) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону. Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний ω0. Из (6.10) следует, что при большом затухании (β ≥ ω0) частота становится мнимой величиной. Это означает,

рактеризовать логарифмическим декрементом затухания λ. Он равен логарифму натуральному двух соседних амплитуд. В разделе «Механика» показано, что λ = βT , где Т=2π/ω – период колебаний. Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания

113

соотношением Q = π / λ и при малом затухании выражается через параметры колебательного контура следующим обра-

зом: Q = R1 CL , то есть равна отношению характеристического со-

противления контура к активному сопротивлению потерь.

Если в колебательный контур (рис. 6.9) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на рис. 6.7а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой ω' и колебаний с частотой ω, то есть с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся и в контуре будут существовать колебания только с частотой ω. Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно эти колебания описаны в разделе 6.4. Явление резонанса используется для выделения колебаний заданной частоты, например в радиоприемниках. Если подать на контур колебания нескольких частот, то колебание, имеющее частоту, равную собственной частоте контура, будет иметь максимальную амплитуду.

Вопросы

1.За счет чего ток в колебательном контуре существует в моменты времени, когда конденсатор разряжен?

2.В какие моменты времени вся энергия контура сосредоточена

вконденсаторе? вкатушке индуктивности?

3.Из какого условия можно найти соотношение между амплитудами тока и напряжения на конденсаторе? Запишите это соотношение.

4.Каковы причины затухания колебаний в контуре?

5.На основании какого закона получается дифференциальное уравнение колебаний?

6.Какими характеристиками описывают степень затухания и какова связь между ними?

7.Какие колебания называются вынужденными? Чем вынужденные колебания отличатся от колебаний, описанных в разделе

6.4?

114