Файл: 753.pdf

Заключение

Колебания технического переменного тока, получаемые при вращении рамки (катушки) в магнитном поле, близки к синусоидальным. Амплитуда тока в цепи зависит от величины сопротивления. В активном сопротивлении колебания тока происходят в одинаковой фазе с колебаниями напряжения, поэтому в таком сопротивлении происходит выделение мощности тока – нагрев или совершение механической работы. В реактивных элементах (конденсатор, катушка индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением) ток сдвинут по фазе относительно напряжения на угол π/2 (в конденсаторе ток опережает, а в катушке отстает на этот угол), поэтому выделение мощности в среднем за период равно нулю.

В последовательной RCL-цепи амплитуда колебаний зависит от соотношения частоты ω источника переменной ЭДС и собственной частоты контура ω02 =1(LC ). При равенстве частот ампли-

туда колебаний тока становится максимальной, сопротивление цепи чисто активным, сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения равным нулю.

7.ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Вначале XIX в. Эрстед, Ампер и другие физики, развивая электромагнитную теорию, не пользовались концепциями электрического и магнитного полей. Представление о поле было введено несколько позднее Фарадеем. Однако эта концепция не находила широкого признания до тех пор, пока Максвелл не показал, что все электрические и магнитные явления могут быть описаны всего четырьмя уравнениями, содержащими электрическое

имагнитное поля.

7.1.Вихревое электрическое поле.

Первое уравнение Максвелла

При изучении электромагнитной индукции мы выяснили, что всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением в замкнутом проводнике индукционного тока за счет появления вихревого электрического поля. Анализируя это явление, Максвелл пришел к выводу, что вихревое электрическое поле появляется всякий раз, когда изменяется магнитное поле, не зави-

115

симо от того, имеются ли в данной области пространства проводники. Последние играют вспомогательную роль и являются всего лишь индикаторами возникновения вихревого электрического поля.

Запишем данный результат в математической форме. Для этого в формуле закона электромагнитной индукции (4.1) представим ЭДС как циркуляцию вектора напряженности электрического поля (2.5), а магнитный поток − в виде (4.14). Получим:

Поскольку операции дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения проводятся по разным переменным, их можно поменять местами:

Полученное уравнение называется первым уравнением Мак-

лением обхода контура1 правилом буравчика (см. раздел 3.3). В случае, показанном на рис. 7.1, нормаль совпадает по направлению с вектором магнитной индукции B , поэтому подынтегральное выражение в правой части формулы (7.1) будет положительным, а циркуляция вектора напряженности электрического поля − отрицательной. Это означает, что во всех точках контура L электрическое поле Е направлено противоположно направлению обхода. Отметим, что линии напряженности электрического поля расположены в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной

1 Направление обхода контура выбирается произвольно, а полученный результат сравнивается с этим выбранным направлением.

116

индукции. Аналогичным образом можно вычислить циркуляцию вдоль любого контура.

Вопросы

1.Какое явление, открытое экспериментально, описывается первым уравнениемМаксвелла?

2.Как направлены линии напряженности возникающего вихревого электрического поля относительно направления вектора индукции изменяющегося магнитного поля?

3.Как изменится направление возникающего вихревого электрического поля (рис. 7.1), если вызывающее его магнитное поле будет уменьшаться?

7.2. Ток смещения. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля.

Второе уравнение Максвелла

Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнитное поле; математически этот факт выражается теоремой о циркуляции магнитной индукции (3.11), которую для поля в магнетике можно записать в виде : ∫Bdl =µµ0 ∑Ik . Согласно гипотезе Мак-

L k

свелла, существует и другая причина возникновения магнитного поля. Коль скоро в соответствии с законом электромагнитной ин-

пронизывает плоскую поверхность (S1 на рис. 7.2), ограниченную замкнутым контуром L. Но с таким же успехом можно было бы рассматривать поверхность S2, опирающуюся на тот же контур интегрирования, поскольку эту поверхность пронизывает такой же ток I. Иначе говоря, любую поверхность, опирающуюся на контур интегрирования, пронизыва-

117

Поместим поверхность S1 между об-

кладками конденсатора. Кажется, что для поверхностей S1 циркуляция будет различной, так как через поверхность S1 ток не протекает (I = 0). Однако эти две поверхности опираются на один и тот же контур, по которому и вычисляется циркуляция, которая должна быть одинаковой в обоих случаях. Максвелл разрешил проблему, связанную с отсутствием тока через поверхность S1,

предположив, что изменяющееся электрическое поле между об-

кладками конденсатора эквивалентно электрическому току, который он назвал током смещения. Ток смещения как бы замыкает ток проводимости, существующий в подводящих проводниках. Исходя из равенства тока смещения через поверхность S1 току проводимости через S2, выразим силу тока смещения через напряженность изменяющегося электрического поля между обкладками конденсатора.

Изменение заряда конденсатора q вызывается током в провод-

никах, поэтому: i =icм = dqdt = dtd (σS )= dtd (εε0 ES ), где σ - поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора, S – площадь пластин конденсатора. При выводе была использована формула для напряженности поля E=σ/εε0. Плотность тока смещения бу-

дет равна jcм = iScм =εε0 dEdt . Справедливо также векторное соотно-

шение:

118

Плотность тока смещения1 пропорциональна производной от напряженности электрического поля по времени.

В рассмотренном выше случае токи проводимости и смещения

Сумму токов, охватываемых контуром, мы заменили интегралом по поверхности S1, сквозь которую протекает ток смещения, либо равным ему интегралом по поверхности S2, сквозь которую протекает ток проводимости.

В общем случае внутри контура интегрирования могут быть как токи проводимости, так и токи смещения, поэтому теорема о циркуляции будет выглядеть следующим образом:

в котором скалярноеrпроизведение jcмdS представлено в виде:

rjcмdSr =εε0 dEdt dSr =εε0 dEdt dS cosα =εε0 dEdtn dS ,

аналогично представлено скалярное произведение

jdS = jndS .

Уравнение (7.3) называют вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Часто для описания электрического поля вводят ещеr однуr величину – электрическую индукцию, которая равна: D =εε0 E . Тогда (7.3) можно записать в виде:

Уравнения (7.3) и (7.4) выражают идею Максвелла о том, что

магнитное поле создается токами проводимости и переменным электрическим полем.

Проиллюстрируем второе уравнение Максвелла. Пусть в некоторой области пространства, заполненной веществом, электрические и магнитные свойства которого одинаковы во всех точках, вектор напряженности электрического поля направлен вверх и

1 Из полученного выражения видно, что «ток смещения» не что иное, как переменное электрическое поле. Если в диэлектрике и происходит смещение связанных зарядов под действием переменного поля, то в вакууме никакого смещения зарядов нет.

119

возрастает по величине: dEdtn > 0 (рис.7.2). Если в этой области от-

сутствуют токи проводимости, уравнение (7.3) будет иметь вид:

цирование в правой части последнего выражения проводятся по разным переменным, эти операции можно поменять местами:

нитной индукции поля положителен. Это

означает, что во всех точках контура L линия индукции магнитного поля В направлена по направлению обхода. Отметим, что линии магнитной индукции расположены в плоскости, перпендикулярной векторунапряженностиэлектрического поля.

Вопросы

1.Что такое ток смещения? Есть ли в этом названии какойлибо физический смысл?

2.Как направлены силовые линии возникающего магнитного поля относительно направления вектора напряженности изменяющегосяэлектрического поля?

3.Как изменится направление возникающего магнитного поля (рис. 7.2), если вызывающее его электрическое поле будет уменьшаться?

4.Изменятся ли в случаях, указанных на рис. 7.1 и 7.2, направления возникающих полей, если мы выберем противоположное направление обхода контура?

120