Файл: Лекции_по_дисциплине.pdf

Тарова Инна Николаевна

ние законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в уравнения (3.12), (3.13) или являющихся для них начальными условиями: k1, k2, m, g, v0 ,а. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров - в данном случае а, b, , - фактически определяющие характер движения. Если мы изучаем два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что a, b и одинаковы, то движения будут качественно одинаковы. Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров (в данном случае вдвое), что также создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом. Наконец, как уже отмечалось, величины Vx, Vy, X, Y, физически легче интерпретировать, чем их размерные аналоги, так как они измеряются относительно величин, смысл которых очевиден. Прежде чем предпринимать численное моделирование, отметим, что при учете лишь линейной составляющей силы сопротивления модель допускает аналитическое решение. Система уравнений (3.14) при b=0 достаточно эле-

Исключая из двух последних формул время, получаем уравнение траек-

Заметим, что эта формула не из тех, которые привычно визуализируются, например, по сравнению с совершенно отчетливой формулой (3.11), и здесь компьютер может быть полезен в том, чтобы составить ясное представление о влиянии линейной части силы сопротивления на изучаемое движение.

58

Компьютерное моделирование

На рис. 3.3 приведены траектории четырех движений с разными значениями параметра а, характеризующего трение. Видно, как сильно оно влияет на движение - его форму, расстояния по вертикали и горизонтали. Общее исследование при произвольных значениях а и Ь поможет выполнить приведенная ниже программа.

Рис. 3.3. Семейство траекторий при а = 45° и значениях а, равных 0,01; 0,1; 1 и 10(кривые - справа налево)

Фактически представлены две программы: при активизации первого или второго блока. В первом случае она выдает результаты численного моделирования в виде таблицы значений безразмерных скоростей и координат при фиксированном наборе параметров a, b и , значения которых устанавливаются в разделе определения констант. При взятии в фигурные скобки первого блока и активизации второго (т.е. снятия фигурных скобок) программа выдает в графическом режиме семейство, траекторий, отличающихся значениями одного из трех безразмерных параметров (в данном случае b).

59

Тарова Инна Николаевна

Программа: Реализация модели «Полет тела, брошенного под углом к горизонту»

60

Компьютерное моделирование

Приведем пример. Рассмотрим полет чугунного ядра радиуса R=0,07 м, выпущенного с начальной скоростью v0=60 м/с под углом а=45° к поверхности Земли. Определим, какое расстояние пролетит ядро, на какую максимальную высоту оно поднимется, а также проследим, как изменяется скорость полета со временем. Будем решать обезразмеренные уравнения, чтобы сократить число параметров. Вычислим значения параметров а и Ь, после чего решим систему дифференциальных уравнений. Учтем, что плотность чугуна Рчуг=7800 кг/м3.

61

Тарова Инна Николаевна

Расчеты повторялись, сначала с шагом 0,1, затем - вдвое меньшим и т.д. (хорошо известный эмпирический метод контроля точности при пошаговом интегрировании дифференциальных уравнений), пока не был получен приемлемый шаг, при котором достигается точность 10-3. Ясно, что расчеты надо проводить до тех пор, пока ядро не достигнет земли, т.е. пока Y не станет равным 0. Результаты моделирования - на рис. 3.4. В рассмотренном выше примере сопротивление среды оказывает незначительное влияние на движение тела.

Рис. 3.4. Графики зависимости V( ) и Y(X) при решении задачи о полете ядра. Безразмерное значение скорости V получается по форму-

ле V Vx2 Vy2

Конечное значение скорости V<1 вследствие сопротивления воздуха. Траектория движения не является параболой по той же причине. Проведем сравнение движения одного и того же тела без учета сопротивления среды и с его учетом, если среда достаточно вязкая (рис. 3.5).

62

Компьютерное моделирование

Рис. 3.5. Графики зависимости V( ) и Y(X) при решении задачи о полете тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха (скорость изменяется от 1 и вновь достигает значения 1; траектория - парабола) и с учетом сопротивления воздуха (конечная скорость меньше 1, и траектория - далеко не пара-

бола) (а=1, b=1)

С помощью приведенной выше программы можно провести полное исследование модели в широком диапазоне значений параметров и составить качественное представление об их влиянии на изучаемое движение. Некоторые, результаты иллюстрируются рис. 3.6,3-7.

Рис. 3.6. Влияние параметра а на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при b = 0,1 (слева) и при b = 1 (справа); = /4 (а = 0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа налево)

63

Тарова Инна Николаевна

Рис. 3.7. Влияние параметра b на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при а = 0,1 (слева) и при а = 1 (справа); = /4 (b = 0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа налево)

3.4. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ: ВЗЛЕТ РАКЕТЫ

Рассмотрим указанную задачу в максимально упрощенной постановке. Наши цели:

а) достичь качественного понимания того, как скорость ракеты меняется во время взлета, как влияют на полет разные факторы;

б) оценить оптимальное соотношение параметров, при котором ракета достигнет первой космической скорости и сможет вывести на орбиту полезный груз.

Таким образом, обсуждаемая модель имеет черты как дескриптивной, так и оптимизационной.

Взлет ракеты - сложный процесс, который неизбежно следует огрубить в попытке получения относительно простых и качественно верных результатов. Например, примем, что сила тяги двигателя - величина постоянная на всем этапе разгона. Реально это, скорее всего, не так, но при упрощенном анализе колебаниями силы тяги пренебрежем, равно как и влиянием случайных порывов ветра и множеством других случайных и неслучайных факторов. Но при таком, даже самом упрощенном, анализе нельзя пренебречь наличием сопротивления воздуха, которое при высоких скоростях очень велико. Ни в коем случае нельзя пренебречь и убыванием массы ракеты в процессе взлета - оно огромно и составляет большую часть исходной массы. Так, у одной из крупнейших отечественных ракет «Энергия» стартовая масса составляет 20000 тонн, а к концу взлета всего 200 тонн.

64

Компьютерное моделирование

Поиск математического описания проблем не составляет - в его основе все тот же второй закон Ньютона. Поскольку ракета очень быстро набирает столь высокую скорость, что линейной составляющей силы сопротивления заведомо можно пренебречь, то Fсопр=k2v2. Примем, что топливо расходуется равномерно вплоть до его полного выгорания, т. е.

где m0 - начальная масса ракеты, m кон - конечная (т.е. масса полезного груза, выводимого на орбиту), - расход топлива; это допущение согласуется с допущением о постоянной силе тяги. Уравнение движения принима-

Казалось бы, можно задаться некоторыми значениями величин Fтяги, m0, , k2 и проводить моделирование, но это была бы чисто формальная деятельность, не учитывающая еще одного важнейшего обстоятельства. Поскольку ракета взлетает на огромную высоту (сотни километров), ясно, что сила сопротивления в менее плотных слоях атмосферы не может быть такой же, как вблизи поверхности Земли (при равных скоростях). Действительно, в коэффициент k2 входит величина r -плотность окружающей среды, которая на «космических» высотах во много раз меньше, чем вблизи поверхности. Заглянем в справочник: на высоте 5,5 км плотность воздуха вдвое меньше, чем у поверхности, на высоте 11 км - вчетверо и т.д. Математически зависимость плотности атмосферы от высоты хорошо передается формулой P=P0 exp (- h), где = 1,29-10-4 (h измеряется в метрах, P0 - плотность вблизи поверхности Земли). Поскольку величина h меняется в ходе полета, уравнение для изменения h(t) следует добавить к уравнению (3.17) и записать следующую систему дифференциальных уравнений:

Наша модель становится все более реалистической. Ее совершенствование можно продолжить - например, учесть наличие у ракеты нескольких ступеней, каждая из которых имеет свой запас топлива и тягу двигателя -

65