Файл: Лекции_по_дисциплине.pdf

Тарова Инна Николаевна

ленных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера, одним из методов группы Рунге-Кутта, одним из многочисленных неявных методов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффективность и т.д. - эти сугубо математические проблемы здесь не обсуждаются. Отметим, что существует немало программ, моделирующих простые физические процессы типа рассматриваемого. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако в них, как правило, остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как сугубо иллюстративные. Вычисления производились до тех пор, пока «безпарашютист» не опустился на воду. Примерно через 15 с после начала полета скорость стала постоянной и оставалась такой до приземления (рис. 3.2). Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости, изображенный на рисунке, заменился бы касательной к нему в начале координат.

Рис. 3.2. График зависимости скорости падения «безпарашютиста» от времени

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором). Покажем это на примере рассматриваемой задачи. В табл. 3.3 представлен небольшой фрагмент из табличного процессора Excel. Решение находится с помощью, так называемого, исправленного метода Эйлера - одного из возможных вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка.

Кроме того, в ячейках D2, D4, D6 в таблице будем хранить соответственно значения шага вычислений, массы «безпарашютиста», величины mg. Это связано с тем, что все константы также удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать расчетные формулы. Достаточно записать формулу правильно один раз, а затем

52

Компьютерное моделирование

скопировать в остальные ячейки, при этом, как известно, она «настраивается» на соответствующую ячейку.

Таблица 3.3 Фрагмент таблицы, где представлено решение задачи о «безпарашютисте»

Таблица 3.4 Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре

Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (при этом пожертвуем точностью вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы - для того, чтобы сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов. Но, несмотря на успешное применение табличного процес-

53

Тарова Инна Николаевна

сора при решении простейшей учебной задачи, следует признать, что для решения более громоздких в вычислительном плане задач предпочтительнее программировать самим. А теперь ответим на вопрос, поставленный в задаче. Известен такой факт: один из американских каскадеров совершил прыжок в воду с высоты 75 м (Бруклинский мост), и скорость приземления была 33 м/с. Сравнение этой величины с получившейся у нас конечной скоростью 37,76 м/с позволяет считать описанный в кинофильме эпизод вполне возможным. Обсуждаемой модели можно придать черты оптимизационной, поставив задачу так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k 2), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.

3.3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ

Рассмотрим эту известную задачу с учетом сопротивления воздуха. Будучи брошенным под углом а к горизонту с начальной скоростью v0, тело летит, если не учитывать сопротивления воздуха, по параболе, и через некоторое время падает на землю. Напомним элементарное решение этой задачи. Разложим скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:

Поскольку движение по вертикали происходит под действием постоянной силы тяжести, то оно является равнозамедленным до достижения верхней точки на траектории и равноускоренным - после нее; движение же по горизонтали является равномерным. Из формул равноускоренного движе-

54

Компьютерное моделирование

~

Полное время движения до падения на землю 2 t ; за это время, двигаясь равномерно вдоль оси х со скоростью Vx (0) тело пройдет путь

Для нахождения траектории достаточно из текущих значений х и у исключить t, получим 3.11:

Уравнение (3.11) - уравнение параболы.

Полученные формулы могут, в частности, послужить для тестирования будущей компьютерной программы. При достаточно большой начальной скорости сопротивление воздуха может значительно изменить характер движения. Прежде чем выписывать уравнения, вновь оценим, какая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная по скорости - дает больший вклад в эту силу, и нельзя ли одной из этих составляющих пренебречь. Оценку проведем для шарика; по порядку величины оценка не зависит от формы тела. Итак, шарик радиусом r = 0,1 м, движущийся со скоростью ~ 1 м/с, испытывает в воздухе линейную (стоксову) силу сопро-

Величины F1 и F2 сопоставимые (как принято говорить, «одного порядка», так как они различаются менее чем в 5 раз). При увеличении размера тела F2 растет быстрее, чем F1 (F1 ~ r,F2~ г2), при увеличении скорости F2 также растет быстрее, чем F1 (F1 ~ v, F2~ v2). Таким образом, если мы моделируем движение брошенного мяча, камня, то необходимо в уравнениях удерживать обе составляющие силы сопротивления, но если мы захотим моделировать полет снаряда, выпущенного из орудия, где скорость полета почти на всем его протяжении сотни метров в секунду, то линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь. Проецируя уравнение

55

Тарова Инна Николаевна

Поскольку в каждой точке траектории сила сопротивления направлена по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, то

где - угол между текущим направлением скорости и осью х. Подстав-

ляя это в уравнение, и учитывая, что v vx2 vy2 , получаем уравнения движения в переменных vx, vy.

Поскольку представляет несомненный интерес и траектория движения,

решая их совместно, будем получать разом четыре функции: vx(t), vy(t), x(t), y(t).

Прежде чем дать пример решения обсуждаемой задачи, покажем очень полезный прием, чрезвычайно популярный в физическом моделировании, называемый обезразмериванием. При решении конкретных задач мы пользуемся определенной системой единиц (СИ), в которой далеко не все числовые значения лежат в удобном диапазоне. Кроме того, абсолютные значения величин дают мало информации для качественного понимания. Скорость 15 м/с - много это или мало? Все дело в том, по сравнению с чем. Именно в сравнении с чем-то привычным и понятным мы обычно и воспринимаем слова «много» и «мало», даже если делаем это бессознательно. Идея обезразмеривания заключается в переходе от абсолютных значений расстояний, скоростей, времен и т.д. к относительным, причем отношения строятся к величинам, типичным для данной ситуации. В рассматриваемой задаче это особенно хорошо просматривается. В самом деле, при отсутствии сопротивления воздуха мы имеем значения l, h, t, определенные выше; сопротивление воздуха изменит характер движения, и если мы введем в

56

Компьютерное моделирование

качестве переменных величины безразмерные расстояния по осям и время, - то при отсутствии сопротивления воздуха эти переменные будут изменяться в диапазоне от 0 до 1, а в задаче с учетом сопротивления отличия их максимальных значений от единицы ясно характеризуют влияние этого сопротивления.

Покажем, как перейти к безразмерным переменным в одном из наших

Выполним обезразмеривание во всех уравнениях (3.12), (3.13) (рекомендуем проделать эту процедуру самостоятельно). В результате получим

Начальные условия для безразмерных переменных таковы: vx(0)=cosa, vy(0)=sina, X(0)=0, Y(0)=0. Важнейшая роль обезразмеривания - установле-

57